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文档介绍
2007全国高考数学理新课标试题及答案详解
2007-2011年普通高等学校招生全国统一考试 2007年普通高等学校招生全国统一考试 参考公式： 样本数据，，，的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中为底面面积、为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ， 其中为底面面积，为高 其中为球的半径 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题，，则（ ） Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 【解析】是对的否定，故有： 答案：C 2．已知平面向量，则向量（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案：D 3．函数在区间的简图是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】排除Ｂ、Ｄ， 排除Ｃ。也可由五点法作图验证。 答案：A 4．已知是等差数列，，其前10项和， 开始 ？ 是 否 输出 结束 则其公差（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案：D 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 【解析】由程序知， 答案：C 6．已知抛物线的焦点为， 点，在抛物线上， 且， 则有（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】由抛物线定义， 即：． 答案：C 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 7．已知，，成等差数列，成等比数列， 则的最小值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案：D 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出 的尺寸（单位：cm），可得这个几 何体的体积是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】如图， 答案：B 9．若，则的值为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案：C 10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以： 答案：D 11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】 答案：B 12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】如图，设正三棱锥的各棱长为， 则四棱锥的各棱长也为， 于是 答案：B 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线 的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 【解析】如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C， 则： 答案：3 14．设函数为奇函数，则 ． 【解析】 答案：-1 15．是虚数单位， ．（用的形式表示，） 【解析】 答案： 16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排 一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 【解析】由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班， 共有种安排方法。 答案：240 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面 内的两个测点与．现测得， 并在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 【解析】在中，． 由正弦定理得． 所以． 在中， ． 18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥中，侧面与侧面 均为等边三角形，，为中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）证明： 由题设，连结， 为等腰直角三角形， 所以，且， 又为等腰三角形，故， 且，从而． 所以为直角三角形，． 又． 所以平面． （Ⅱ）解法一： 取中点，连结，由（Ⅰ）知， 得． 为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又， 故． 所以二面角的余弦值为． 解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系． 设，则． 的中点，． ． 故等于 二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为． 19．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆 有两个不同的交点和． （I）求的取值范围； （II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数， 使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为， 代入椭圆方程得． 整理得 ① 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于， 解得或．即的取值范围为． （Ⅱ）设，则， 由方程①，．② 又．③ 而． 所以与共线等价于，将②③代入上式，解得． 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数． 20．（本小题满分12分） 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为. 假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目． （I）求的均值； （II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率． 附表： 【解析】每个点落入中的概率均为．依题意知． （Ⅰ）． （Ⅱ）依题意所求概率为， ． 21．（本小题满分12分） 设函数 （I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性； （II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于． 【解析】（Ⅰ），依题意有，故． 从而． 的定义域为，当时，； 当时，； 当时，． 从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少． （Ⅱ）的定义域为，． 方程的判别式． （ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值． （ⅱ）若，则或． 若，，． 当时，， 当时， ，所以无极值． 若，，，也无极值． （ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根 ，． 当时，，从而有的定义域内没有零点， 故无极值． 当时，，，在的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知在取得极值． 综上，存在极值时，的取值范围为． 的极值之和为 ． 22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知是的切线，为切点，是 的割线，与交于两点，圆心在 的内部，点是的中点． （Ⅰ）证明四点共圆； （Ⅱ）求的大小． 【解析】（Ⅰ）证明：连结． 因为与相切于点，所以． 因为是的弦的中点，所以． 于是． 由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以． 由（Ⅰ）得． 由圆心在的内部，可知． 所以． 22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 和的极坐标方程分别为． （Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程． 【解析】以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系， 两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ），，由得．所以． 即为的直角坐标方程．同理为的直角坐标方程． （Ⅱ）由解得． 即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为． 22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲 设函数． （I）解不等式； （II）求函数的最小值． 【解析】 （Ⅰ）令，则 ．．．．．．．．．．．．．．．