湖北省高考数学复习知识点按难与题型归纳数学应试笔记
湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳（数学应试笔记）
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A、1～4 题，基础送分题，做到不失一题！
A1.集合性质与运算
1、性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为 AA ；
②空集是任何集合的子集，记为 A ；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 BA ，同时 AB ，那么 A = B．
如果 CACBBA ，那么， ．
【注意】：
①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集．（×）
③空集的补集是全集．
④若集合 A=集合 B，则 CBA = ，CAB = CS（CAB）= D （注：CAB = ）．
2、若Ａ={ 1 2 3, , na a a a }，则Ａ的子集有 2n 个，真子集有 2 1n 个，非空真子集有 2 2n 个.
3、 A B C A B A C A B C A B A C （ ）（ ）（ ）, （ ）（ ）（ ）；
A B C A B C A B C A B C （ ） （ ）,（ ） （ ）
4、 De Morgan 公式: ( )U U UC A B C A C B ； ( )U U UC A B C A C B .
【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.
在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有
关问题。
A2.命题的否定与否命题
*1.命题 p q 的否定与它的否命题的区别：
命题 p q 的否定是 p q ,否命题是 p q .
命题“ p 或 q ”的否定是“ p 且 q ”,“ p 且 q ”的否定是“ p 或 q ”.
*2.常考模式：
全称命题 p： , ( )x M p x ；全称命题 p 的否定 p： , ( )x M p x .
特称命题 p： , ( )x M p x ；特称命题 p 的否定 p： , ( )x M p x .
A3.复数运算
*1.运算律：⑴ m n m nz z z ； ⑵ ( )m n mnz z ； ⑶ 1 2 1 2( ) ( , )m m mz z z z m n N .
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.
*2.模的性质：
⑴ 1 2 1 2| | | || |z z z z ； ⑵ 1 1
2 2
| || | | |
z z
z z
； ⑶ nnz z .
*3.重要结论：
⑴ 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | | | 2 | | | |( )z z z z z z ；
⑵ 22
1 2z z z z ； ⑶ 21 2i i ； ⑷ 1
1
i ii
，1
1
i ii
；
⑸i 性质：T=4； 1 , ,1, 4342414 nnnn iiiiii .
【拓展】： 3 21 1 1 0 1 或 1 3 i
2 2
.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律：
(1)所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图像都过点 (1,1) ；
(2) 0a 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0, ) 上是增函数．特别地，当 1a 时，幂函数的图
像下凸；当 0 1a 时，幂函数的图像上凸；
(3) 0a 时，幂函数的图像在区间 (0, ) 上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图像在 y
1
2y x
3y x
12y x
y
x
1
xy
1O
C BA
U
轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 时，图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．
【说明】：对于幂函数我们只要求掌握 1 11,2,3, ,2 3a 的这 5 类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，
并且 1x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.
A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.
(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概
率都相等（ n
N
）.
2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图).
⑴频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积
的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=
样本容量
频数 .
②小长方形面积=组距×
组距
频率 =频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1.
【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，
小矩形的面积表示频率.
⑵茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，
即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做
茎叶图。
3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；
样本平均数： 1 2
1
1 1( )
n
n i
i
x x x x xn n
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).
(1)一组数据 1 2 3, , , , nx x x x
①样本方差
2 2 2 2
1 2
1 [( ) ( ) ( ) ]nS x x x x x xn
2 2 2
1 1 1
1 1 1( ) ( ) ( )
n n n
i i i
i i i
x x x xn n n
；
②样本标准差
2 2 2 2
1 2
1 [( ) ( ) ( ) ]nS x x x x x xn
= 2
1
1 ( )
n
i
i
x xn
(2)两组数据 1 2 3, , , , nx x x x 与 1 2 3, , , , ny y y y ,其中 iy ax b , 1,2,3, ,i n .则 y ax b ,它们
的方差为 2 2 2
y xS a S ,标准差为 | |y xa
③若 1 2, , , nx x x 的平均数为 x ，方差为 2s ，则 1 2, , , nax b ax b ax b 的平均数为 ax b ，方差
为 2 2a s .
样本数据做如此变换： '
i ix ax b ，则 'x ax b ， 2 2 2( )S a S .
B、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解)
B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当 0A 时，若 0Ax By C 表示直线 l 的右边，若 0Ax By C 则表示直线 l 的左边.
