2015高考数学(文)(专题一 高考中的导数应用)一轮专题练习题

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文档介绍

2015高考数学(文)(专题一 高考中的导数应用)一轮专题练习题

专题一 高考中的导数应用问题 ‎1. 函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 (  )‎ A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)‎ 答案 D 解析 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)·ex]′=1·ex+(x-3)·ex=(x-2)ex.‎ 由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.‎ ‎2.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是 (  )‎ A.(0,1) B.(-∞,1)‎ C.(0,+∞) D. 答案 D 解析 f(x)在(0,1)内有最小值,即f(x)在(0,1)内有极小值,f′(x)=3x2-6b,‎ 由题意,得函数f′(x)的草图如图,‎ ‎∴ 即 解得00;当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.‎ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-1,0).‎ ‎(2)f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)=ex-1-ax,g′(x)=ex-a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.‎ 若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g′(x)<0,g(x)为减函数, ‎ 而g(0)=0,从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即f(x)<0.‎ 综合得a的取值范围为(-∞,1].‎ 思维升华 (1)判断函数的单调性,求函数的单调区间、极值等问题,最终归结到判断f′(x)的符号问题上,而f′(x)>0或f′(x)<0,最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题.‎ ‎(2)若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解. ‎ ‎ 已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.‎ 解 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c,‎ 得f′(x)=3x2+2ax-1.‎ 当x=时,得a=f′=3×2+‎2a×-1,‎ 解之,得a=-1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c.‎ 则f′(x)=3x2-2x-1=3(x-1),列表如下:‎ x ‎(-∞,-)‎ ‎- ‎(-,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);‎ f(x)的单调递减区间是.‎ ‎(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex,‎ 有g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex ‎=(-x2-3x+c-1)ex,‎ 因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,‎ 所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.‎ 只要h(2)≥0,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).‎ 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.‎ ‎(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;‎ ‎(2)对一切x∈(0,+∞),‎2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.‎ 思维启迪 (1)求f′(x),讨论参数t求最小值;‎ ‎(2)分离a,利用求最值得a的范围;‎ ‎(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系,充分利用(1)中所求最值.‎ 解 (1)由f(x)=xln x,x>0,得f′(x)=ln x+1,‎ 令f′(x)=0,得x=.‎ 当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.‎ ‎①当00),则h′(x)=,‎ ‎①当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,‎ ‎②当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,‎ 所以h(x)min=h(1)=4,对一切x∈(0,+∞),‎2f(x)≥g(x)恒成立,‎ 所以a≤h(x)min=4.‎ ‎(3)问题等价于证明xln x>-(x∈(0,+∞)).‎ 由(1)可知f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-,‎ 当且仅当x=时取到,设m(x)=-(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易知m(x)max=m(1)=-,‎ 当且仅当x=1时取到.‎ 从而对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.‎ 思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.‎ ‎(2)证明不等式,可以转化为求函数的最值问题.‎ ‎ 已知函数f(x)=sin x(x≥0),g(x)=ax(x≥0).‎ ‎(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)当a取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤x3.‎ ‎(1)解 令h(x)=sin x-ax(x≥0),则h′(x)=cos x-a.‎ 若a≥1,h′(x)=cos x-a≤0,h(x)=sin x-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0,则sin x≤ax(x≥0)成立.‎ 若00,h(x)=sin x-ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>h(0)=0,不合题意,‎ 结合f(x)与g(x)的图象可知a≤0显然不合题意,‎ 综上可知,a≥1.‎ ‎(2)证明 当a取(1)中的最小值1时,g(x)-f(x)=x-sin x.‎ 设H(x)=x-sin x-x3(x≥0),则H′(x)=1-cos x-x2.‎ 令G(x)=1-cos x-x2,则G′(x)=sin x-x≤0(x≥0),‎ 所以G(x)=1-cos x-x2在[0,+∞)上单调递减,‎ 此时G(x)=1-cos x-x2≤G(0)=0,‎ 即H′(x)=1-cos x-x2≤0,‎ 所以H(x)=x-sin x-x3(x≥0)单调递减.‎ 所以H(x)=x-sin x-x3≤H(0)=0,‎ 即x-sin x-x3≤0(x≥0),‎ 即x-sin x≤x3(x≥0).‎ 所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤x3.‎ 题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题 例3 已知f(x)=ax2 (a∈R),g(x)=2ln x.‎ ‎(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;‎ ‎(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等解,求a的取值范围.