3分 作出函数的图象，它与直线的交点为和． 所以的解集为． （Ⅱ）由函数的图像可知， 当时，取得最小值． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） ． 参考公式： 样本数据x1，x2， …，xn的标准参 锥体体积公式 s= V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ， 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数)在区间的图像如下： y x 1 1 O 那么＝（ ） A．1 B．2 C． D． 开始 输入 输出 结束 是 是 否 否 2．已知复数，则=（ ） A． B． C． D． 3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ） A． B． C． D． 5．右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 项中的（ ） A． B． C． D． 6．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得都成立的x取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（ ） A． B． C． D． 8．平面向量a，b共线的充要条件是（ ） A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．， D．存在不全为零的实数，， 9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天 多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 10．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 12．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量，，且，则 ． 14．设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ． 15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下： 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 甲 乙 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ； ② ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知是一个等差数列，且，． （Ⅰ）求的通项； （Ⅱ）求前n项和Sn的最大值． A B C D P 18．（本小题满分12分） 如图，已知点P在正方体的对角线上，． （Ⅰ）求DP与所成角的大小； （Ⅱ）求DP与平面所成角的大小． 19．（本小题满分12分） 两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 5％ 10％ P 0.8 0.2 X2 2％ 8％ 12％ P 0.2 0.5 0.3 （Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2； （Ⅱ）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值．（注：） 20．（本小题满分12分） 在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．（Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程． 21．（本小题满分12分） 设函数，曲线在点处的切线方程为y=3． （Ⅰ）求的解析式： （Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为． （Ⅰ）证明：； O M A P N B K （Ⅱ）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点．过点的切线交直线于．证明：． 23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程 已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）． （Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； 1 1 O x y （Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数． （Ⅰ）作出函数的图像； （Ⅱ）解不等式． 参考答案 一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．D 11．A 12．C 二、填空题 13． 14． 15． 16． 1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）． 2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． 3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀． 三、解答题 17．解： （Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，． 所以． A B C D P x y z H （Ⅱ）． 所以时，取到最大值． 18．解： 如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系． 则，．连结，． 在平面中，延长交于．设， 由已知，由 可得．解得，所以． （Ⅰ）因为， 所以．即与所成的角为． （Ⅱ）平面的一个法向量是． 因为，所以． 可得与平面所成的角为． 19．解：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 ， ， ， ． （Ⅱ） ，当时，为最小值． 20．解：（Ⅰ）由：知．设，在上，因为，所以， 得，．在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得，解得（不合题意，舍去）． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同，故的斜率． 设的方程为．由消去并化简得 ．设，，，． 因为，所以． =． 所以．此时， 故所求直线的方程为，或． 21．解：（Ⅰ）， 于是解得或因，故． （Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数． 所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而． 可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为 ．令得，切线与直线交点为． 令得，切线与直线交点为．直线与直线的交点为． 从而所围三角形的面积为． 所以，所围三角形的面积为定值． 22．解：（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以． 又因为．在中，由射影定理知，． （Ⅱ）证明：因为是圆的切线，．同（Ⅰ），有，又， 所以，即．又， 所以，故． 23．解：（Ⅰ）是圆，是直线．的普通方程为，圆心，半径． 的普通方程为．因为圆心到直线的距离为， 所以与只有一个公共点．（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为 ：（为参数）； ：（t为参数）． 化为普通方程为：：，：， 联立消元得，其判别式， 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同． 24．解：（Ⅰ） 图像如下： 1 1 O x y 2 3 4 2 4 -1 -2 -2 8 -4 （Ⅱ）不等式，即，由得． 由函数图像可知，原不等式的解集为 2009年普通高等学校招生考试新课标理科数学 （海南、宁夏卷） 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A＝{1,3,5,7,9},B＝{0,3,6,9,12},则A∩B等于( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} 2.复数等于 ……( ) A.0 B.2 C.－2i D.2i 3.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i＝1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i＝1,2,…,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( ) 图1 图2 A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B.2 C. D.1 5.有四个关于三角函数的命题: p1:x∈R, p2:x,y∈R,sin(x－y)＝sinx－siny p3:x∈［0,π］, p4:sinx＝cosy 其中的假命题是( ) A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 6.