（2）当 0B 时，若 0Ax By C 表示直线 l 的上方，若 0Ax By C 则表示直线 l 的下方.
2、设曲线 1 1 1 2 2 2:( )( ) 0C A x B y C A x B y C （ 1 2 1 2 0A A B B ），则
1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C 或 0 所表示的平面区域：
两直线 1 1 1 0A x B y C 和 2 2 2 0A x B y C 所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.
3、点 0 0 0( , )P x y 与曲线 ( ),f x y 的位置关系：
若曲线 ( , )f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线| | | |x a y b m 等），则 0 0( ), 0f x y ，称点在
曲线外部；
若 ( , )f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则 0 0( ), 0f x y ，称点亦在曲线“外部”.
4、已知直线 : 0l Ax By C ，目标函数 z Ax By .
①当 0B 时，将直线 l 向上平移，则 z 的值越来越大；直线 l 向下平移，则 z 的值越来越小；
②当 0B 时，将直线 l 向上平移，则 z 的值越来越小；直线 l 向下平移，则 z 的值越来越大；
5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by ，若 0b ，直线在 y 轴上的截距越大，z 越大，若 0b ，直线在 y 轴上的截距越大，
z 越小.
（2） y m
x n
表示过两点 , , ,x y n m 的直线的斜率，特别 y
x
表示过原点和 ,n m 的直线的斜率.
（3） 2 2t x m y n 表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.
（4） 2 2y x m y n 表示 ,x y 到点 0,0 的距离.
（5） (cos ,sin )F ；
（6） 0 0
2 2
Ax By Cd
A B
；
（7） 2 2a ab b ；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点 )sin,(cos 及余弦
定理进行转化达到解题目的。
B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万
能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上
述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运
算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和
差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，
平方消元等.
具体地：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形
技巧，如下：
2 ， 2 2
；
2 2
， 2 2 2
；
( ) ( ) 2 2 2 2 ；
2 2[( ) ] 2[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ；
2 ( ) ， 2 ( ) ；
15 45 30 ,75 45 30 ；
4 2 4
等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
利用二倍角公式 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 2sin1 和二倍角公式的等价变形
2 cos 2sin 1
2 ， 2 sin 2cos 1
2 ，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”
的互化.
（3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用
的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值变换
常值 3 321 , , , ,1, 32 2 3 2
可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代
换： 2 2 2 21 sin cos sec tan tan cot 2sin30 tan sin cos04 2x x x x x x 等.
（5）引入辅助角
一般的， 2 2
2 2 2 2
sin cos ( sin cos ) sin( )a ba b a b
a b a b
，期中
2 2 2 2
cos ,sin ,tana b b
aa b a b
.
特别的，sin cos 2 sin( )4A A A ;
sin 3 cos 2sin( )3x x x ，
3sin cos 2sin( )6x x x 等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
举例： 2 2sin 20 cos 50 sin 20 cos50A ， 2 2cos 20 sin 50 cos20 sin50B
可以通过 12 sin 70 , sin 702A B A B 两式和，作进一步化简.
（7）整体代换
举例：sin cosx x m 22sin cos 1x x m
sin( ) m ，sin( ) n ，可求出sin cos ,cos sin 整体值，作为代换之用.
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点．
(1)角的变换
因为在 ABC 中， A B C （三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即， sin sin( )A B C ； cos cos( )A B C ； tan tan( )A B C ．
2 2
sin cosA B C ；
2 2
cos sinA B C ；
2 2
tan cotA B C .
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
面积公式： 1 1 sin ( )( )( )2 2aS sh ab C r p p p a p a p a .
其中 r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半．tan tan tan tan tan tan 12 2 2 2 2 2
A B B C C A
(3)对任意 ABC ，；
在非直角 ABC 中， tan tan tan tan tan tanA B C A B C ．
(4)在 ABC 中，熟记并会证明：
*1. , ,A B C 成等差数列的充分必要条件是 60B ．
*2. ABC 是正三角形的充分必要条件是 , ,A B C 成等差数列且 , , ,a b c 成等比数列．
*3.三边 , ,a b c 成等差数列 2b a c 2sin sin sinA B C 1tan tan2 2 3
A C ；
3
≤B .
*4.三边 , , ,a b c 成等比数列 2b ac 2sin sin sinA B C ,
3
≤B .
