- 2021-05-14 发布 |
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文档介绍
2015高考数学(文)(专题一 高考中的导数应用)一轮专题练习题
专题一 高考中的导数应用问题 1. 函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案 D 解析 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)·ex]′=1·ex+(x-3)·ex=(x-2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2. 2.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D. 答案 D 解析 f(x)在(0,1)内有最小值,即f(x)在(0,1)内有极小值,f′(x)=3x2-6b, 由题意,得函数f′(x)的草图如图, ∴ 即 解得00;当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-1,0). (2)f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)=ex-1-ax,g′(x)=ex-a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0. 若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 而g(0)=0,从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即f(x)<0. 综合得a的取值范围为(-∞,1]. 思维升华 (1)判断函数的单调性,求函数的单调区间、极值等问题,最终归结到判断f′(x)的符号问题上,而f′(x)>0或f′(x)<0,最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题. (2)若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解. 已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围. 解 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c, 得f′(x)=3x2+2ax-1. 当x=时,得a=f′=3×2+2a×-1, 解之,得a=-1. (2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c. 则f′(x)=3x2-2x-1=3(x-1),列表如下: x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞); f(x)的单调递减区间是. (3)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex, 有g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增, 所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立. 只要h(2)≥0,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞). 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立. 思维启迪 (1)求f′(x),讨论参数t求最小值; (2)分离a,利用求最值得a的范围; (3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系,充分利用(1)中所求最值. 解 (1)由f(x)=xln x,x>0,得f′(x)=ln x+1, 令f′(x)=0,得x=. 当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ①当0查看更多
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