设x,y满足则z＝x+y( ) A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 7.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1＝1,则S4等于( ) A.7 B.8 C.15 D.16 8.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ） A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱锥A—BEF的体积为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值 9.已知点O，N，P在△ABC所在平面内,且， ，，则点O,N,P依次是△ABC的（ ） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) 10.如果执行下边的程序框图,输入x＝－2,h＝0.5,那么输出的各个数的和等于（ ） A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 11.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为（ ） A. B. C. D. 12.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x,x+2,10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_________________. 14.已知函数y＝sin(ωx+φ)(ω＞0,－π≤φ＜π)的图像如图所示,则φ＝_______. 15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有__________种(用数字作答). 16.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am－1+am+1－am2＝0,S2m－1＝38,则m＝________________. :解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤. . 18.(本小题满分12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数). (1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人; (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1: 生产能 力分组 ［100,110) ［110,120) ［120,130) ［130,140) ［140,150) 人数 4 8 x 5 3 表2: 生产能力分组 ［110,120) ［120,130) ［130,140) ［140,150) 人数 6 y 36 18 ①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论) 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 ②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小. (3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线 . 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x. (1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF. (1)证明B,D,H,E四点共圆;(2)证明CE平分∠DEF. 23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1:(t为参数),C2: (θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. . 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点.设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和. (1)将y表示为x的函数;(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值? 详解答案 选择题 1.答案:A 解析:即在A中把B中有的元素去掉. 2.答案:D 解析:原式.故选D. 3答案:C 解析:由图象观察易知C正确. .4. 答案:A 解析:焦点F(4,0),渐近线方程为.由点到直线的距离得.故选A. 5.答案:A 解析:x∈R, ,故p1为假命题. 由sinx＝cosysinx＝sin()＝π+2kπ, 或,k∈Z,故p4为假命题. 故选A. 6.答案:B 解析:由图象可知z＝x+y在点A处取最小值zmin＝2,无最大值. 7.答案:C解析:由4a1+a3＝4a24+q2＝4qq＝2, 则S4＝a1+a2+a3+a4＝1+2+4+8＝15. 故选C. 8.答案:D 解析:由AC⊥平面DBB1D1可知AC⊥BE.故A正确. EF∥BD,EF平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B正确. A到平面BEF的距离即为A到平面DBB1D1的距离,为, 且, 故VA—BEF为定值,即C正确. 故选D. 9.答案:C 解析:由知O到A、B、C三点的距离相等,即为外心. 由 ,设D为BC中点,则有NA+2ND＝0. 则N为中线靠近中点的三等分点,即为重心. 由,同理,有，.则P为垂心,故选C. 10.答案:B解析:当x＜0时输出y恒为0,当x＝0时,输出y＝0. 当x＝0.5时,输出y＝x＝0.5.当1≤x≤2时输出y恒为1,而h＝0.5,故x＝1、1.5、2. 故输出的各个数之和为0.5+3＝3.5.故选B. 11.答案:A解析:由三视图可知原棱锥为三棱锥,记为P—ABC(如图). 且底边为直角三角形,顶点P在底面射影为底边AC的中点, 且由已知可知AB＝BC＝6,PD＝4. 则全面积为 .故选A. 12.答案:C解析:令2x＝x+2x1＜0(舍)或x2＝2,令2x＝10－x即2x+x＝10,则2＜x＜3. 则可知f(x)的大致图象如下图所示. 故f(x)≤6,即选C. 填空题 13.答案:y＝x 解析:由F(1,0)知抛物线C的方程为y2＝4x,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有y12＝4x1,y22＝4x2,两式相减有y12－y22＝4(x1－x2). 故lAB:y－2＝x－2,即y＝x. 14.答案:解析:,故. ∴,令4 (k∈Z). 则,k∈Z.又－π≤φ＜π, 则. 15.答案:140 解析:分两步:(一)有一人不参加活动, (二)将6人分成二组,每组3人安排在两天工作.故共有. 16.答案:10解析:由am－1+am+1－am2＝0且am－1+am+1＝2am知am2＝2amam＝2或am＝0. 又S2m－1＝38知am≠0,故am＝2,则S2m－1＝(2m－1)×2＝38m＝10. 三、解答题 18.分析:本小题主要考查三角形中正、余弦定理的应用. 解:方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N的俯角α2,β2;A,B的距离d(如图所示). ②第一步:计算AM.由正弦定理; 第二步:计算AN.由正弦定理; 第三步:计算MN.由余弦定理. 方案二:①需要测量的数据有: A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B的距离d(如图所示). ②第一步:计算BM.由正弦定理; 第二步:计算BN.由正弦定理; 第三步:计算MN.由余弦定理 19.分析:本小题第(1)问考查分层抽样和相互独立事件同时发生的概率. 第(2)问考查频率分布直方图及期望的求解. 解:(1)甲、乙被抽到的概率均为,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为. (2)①由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3＝25,得x＝5, 6+y+36+18＝75,得y＝15. 频率分布直方图如下: 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小. ②, , . A类工人生产能力的平均数,B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. 20分析:本小题主要考查线面垂直、线面平行的基本空间位置关系.第(1)问可以通过线面垂直去求证线线垂直.第(2)问可利用第(1)问结论进一步求解.第(3)问可以从线面平行需要的条件进行转化.亦可以从空间向量方向入手. 解法一:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD. (2)设正方形边长a,则.又,所以∠SDO＝60°. 连OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角. 由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD＝30°,即二面角P－AC－D的大小为30°. (3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC. 