(5)锐角 ABC 中,
2
A B sin cos ,sin cos ,sin cosA B B C C A ， 2 2 2a b c ；
sin sin sin cos cos cosA B C A B C .
【思考】：钝角 ABC 中的类比结论
(6)两内角与其正弦值：
在 ABC 中， sin sina b A B A B cos2 cos2B A ，…
(7)若 CBA ，则 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cosx y z yz A xz B xy C ≥ .
B 4.三角恒等与不等式
组一
3 3sin 3 3sin 4sin ,cos3 4cos 3cos
2 2 2 2sin sin sin sin cos cos
3
2
3tan tantan 3 tan tan( ) tan( )
1 3tan 3 3
组二
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B CA B C
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B CA B C
2 2 2sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C ……
组三 常见三角不等式
(1)若 (0, )2x ，则sin tanx x x ；
(2) 若 (0, )2x ，则1 sin cos 2x x ≤ ；
(3) | sin | | cos | 1x x ≥ ；
(4)
x
xxf sin)( 在 ),0( 上是减函数；
B5.概率的计算公式：
⑴古典概型： ( ) AP A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式： ( )( ) ( )
m card Ap A n card I
；
②互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；
③对立事件的概率计算公式是：P( A )=1－P(A)；
④独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)；
⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
( ) (1 )k k n k
n nP k C P P (是二项展开式[(1－P)+P]n 的第(k+1)项).
⑵几何概型：若记事件 A={任取一个样本点，它落在区域 g }，则 A 的概率定义为
( ) g AP A
的测度 构成事件 的区域长度（面积或体积等）
的测度 试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件
转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立
事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注
意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.
【说明】：条件概率：称
)(
)()|( AP
ABPABP 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
注意：① 0 ( | ) 1P B A ；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：
①直接法：
位置分析法
元素分析法用加法原理（分类）
插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）
捆绑法（相邻问题）
②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手.
（2）解排列组合问题的方法有：
①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，
最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好
没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。
⑥多元问题分类法。
⑦有序问题组合法。
⑧选取问题先选后排法。
⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
⑪涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以 !n .
B7.最值定理
① , 0, 2x y x y xy ≥由 ，若积 ( )xy P 定值 ，则当 x y 时和 x y 有最小值 2 p ；
② , 0, 2x y x y xy ≥由 ，若和 ( )x y S 定值 ，则当 x y 是积 xy 有最大值 21
4 s .
【推广】：已知 Ryx , ，则有 xyyxyx 2)()( 22 .
（1）若积 xy 是定值，则当 || yx 最大时， || yx 最大；当 || yx 最小时， || yx 最小.
（2）若和 || yx 是定值，则当 || yx 最大时， || xy 最小；当 || yx 最小时， || xy 最大.
③已知 , , , Ra x b y ，若 1ax by ，则有：
21 1 1 1( )( ) 2 ( )by axax by a b a b ab a b
x y x y x y
≥
④ , , , Ra x b y ，若 1a b
x y
则有： 2( ) 2 ( )ay bxx y x y a b ab a b
x y
B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；
【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[ , ]m n 上的最值；二是求区间定（动），对
称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对
位置关系.
②逆求法：通过反解，用 y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取值范围，型如
, ( , )ax by x m n
cx d
的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数
解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函
数，再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积
为定值，型如 )0( kx
kxy ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技
巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；
⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，
利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和
的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如
2
1 1 1
2
2 2 2
a x b x cy a x b x c
（ 1a , 2a 不同时为 0 ）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行
求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1. 2
by k x
型，可直接用不等式性质；
2. 2
bxy x mx n
型，先化简，再用均值不等式；
3.
2
2
x m x ny x mx n
型，通常用判别式法；
4.
2x m x ny mx n
型，可用判别式法或均值不等式法；
⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.……
B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；
(3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1) cx dy ax b
( 0)a ：则 cy a
且 y R .
(2) ( 2)cx dy xax b
：利用反表示法求值域。先反表示，再利用 x 的范围解不等式求 y 的范围.
(3)
2
2
2 3 2
6 1
x xy x x
：
(2 1)( 2) 2 1( )(2 1)(3 1) 3 1 2
x x xy xx x x
，则 1 y 13y 且 且 y R .
