高考数学上海卷文科试卷及答案Word版

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‎2012年上海高考数学（文科）试卷 ‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎ 1．计算：= （i为虚数单位）.‎ ‎ 2．若集合，，则= .‎ ‎ 3．函数的最小正周期是 .‎ ‎ 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角 函数值表示）.‎ ‎ 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该诉表面积为 .‎ ‎ 6．方程的解是 .‎ ‎7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . ‎ ‎ 8．在的二项展开式中，常数项等于 .‎ ‎9．已知是奇函数. 若且.，则 .‎ O M x l a ‎10．满足约束条件的目标函数的最小值是 .‎ ‎11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.‎ ‎12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上 的点，且满足，则的取值范围是 .‎ ‎13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).‎ 函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .‎ ‎14．已知.各项均为正数的数列满足，.若 ‎ ，则的值是 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （ ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）.（D）.‎ ‎16．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 （ ）‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 ‎ （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ ‎17．在中，若，则的形状是 （ ）‎ ‎ （A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （D）不能确定.‎ ‎18．若，则在中，正数的 个数是 （ ）‎ ‎ （A）16. （B）72. （C）86. （D）100.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）‎ P A B C D ‎19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，‎ PA=2.求：‎ ‎（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）‎ ‎（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分）‎ ‎20．已知函数.‎ ‎ （1）若，求的取值范围；（6分）‎ ‎ （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.（8分）‎ ‎21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 x O y P A 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ‎；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎ （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）‎ ‎ （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎ （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分）‎ ‎ （3）设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，‎ 求证：OP⊥OQ；（6分）‎ ‎23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即 为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 ‎1,3,3,5,5.‎ ‎ （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）‎ ‎ （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.‎ 求证：（k=1,2,…,m）；（6分）‎ ‎ （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，‎ 求.‎ ‎2012年上海高考数学（文科）试卷解答 ‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎ 1．计算：= 1-2i （i为虚数单位）.‎ ‎ 2．若集合，，则= .‎ ‎ 3．函数的最小正周期是 p .‎ ‎ 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角 函数值表示）.‎ ‎ 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该诉表面积为 6p .‎ ‎ 6．方程的解是.‎ ‎7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…，则 . ‎ ‎ 8．在的二项展开式中，常数项等于 -20 .‎ ‎9．已知是奇函数. 若且.，则 3 .‎ ‎10．满足约束条件的目标函数的最小值是 -2 .‎ ‎11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.‎ ‎12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上 的点，且满足，则的取值范围是 [1, 4] .‎ ‎13．已知函数的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).‎ 函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .‎ ‎14．已知.各项均为正数的数列满足，.若 ‎ ，则的值是.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 （ D ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）.（D）.‎ ‎16．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的 （ B ）‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 ‎ （C）充分必要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ ‎17．在中，若，则的形状是 （ A ）‎ ‎ （A）钝角三角形. （B）直角三角形. （C）锐角三角形. （D）不能确定.‎ ‎18．若，则在中，正数的 个数是 （ C ）‎ ‎ （A）16. （B）72. （C）86. （D）100.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）‎ P A B C D ‎19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，‎ PA=2.求：‎ ‎（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）‎ ‎（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分）‎ ‎[解]（1）， 2分 P A B C D E ‎ 三棱锥P-ABC的体积为 ‎. 6分 ‎ （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 ‎ ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 ‎ BC与AD所成的角. 8分 ‎ 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，‎ ‎ ，所以∠ADE=.‎ ‎ 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分 ‎20．已知函数.‎ ‎ （1）若，求的取值范围；（6分）‎ ‎ （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.（8分）‎ ‎[解]（1）由，得.‎ ‎ 由得. ……3分 ‎ 因为，所以，.‎ ‎ 由得. ……6分 ‎ （2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此 ‎. ……10分 由单调性可得.‎ 因为，所以所求反函数是，. ……14分 ‎21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 x O y P A 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ‎；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎ （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）‎ ‎ （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）‎ ‎[解]（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 ‎ 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 ‎ 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 ‎ 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 ‎ 为北偏东arctan弧度. ……6分 ‎ （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.‎ ‎ 由，整理得.……10分 ‎ 因为，当且仅当=1时等号成立，‎ ‎ 所以，即.‎ ‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 ‎22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎ （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分）‎ ‎ （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，‎ 求证：OP⊥OQ；（6分）‎ ‎[解]（1）双曲线，左焦点.‎ ‎ 设，则， ……2分 ‎ 由M是右支上一点，知，所以，得.‎ ‎ 所以. ……5分 ‎ （2）左顶点，渐近线方程：.‎ ‎ 过A与渐近线平行的直线方程为：，即.‎ ‎ 解方程组，得. ……8分 ‎ 所求平行四边形的面积为. ……10分 ‎ （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，‎ 即 (*).‎ 由，得.‎ ‎ 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.‎ ‎ ，所以 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分 ‎23．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即 为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 ‎1,3,3,5,5.‎ ‎ （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）‎ ‎ （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.‎ 求证：（k=1,2,…,m）；（6分）‎ ‎ （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，‎ 求.‎ ‎[解]（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；‎ ‎ 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 ‎ （2）因为，，‎ ‎ 所以. ……6分 ‎ 因为，，‎ ‎ 所以，即. ……8分 ‎ 因此，. ……10分 ‎ （3）对，；；‎ ‎ ；.‎ ‎ 比较大小，可得. ……12分 ‎ 因为，所以，即；‎ ‎ ，即.‎ ‎ 又，‎ 从而，，，. ……15分 ‎ 因此 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ===. ……18分