‎ 思维启迪 (1)通过讨论a确定F(x)的符号;‎ ‎(2)将方程f(x)=g(x)变形为a=,研究φ(x)=图象的大致形状.‎ 解 (1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+∞),‎ ‎∴F′(x)=2ax-= (x>0).‎ ‎①当a>0时,由ax2-1>0,得x>.‎ 由ax2-1<0,得00时,F(x)在区间上单调递增,‎ 在区间上单调递减.‎ ‎②当a≤0时,F′(x)<0 (x>0)恒成立.‎ 故当a≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.‎ ‎(2)原式等价于方程a==φ(x)在区间[,e]上有两个不等解.‎ ‎∵φ′(x)=在(,)上为增函数,‎ 在(,e)上为减函数,则φ(x)max=φ()=,‎ 而φ(e)=<φ(2)‎ ‎===φ().‎ ‎∴φ(x)min=φ(e),‎ 如图当f(x)=g(x)‎ 在[,e]上有两个不等解时有 φ(x)min=,‎ 故a的取值范围为≤a<.‎ 思维升华 对于可转化为a=f(x)解的个数确定参数a的范围问题,都可以通过f(x)的单调性、极值确定f(x)的大致形状,进而求a的范围.‎ ‎ 已知函数f(x)=|ax-2|+bln x(x>0).‎ ‎(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=在(0,1]上解的个数.‎ 解 (1)f(x)=|x-2|+bln x ‎= ‎①当0.‎ 则g′(x)>-a++=≥0.‎ 即g′(x)>0,∴g(x)在(0,)上是递增函数.‎ 当x≥时,g(x)=ax-2+ln x-,‎ g′(x)=a++>0.‎ ‎∴g(x)在(,+∞)上是递增函数.‎ 又因为函数g(x)在x=有意义,‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)上是递增函数.‎ ‎∵g()=ln -,而a≥2,‎ ‎∴ln ≤0,则g()<0.‎ ‎∵a≥2,∴g(1)=a-3.‎ 当a≥3时,g(1)=a-3≥0,‎ ‎∴g(x)=0在(0,1]上解的个数为1.‎ 当2≤a≤3时,g(1)=a-3<0,‎ ‎∴g(x)=0在(0,1]上无解,即解的个数为0.‎ ‎1. 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.‎ 解 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b,‎ 因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(‎3a+1)x2+(b+2)x+b.‎ 因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),‎ 即对任意实数x,有a(-x)3+(‎3a+1)(-x)2+‎ ‎(b+2)(-x)+b=-[ax3+(‎3a+1)x2+(b+2)x+b],‎ 从而‎3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,‎ 因此f(x)的表达式为f(x)=-x3+x2.‎ ‎(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,所以g′(x)=-x2+2.‎ 令g′(x)=0,解得x1=-,x2=,‎ 则当x<-或x>时,g′(x)<0,‎ 从而g(x)在区间(-∞,- ),(,+∞)上是减函数;‎ 当-0,‎ 从而g(x)在区间(-,)上是增函数.‎ 由上述讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得,‎ 而g(1)=,g()=,g(2)=,‎ 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,‎ 最小值g(2)=.‎ ‎2. 已知函数f(x)=ax+xln x的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)若k∈Z,且k<对任意x>1恒成立,求k的最大值.‎ 解 (1)因为f(x)=ax+xln x,所以f′(x)=a+ln x+1.‎ 因为函数f(x)=ax+xln x的图象在点x=e处的切线斜率为3,‎ 所以f′(e)=3,即a+ln e+1=3,所以a=1.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=x+xln x,又k<对任意x>1恒成立,‎ 即k<对任意x>1恒成立.‎ 令g(x)=,则g′(x)=,‎ 令h(x)=x-ln x-2(x>1),则h′(x)=1-=>0,‎ 所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.‎ 因为h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,‎ 所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).‎ 当1x0时,h(x)>0,‎ 即g′(x)>0,所以函数g(x)=在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,‎ 所以[g(x)]min=g(x0)===x0∈(3,4),‎ 所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4),故整数k的最大值为3.‎ ‎3. 设函数f(x)=ex-1-x-ax2.‎ ‎(1)若a=0,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.‎ 解 (1)若a=0,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.‎ 当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.‎ 故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎(2)f′(x)=ex-1-2ax.‎ 由(1)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,‎ 故f′(x)≥x-2ax=(1-‎2a)x,‎ 从而当1-‎2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0).‎ ‎∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.‎ 而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.‎ 由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).从而当a>时,f′(x)(4ln x-x2+1)min.‎ 设M(x)=4ln x-x2+1,x∈[1,e],‎ 则M′(x)=-2x=,‎ 令M′(x)=0,∵x∈[1,e],∴x=.‎ 当0,∴M(x)在[1,]上为增函数,‎ ‎∴M(x)在[1,e]上有最大值且在x=处取到.‎ 又M(1)=0,M(e)=5-e2<0,‎ ‎∴M(x)的最小值为5-e2.∴m>5-e2.‎ ‎6. (2013·湖南)已知a>0,函数f(x)=.‎ ‎(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;‎ ‎(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)当0≤x≤a时,f(x)=;‎ 当x>a时,f(x)=.‎ 因此,当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,‎ f(x)在(0,a)上单调递减;‎ 当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,‎ f(x)在(a,+∞)上单调递增.‎ ‎①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.‎ ‎②若0
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