(4)求 2
2 1
1
xy x x
的值域，当 x R 时，用判别式法求值域。
2
2 1
1
xy x x
2 ( 2) 1 0yx y x y ， 2( 2) 4 ( 1) 0y y y 值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单
调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已
知值域对照求字母取值或范围.
B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 0 4x 时，求函的数 (8 2 )y x x 最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例 2.已知 5
4x ，求函数 1( ) 4 2 4 5f x x x
的最大值.
⑶调整分子：例 3.求函数
2 7 10( ) ( 1)1
x xf x xx
的值域；
⑷ 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式
2
a b ab 有 几 个 常 用 变 形 ：
2 2
2
a b ab , 2( )2
a b ab ，
2 2
2 2
a b a b ，
2 2
2( )2 2
a b a b .前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例 4.求函数
1 52 1 5 2 ( )2 2y x x x 的最大值；
⑸连用公式：例 5.已知 0a b ，求 2 16
( )y a b a b
的最小值；
⑹对数变换：例 6.已知 1 , 12x y ，且 xy e ，求 ln(2 ) yt x 的最大值；
⑺三角变换：例 7.已知
20 y x ≤ ，且 tan 3tanx y ，求t x y 的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例 8.已知 0, 0a b ，且 2 1a b ，求 1 1t a b
的最小值.
B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
⑴平方和为定值
若 2 2x y a （ a 为定值， 0a ），可设 cos , sin ,x a y a ，其中 0 2 ≤ .
① ( , ) sin cos 2 sin( )4f x y x y a a a 在 1 5[0, ],[ ,2 )4 4
上 是 增 函 数 ， 在
1 5[ , ]4 4
上是减函数；
② 1( , ) sin 22g x y xy a 在 1 3 5 7[0, ],[ , ],[ ,2 )4 4 4 4
上是增函数，在 1 3 5 7[ , ],[ , ]4 4 4 4
上是减
函数；
③ 1 1 sin cos( , )
sin cos
x ym x y x y xy a
. 令 sin cos 2 sin( )4t a ， 其 中
[ 2, 1) ( 1,1) (1, 2]t . 由 2 1 2sin cost ， 得 22sin cos 1t ， 从 而
2
2 2( , ) 1( 1) ( )
tm x y
a t a t t
在[ 2, 1) ( 1,1) (1, 2] 上是减函数.
⑵和为定值
若 x y b （b 为定值， 0b ），则 .y b x
① 2( , )g x y xy x bx 在 ( , ]2
b 上是增函数，在[ , )2
b 上是减函数；
② 2
1 1( , ) x y bm x y x y xy x bx
.当 0b 时，在 ( ,0),(0, ]2
b 上是减函数，在[ , ),( , )2
b b b 上
是增函数；当 0b 时，在 ( , ),( , ]2
bb b 上是减函数，在[ ,0),(0, )2
b 上是增函数.
③ 2 2 2 2( , ) 2 2n x y x y x bx b 在 ( , ]2
b 上是减函数，在[ , )2
b 上是增函数；
⑶积为定值
若 xy c （ c 为定值， 0c ），则 .cy x
① ( , ) cf x y x y x x
.当 0c 时，在[ ,0),(0, ]c c 上是减函数，在 ( , ],[ , )c c 上是增
函数；当 0c 时，在 ( ,0),(0, ) 上是增函数；
② 1 1 1( , ) ( )x y cm x y xx y xy c x
. 当 0c 时 ， 在 [ ,0),(0, ]c c 上 是 减 函 数 ， 在
( , ],[ , )c c 上是增函数；当 0c 时，在 ( ,0),(0, ) 上是减函数；
③
2
2 2 2 2
2( , ) ( ) 2c cn x y x y x x cx x
在 ( , ),(0, ]c c 上是减函数，在 ( ,0],[ , )c c 上是
增函数.
⑷倒数和为定值
若 1 1 2
x y d
（ d 为定值，1 1 1, ,x d y
），则 .cy x
成等差数列且均不为零，可设公差为 z ，其中 1z d
，
则 1 1 1 1, ,z zx d y d
得 , .1 1
d dx ydz dz
.