由(2)可得,故可在SP上取一点N,使PN＝PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连BN,在△BDN中知BN∥PO. 又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP＝2∶1,故SE∶EC＝2∶1. 解法二:(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,、、分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标O—xyz,如图. 设底面边长为a,则高.于是S(0,0,),D(,0,0),C(0,,0), ＝(0, ,0),＝(,0, ),.故OC⊥SD.从而AC⊥SD. (2)由题设知,平面PAC的一个法向量＝(,0, ),平面DAC的一个法向量＝(0,0, ).设所求二面角为θ,则,所求二面角的大小为30°. (3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知DS是平面PAC的一个法向量, 且＝(,0, ),＝(0, ,).设, 则＝(,, ).而, 即当SE∶EC＝2∶1时, .而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC. 20.分析:本题第(1)问求椭圆中的基本参数. 第(2)问考查形如(a－λ)x2+by2＝c(其中a,b,c为定值)所表示的曲线类型,渗透着分类讨论思想. 解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得解得a＝4,c＝3. 所以椭圆C的标准方程为. (2)设M(x,y),其中x∈［－4,4］.由已知及点P在椭圆C上可得, 整理得(16λ2－9)x2+16λ2y2＝112,其中x∈［－4,4］. ①时,化简得9y2＝112, 所以点M的轨迹方程为(－4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段. ②时,方程变形为,其中x∈［－4,4］. 当0＜λ＜,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分; 当＜λ＜1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分; 当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆. 21. 分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系. 解:(1)当a＝b＝－3时,f(x)＝(x3+3x2－3x－3)e－x,故 f′(x)＝－(x3+3x2－3x－3)e－x +(3x2+6x－3)e－x＝－e－x (x3－9x)＝－x(x－3)(x+3)e－x. 当x＜－3或0＜x＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少. (2)f′(x)＝－(x3+3x2+ax+b)e－x +(3x2+6x+a)e－x＝－e－x［x3+(a－6)x+b－a］. 由条件得f′(2)＝0,即23+2(a－6)+b－a＝0,故b＝4－a.从而f′(x)＝－e－x［x3+(a－6)x+4－2a］. 因为f′(α)＝f′(β)＝0,所以x3+(a－6)x+4－2a＝(x－2)(x－α)(x－β)＝(x－2)［x2－(α+β)x+αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2. 故. 又(β－2)(α－2)＜0，即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a＜－6.于是β－α＞6. 22.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等. 证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°, 所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°. 于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆. (2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆, 所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD, 可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF. 23.分析:参数方程的考查,即为三角函数中同角三角函数的基本关系sin2x+cos2x＝1的应用; 第(2)小问点到直线距离公式的应用. 解:(1)C1:(x+4)2+(y－3)2＝1,C2:. C1为圆心是(－4,3),半径是1的圆. C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当时,P(－4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(－2+4cosθ,). C3为直线x－2y－7＝0,M到C3的距离. 从而当,时,d取得最小值 24.分析:第(1)小问考查绝对值的几何意义——距离问题.第(2)小问考查含绝对值不等式的解法及分段思想. 解:(1)y＝4|x－10|+6|x－20|,0≤x≤30.(2)依题意,x满足 解不等式组,其解集为［9,23］.所以x∈［9,23］. 2010年普通高等学校招生全国统一考试(课标版) 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知复数，是的共轭复数，则 （A） （B） （C）1 （D）2 （3）曲线在点处的切线方程为 （A） （B） （C） （D） （4）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 [来源:学科网] （5）已知命题 ：函数在R为增函数， ：函数在R为减函数， 则在命题：，：，：和：中，真命题是 （A）， （B）， （C）， （D）， （6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 （A） （B） （C） （D） （8）设偶函数满足，则 （A） （B） （C） （D） （9）若，是第三象限的角，则 （A） （B） （C）2 （D） （10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A） （B） （C） （D） （11）已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13） 设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（，）（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 . (14)正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种) (15)过点A(4,1)的圆C与直线相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为 . (16)在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则= 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分l2分) 设数列满足， （Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列 的前n项和. (18)(本小题满分12分) 如圈，己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点. （Ⅰ)证明：PE⊥BC （Ⅱ）若==60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值. (19)(本小题满分12分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： （Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由. (20)（本小题满分12分） 设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线l与E 相较于A,B两点，且,,成等差数列. （Ⅰ)求E的离心率；（Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程. (21)（本小题满分12分）设函数f(x)=. （Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围. [来请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分10分) 选修4—1；几何证明选讲 如图，已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： （Ⅰ)=; （Ⅱ）; (22) （本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程 已知直线: （t为参数），圆: (为参数)， （Ⅰ)当=时，求与的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O作的垂线，垂足为A,P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线; (23) （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设函数f(x)= （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题： 1.