高考数学总复习模块七选考模块不等式选讲学案理

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第22讲　不等式选讲 ‎1.[2018·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.[2017·全国卷Ⅱ]已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法:‎ ‎①分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a0).‎ ‎(1)当a=1时,解不等式f(x)>x-1;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范围.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ ‎(1)对于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.‎ ‎【自我检测】‎ 设函数f(x)=|2x-7|+1.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤x的解集;‎ ‎(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|≤a成立,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解答2不等式的证明 ‎2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2.‎ ‎(1)若‎1‎a‎2‎+‎4‎b‎2‎≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;‎ ‎(2)证明:‎1‎a‎+‎‎1‎b(a5+b5)≥4.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ ‎(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法.‎ ‎【自我检测】‎ 已知关于x的不等式‎1‎‎2‎x+m≤|x+2|的解集为R.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求证:a+b+c≤‎3‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解答3含绝对值不等式的恒成立问题 ‎3 已知函数f(x)=|x-2|+2|x-1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>4的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ 利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:①若f(x)>g(a)恒成立,则f(x)min>g(a);②若f(x)0的解集;‎ ‎(2)若对于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范围.‎ ‎ ‎ 第22讲　不等式选讲 典型真题研析 ‎1.解:(1)当a=1时,‎ f(x)=‎‎2x+4,x≤-1,‎‎2,-12.‎ 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.‎ 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.‎ 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,‎ 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).‎ ‎2.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=‎‎-2,x≤-1,‎‎2x,-11的解集为xx>‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;‎ 若a>0,|ax-1|<1的解集为x0x-1即为|x-1|-|3x+2|>x-1.‎ 当x>1时,不等式可化为-2x-3>x-1,解得x<-‎2‎‎3‎,与x>1矛盾,此时不等式无解;‎ 当-‎2‎‎3‎≤x≤1时,不等式可化为-4x-1>x-1,‎ 解得x<0,所以-‎2‎‎3‎≤x<0;‎ 当x<-‎2‎‎3‎时,不等式可化为2x+3>x-1,‎ 解得x>-4,所以-4a.‎ 因为函数f(x)在‎-∞,-‎‎2‎‎3‎上单调递增,在‎-‎2‎‎3‎,+∞‎上单调递减,‎ 所以当x=-‎2‎‎3‎时,f(x)max=‎2‎‎3‎+a.‎ 不等式f(x)>4有解等价于f(x)max=‎2‎‎3‎+a>4,解得a>‎10‎‎3‎,‎ 故a的取值范围为‎10‎‎3‎‎,+∞‎.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)由f(x)≤x,得|2x-7|+1≤x,即|2x-7|≤x-1.‎ 当x≤1时,显然不成立.‎ 当x>1时,两边平方得3x2-26x+48≤0,即(x-6)(3x-8)≤0,解得‎8‎‎3‎≤x≤6,‎ 综上得,不等式的解集为x‎8‎‎3‎≤x≤6.‎ ‎(2)因为存在x使不等式|2x-7|-2|x-1|+1≤a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.‎ 又因为|2x-7|-2|x-1|+1=‎6,x≤1,‎‎-4x+10,12.‎ 不等式f(x)>4等价于x<1,‎‎4-3x>4‎或‎1≤x≤2,‎x>4‎或x>2,‎‎3x-4>4,‎ 解得x<0或x∈‎⌀‎或x>‎8‎‎3‎,故所求解集为(-∞,0)∪‎8‎‎3‎‎,+∞‎.‎ ‎(2)由(1)可得,当x=1时,f(x)取得最小值1.‎ ‎∵f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,‎ ‎∴f(x)min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,‎ ‎∴2m2-7m+3<0,解得‎1‎‎2‎2.‎ 当m=5时,f(x)>0等价于x≤-1,‎‎-2x+1>5‎或‎-15‎或x>2,‎‎2x-1>5,‎ 解得x<-2或x∈‎⌀‎或x>3,‎ ‎∴不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).‎ ‎(2)由题意知m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,‎ 又|x+1|+|x-2|-2≥|(x+1)-(x-2)|-2=1,‎ ‎∴m≤1,即m的取值范围是(-∞,1].‎ ‎[备选理由] 例1考查含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进行分类讨论,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原则;例2考查不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例3考查绝对值不等式恒成立问题,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,分离参数法,利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法, 综合性较大.‎ 例1　[配例1使用] 已知函数f(x)=|2x+1|+|x-a|,a∈R.‎ ‎(1)当a=2时,解不等式f(x)≤4;‎ ‎(2)若不等式f(x)<1的解集为非空集合,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=2时,原不等式即为|2x+1|+|x-2|≤4.‎ ‎①当x≤-‎1‎‎2‎时,原不等式为-2x-1-x+2≤4,可得-1≤x≤-‎1‎‎2‎;‎ ‎②当-‎1‎‎2‎2时,原不等式为2x+1+x-2≤4,可得x∈‎⌀‎.‎ 综上可知,原不等式的解集是[-1,1].‎ ‎(2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,a∈R.‎ ‎①当a=-‎1‎‎2‎时,f(x)=‎3‎‎2‎|2x+1|≥0,显然不等式f(x)<1的解集为非空集合.‎ ‎②当a>-‎1‎‎2‎时,易知当x=-‎1‎‎2‎时,f(x)取得最小值a+‎1‎‎2‎,即f(x)=|2x+1|+|x-a|≥a+‎1‎‎2‎.欲使不等式f(x)<1的解集为非空集合,则需a+‎1‎‎2‎<1,‎ ‎∴-‎1‎‎2‎0,n>0,求证:m+n≤2.‎ 解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|≥|x+1-(x-1)|=2,当且仅当-1≤x≤1时取等号,‎ 所以f(x)min=2,即a=2.‎ ‎(2)证明:假设m+n>2,则m>2-n,则m3>(2-n)3,‎ 所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)2≥2.①‎ 由(1)知a=2,所以m3+n3=2.②‎ ‎①②矛盾,所以假设不成立,即m+n≤2.‎ 例3　[配例3使用] 已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m,m∈R.‎ ‎(1)当m=-2时,求不等式f(x)≤3的解集;‎ ‎(2)若对任意x∈(-∞,0),都有f(x)≥x+‎2‎x恒成立,求m的取值范围.‎ 解:(1)当m=-2时,f(x)=|2x|+|2x+3|-2=‎‎4x+1(x≥0),‎‎1‎-‎3‎‎2‎0,‎ ‎∴y=5x+‎2‎x+3在‎-∞,-‎‎3‎‎2‎上是增函数.‎ ‎∴当x=-‎3‎‎2‎时,y=5x+‎2‎x+3取到最大值,最大值为-‎35‎‎6‎,‎ ‎∴m≥-‎35‎‎6‎.‎ 综上可得m≥-3-2‎2‎.‎