① 2 2
2( ) 1
df x x y d z
.当 0d 时，在 1 1( , ),( ,0]d d
上是减函数，在 1 1[0, ),( , )d d
上是增函
数；当 0d 时，在 1 1( , ),( ,0]d d
上是增函数，在 1 1[0, ),( , )d d
上减函数；
②
2
2 2( , ) .1
dg x y xy d z
.当 0d 时，在 1 1( , ),( ,0]d d
上是减函数，在 1 1[0, ),( , )d d
上是增函
数；当 0d 时，在 1 1( , ),( ,0]d d
上是减函数，在 1 1[0, ),( , )d d
上是增函数；
③
2 2 2
2 2
2 2 2
2 ( 1)( , ) .( 1)
d d zn x y x y d z
. 令 2 2 1t d z ， 其 中 1t ≥ 且 2t ， 从 而
2 2
2
2 2( , ) 4( 2) 4
d t dn x y t t t
在[1,2) 上是增函数，在 (2, ) 上是减函数.
B12.理解几组概念
*1. 广义判别式
设 ( )f x 是关于实数 x 的一个解析式， , , ca b 都是与 x 有关或无关的实数且 0a ，则 2 4 0b ac ≥ 是
方程 2( ) ( ) 0a f x bf x c 有实根的必要条件，称“ ”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命
题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.
*3. 二元函数
设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 Z 就以某一确定的
法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 Z 称为变量 x 与 y 的二元函数.记作： ( , )Z f x y . 其中 x 与 y 称
为自变量，函数 Z 也叫做因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域.
把自变量 x 、y 及因变量 Z 当作空间点的直角坐标，先在 xoy 平面内作出函数 ( , )Z f x y 的定义域 D ；
再过 D 域中得任一点 ( , )M x y 作垂直于 xoy 平面的有向线段 MP ，使其值为与 ( , )x y 对应的函数值 Z ；
当 M 点在 D 中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数 ( , )Z f x y 的几何图形.它通常是一张曲面，
其定义域 D 就是此曲面在 xoy 平面上的投影.
*4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直
角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，
它是运筹学中的一个基本概念.
*5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果 0x 是函数 ( )f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 0x 称为
函数 ( )f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
*6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定 ( )y f x 的拐点.
(1)求 ( )f x ；
(2)令 ( ) 0f x ，解出此方程在区间 ( , )a b 内实根；
(3)对于(2)中解出的每一个实根 0x ，检查 ( )f x 在 0x 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此
点是拐点，若相同，则不是拐点.
*7.驻点
曲线 ( )f x 在它的极值点 0x 处的切线都平行于 x 轴，即 0( ) 0f x .这说明，可导函数的极值点一定是它的
驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.
*8. 凹凸性
定义在 D 上的函数 ( )f x ，如果满足：对任意 2,x x D1 的都有 2
2
1( ) [ ( ) ( )]
2 2
x xf f x f x
1
1≥ ，则称是 ( )f x 上
的凸函数.定义在 D 上的函数如果满足：对任意的 2,x x D1 都有 2
2
1( ) [ ( ) ( )]
2 2
x xf f x f x
1
1≤ ，则称 ( )f x D是 上
的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.
若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的
上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.
B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数 ( )y f x 在闭区间[ , ]a b 上连续，在开区间 ( , )a b 内可导，那末在 ( , )a b 内至少有一点 c ，使
( ) ( ) ( ) ( )f b f a b a f c 成立.这个定理的特殊情形，即： ( ) ( )f b f a 的情形.描述如下：
若 ( )x 在闭区间[ , ]a b 上连续，在开区间 ( , )a b 内可导，且 ( ) ( )a b ，那么在 ( , )a b 内至少有
一点 c ，使 ( ) 0c 成立.