解析：∵A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}， ∴A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}． 答案：D 2.解析：∵z＝＝＝＝ ＝＝＝＝， ∴＝，∴z·＝|z|2＝. 答案：A 3.解析：∵y′＝＝，∴k＝y′|x＝－1＝＝2， ∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案：A 4.解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时， P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C. 法二：由题意知P(2cos(t－)，2sin(t－))， ∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－)|， 当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.答案：C 5.解析：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题； ∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题， ∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题． ∴真命题是q1，q4.答案：C 6.解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.答案：B 7.解析：由框图知：k＝1时，S＝0＋； k＝2时，S＝＋； 当k＝3时，S＝＋＋； 当k＝4时，S＝＋＋＋； 满足条件k<5，故还需进行下一步运算， 当k＝5时，S＝＋＋＋＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝， 不满足条件k<5，故输出S，选D. 8.解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8， 又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8， ∴f(x)＝.∴f(x－2)＝， 或，解得x>4或x<0.答案：B 9.解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－， ∴＝＝＝ ＝＝＝＝－.答案：A 10.解析：三棱柱如图所示，由题意可知： 球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处， 连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R， 由题意知：O1B＝×＝，所以半径R2＝()2＋()2＝， 所以球的表面积是S＝4πR2＝.答案：B 11.解析：由a，b，c互不相等，结合图象可知 ：这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上， 不妨设a∈(0,1)，b∈(1,10)，c∈(10,12)，由f(a)＝f(b)得lga＋lgb＝0， 即lgab＝0，所以ab＝1，所以abc∈(10,12)．答案：C 12.解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：， 两式作差得：＝＝＝， 又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得 a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1.答案：B 二、填空题： 13.解析：由均匀随机数产生的原理知： 在区间[0,1]满足yi≤f(xi)的点都落在了函数y＝f(x)的下方， 又因为0≤f(x)≤1，所以由围成的图形的面积是， 由积分的几何意义知f(x)dx＝.答案： 14.解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形． 答案：三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分) 15.解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意知： ，解之得：a＝3，b＝0，r＝， 所以圆的方程是：(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝2 16.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°， 又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－，所以DC＝2(－1)， 又因为BD＝DC，所以BD＝－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝DC·AE＝3－， 所以AE＝，又在直角三角形AED中，DE＝1， 所以BE＝，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°， 在直角三角形AEC中，EC＝2－3，所以tan∠ACE＝＝＝2＋， 所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60° 三、解答题： 17.解：(1)由已知得，当n≥1时， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1， 而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1 ① 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1 ② ①－②得 (1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]． 18.解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)． (1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)， 则D(0，m,0)，E(，，0)． 可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)． 因为·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC. (2)由已知条件可得m＝－，n＝1， 故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)． 设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即 因此可以取n＝(1，，0)． 由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝， 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为. 19.解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%. (2)K2＝≈9.967. 由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好． 20.解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a. l的方程为y＝x＋c, 其中c＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝ . 得a＝，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝＝＝. (2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.即＝－1， 得c＝3，从而a＝3，b＝3.故椭圆E的方程为＋＝1. 21.解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加． (2)f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立． 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0， 即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0. 由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)查看更多