*2. 零点定理：
设函数 ）（xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且 ( ) ( ) 0f a f b ＜ ．那么在开区间 ),( ba 内至少有函数 )(xf 的一个零
点，即至少有一点 （ a ＜ ＜ b ）使 0)( f ．
*3. 介值定理：
设函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且在这区间的端点取不同函数值， BbfAaf )(,)( ，那么对于 BA,
之间任意的一个数 C ，在开区间 ),( ba 内至少有一点 ，使得 Cf )( （ a ＜ ＜ b ）．
*4. 夹逼定理：
设当 00 | |x x ＜ ＜ 时，有 ( )g x ≤ ( )f x ≤ )(xh ，且 Axhxg
xxxx
)(lim)(lim
00
，则必有 .)(lim
0
Axf
xx
【注】： 0| |x x ：表示以 0x 为的极限，则 || 0xx 就无限趋近于零．（ 为最小整数）
C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.线段的定比分点公式
设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 是线段 1 2PP 的分点， 是实数，且 1 2PP PP
（或P2P=
1 P 1P ），
则
1 2
1 2
1
1
x xx
y yy
1 2
1
OP OPOP
1 2(1 )OP tOP t OP
（ 1
1t
）
推广 1：当 1 时，得线段 21PP 的中点公式：
1 2
1 2
2
2
y yy
x xx
推广 2：
MB
AM 则
1
PBPAPM （ 对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点 332211 ,,,,, yxCyxByxA ，重心坐标 yxG , ：
1 2 3
1 2 3
3
3
x x xx
y y yy
注意：在△ABC 中，若 0 为重心，则 0 OCOBOA ，这是充要条件．
【公式理解】：
*1.λ是关键( 1 )
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0)
若 P 与 P1 重合，λ=0 P 与 P2 重合，λ不存在 P 离 P2 P1 无穷远，λ= 1
*2.中点公式是定比分点公式 1 的特例；
*3.始点终点很重要，如若 P 分 21PP 的定比λ=
2
1 ，则 P 分 12 PP 的定比λ=2；
*4. 1 2, , ,x x x 知三求一；
*5.利用 有界性可求一些分式函数取值范围；
*6.OP ＝ 1 2OA OB 则 1 2 1 是三点 、 、P A B 共线的充要条件.
C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇
偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是：
(1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型： ( )f x cx ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c .
②指数函数型： ( ) xf x a ( )( )
( )
( ) ( ) ( ), (1, ) 0f xf x y
f y
f x y f x f y f a .
③对数函数型： ( ) logaf x x ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)xf f x f y
y
f xy f x f y f a a a .
④幂函数型： ( )f x x ( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f , ( )( )
( )
x f xf
y f y
.
⑤三角函数型： ( ) cosf x x , ( ) sing x x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y ,
0
sin(0) 1,lim 1x
xf x
.
( )f x tanx , ( ) ( )( )
1 ( ) ( )
f x f yf x y
f x f y
.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令 x ＝0 或 1，求出 (0)f 或 (1)f 、令 y x 或 y x 等）、递推法、反
证法等）进行逻辑探究。
C 3.函数图像的对称性
O
B
A
P
1P P 2P 1P 2PP
2P1P P
(1)一个函数图像自身的对称性
性质 1：对于函数 ( )y f x ，若存在常数 , ,a b 使得函数定义域内的任意 x ，都有的图像关于直线
2
a bx
对
称.
【注】： ( ) ( )( 0)f a mx f b mx m 亦然.
【特例】，当 a b 时， ( ) ( ) ( )f a x f a x f x 的图像关于直线 x a 对称.
【注】： ( ) (2 )f x f a x 亦然.
性质 2：对于函数 ( )y f x ，若存在常数 , ,a b 使得函数定义域内的任意 x ，都有 ( ) ( )f a x f b x ( )f x 的
图像关于点 ( ,0)
2
a b 对称.
【特例】：当 a b 时， ( ) ( ) ( )f a x f a x f x 的图像关于点 ( ,0)a 对称.
【注】： ( ) (2 )f x f a x 亦然.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质 3：设函数 ( )y f x ，如果对于定义域内任意的 x ，都有 ( ) ( )f a mx f b mx ( , , , 0)a b m R m 且 ，则
( )y f x 的图像关于直线
2
a bx
对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质 4：设函数 ( )y f x ，如果对于定义域内任意的 x ，都有 ( ) ( )f a mx f b mx ( , , , 0)a b m R m 且 ，
则 ( )y f x 的图像关于点 (
2
a b ,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式( x R ) 对称性
( ) ( )f fx x 函数 ( )f x 图像是奇函数
( ) ( )f fx x 函数 ( )f x 图像是偶函数
( ) (2 )f x f a x
或 ( ) ( )f a x f a x
函数 ( )f x 图像关于直线 x a 对称
( ) 2 (2 )f x b f a x
或 ( ) 2 ( )f a x b f a x
函数 ( )f x 图像关于点 ( , )P a b 对称
【注】：这里代数关系式中两个“ f ”（对应法则）内的“ x ”（变量）前的正负号相异，如果把两个“ f ”
放在“ ”的两边，则“ f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数 ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于直线 0y 对称.
2.函数 ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于直线 0x 对称.
3.函数 ( )y f x 与 ( )y f x 的图像关于原点 (0,0) 对称.
4.函数 ( )y f x 与它的反函数 1 ( )y f x 的图像关于直线 y x 对称.
5.函数 ( )y f a mx 与 ( )y f b mx 的图像 , , , 0a b m R m ( )关于直线
2
b ax
m
对称.
特别地，函数 ( )y f a x 与 ( )y f b x 的图像关于直线
2
b ax
对称.
C4.几个函数方程的周期(约定 0a )
(1)若 ( ) ( )f x f x a ，或 ( ) ( )
2 2
af x f xa ，则 ( )f x 的周期T a ；
(2)若 ( ) ( ) 0f x f x a ，或 1 ( )( ) 1 ( )
f xf x a f x
，或 ( ) ( )2 2
f f
a ax x ，或 f x a f x a ，
或
1
f x a
f x
( ( ) 0)f x ，或
f a x f a x
f x
为偶函数
，或
f a x f a x
f x
为奇函数
，
或
f a x f a x
f x
为偶函数
，或 21 ( ) ( ) ( ),( ( ) 0,1 )
2
f x f x f x a f x ，则 ( )f x 的周期 2T a ；
(3)若 1( ) 1 ( ( ) 0)
( )
f x f x
f x a
，则 ( )f x 的周期 3T a ；
(4)若
f a x f a x
f x
为偶函数
，或
f a x f a x
f x
为奇函数
，或 f x a f x a ，或
1 ( )( ) 1 ( )
f xf x a f x
，或 1 ( )( ) 1 ( )
f xf x a f x
，或 1 2
1 2
1 2
( ) ( )( )
1 ( ) ( )
f x f xf x x
f x f x
且
1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a ，则 ( )f x 的周期 4T a ；
(5)若 ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a ，则 ( )f x 的周期
5T a ；
(6)若 ( ) ( ) ( )f x a f x f x a ，则 ( )f x 的周期 6T a .
【说明】函数 y f x 满足对定义域内任一实数 x （其中 a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反
复运用已知条件来证明.
C5.对称性与周期性的关系
定理 1：若定义在 R 上的函数 ( )f x 的图像关于直线 x a 和 x b ( )a b 对称，则 ( )f x 是周期函数，且
2 a b 是它的一个周期.
推论 1：若函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x 及 ( ) ( )f b x f b x ( )a b ，则 ( )f x 是以 2 a b 为周
期的周期函数.
定理 2：若定义在 R 上的函数 ( )f x 的图像关于点 ( ,0)a 和直线 x b ( )a b 对称，则 ( )f x 是周期函数，且
4 a b 是它的一个周期.
推论 2：若函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x 及 ( ) ( )f b x f b x ( )a b ，则 ( )f x 是以 4 a b 为
周期的周期函数.
定理 3：若定义在 R 上的函数 ( )f x 的图像关于点 0( , )a y 和 0( , )b y ( )a b 对称，则 ( )f x 是周期函数，且
2 a b 是它的一个周期.
推论 3：若函数 ( )f x 满足 0( ) ( ) 2f a x f a x y 及 0( ) ( ) 2f b x f b x y ( )a b ，则 ( )f x 是以
2 a b 为周期的周期函数.
C6.函数图象的对称轴和对称中心举例
函 数 满 足 的 条 件 对称轴(中心)
满足 xafxaf 的函数 xfy 的图像
[或 xafxfxafxf 2,2 ]
ax
满足 f a x f a x 的函数 xfy 的图像
[或 2 , 2f x f a x f x f a x ]
,0a
满足 xbfxaf 的函数 xfy 的图像
2
bax
满足 f a x f b x 的函数 xfy 的图像 ,02
a b
满足 xfxf 的函数 xfy 的图像(偶函数) 0x
满足 f x f x 的函数 xfy 的图像(奇函数) 0,0
满足 xafy 与 xbfy 的两个函数的图像
2
abx
满足 xfy 与 xfy 的两个函数的图像 0x
满足 xfy 与 xfy 的两个函数的图像 0y
C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在 R 上的函数 ( )f x ,若同时关于直线 x a 和 2x a 对称,即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 同时满
足 ( ) ( )f a x f a x ， (2 ) (2 )f a x f a x ，则函数 ( )f x 是以 2T a 为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在 R 上的函数 ( )f x ,若同时关于直线 x a 和点 (2 ,0)a 对称,即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 同时
满足 ( ) ( )f a x f a x ， (2 ) (2 )f a x f a x ，则函数 ( )f x 是以 4T a 为周期的周期函数，且是奇
函数.
3、定义在 R 上的函数 ( )f x ,若同时关于点 ( ,0)a 和直线 2x a 对称,即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 同时
满足 ( ) ( )f a x f a x ， (2 ) (2 )f a x f a x ，则函数 ( )f x 是以 4T a 为周期的周期函数，且是偶函
数.
4、定义在 R 上的函数 ( )f x ,若同时关于点 ( ,0)a 和点 (2 ,0)a 对称,即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 同时满
足 ( ) ( )f a x f a x ， (2 ) (2 )f a x f a x ，则函数 ( )f x 是以 2T a 为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数 ( )f x 关于直线 x a 对称，即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x ，则 ( )f x
是以 2T a 为周期的周期函数.
6、若偶函数 ( )f x 关于点 ( ,0)a 对称，即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x ，则 ( )f x
是以 4T a 为周期的周期函数.
7、若奇函数 ( )f x 关于直线 x a 对称，即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x ，则 ( )f x
是以 4T a 为周期的周期函数.
8、若奇函数 ( )f x 关于点 ( ,0)a 对称，即对于任意的实数 x ,函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x ，则 ( )f x
是以 2T a 为周期的周期函数.
【拓展】：
1、若函数 ( )y f x a 为偶函数，则函数 )(xfy 的图像关于直线 x a 对称.
2、若函数 ( )y f x a 为奇函数，则函数 )(xfy 的图像关于点 ( ,0)a 对称.
3、定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f a x f a x ，且方程 ( ) 0f x 恰有 2n 个实根，则这 2n 个实根
的和为 2na .
4、定义在 R 上的函数 )(xfy 满足 ( ) ( ) ( , , )f a x f b x c a b c 为常数 ，则函数 )(xfy 的图像关于点
( , )2 2
a b c 对称.
C8.关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数 )(xfy 在区间 0, 上是递增的,那么函数 )(xfy 在区间 ,0 上也是递增的;
② 如果偶函数 )(xfy 在区间 0, 上是递增的,那么函数 )(xfy 在区间 ,0 上是递减的;
【思考】：结论推导
C 9.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.
1.在长方体 ( , , )a b c 中：
①体对角线长为 222 cba ，外接球直径 2 2 22R a b c ；
②棱长总和为 4( )a b c ；
③全(表)面积为 2( )ab bc ca ，体积V abc ；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ,,, 则有
cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 ,,, 则有
cos2 +cos2 +cos2 =2，sin2 +sin2 +sin2 =1.
2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂
直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底
面内 顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为 a ，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积 23S a ；②体积 32
12
V a ；③对棱间的距离 2
2
d a ；
④相邻面所成二面角 1
3
arccos ；⑤外接球半径 6
4
R a ；⑥内切球半径 6
12
r a ；
a3
3 a
3
6 a
32
12V a6
3 a
1arccos 3
3arccos 3
C
B
A
P
A
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 6
3
h a .
4.在立方体中：
设正方体的棱长为 a ，则
①体对角线长为 a3 ，②全面积为 26a ，③体积 3V a ， ④内切球
半径为 1r ,外接球半径为 2r ,与十二条棱均相切的球半径为 3r , 则
12r a , 22 3r a , 22 2r a ,且 1 2 3 1 2 3r r r : : : :
【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形， 如切割、组合、
扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在 求解三棱椎、
三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体 的结构特征，
构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的 效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅 取决于半径的
大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心 的 距离 等于 定
长(半径) 的点的集合．
球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间
的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是
球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．
球心和截面圆的距离 d 与球的半径 R 及截面圆半径 r 之间的关系是 2 2r R d .
掌握球面上两点 A 、 B 间的距离求法：
⑴计算线段 AB 的长；⑵计算球心角 AOB 的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧 AB 的长.
【注】：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.
【补充】：
一、四面体．
1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分
为 3︰1；
④12 个面角之和为 720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为 180°．
2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角
形．（在直角四面体中，记 V、l、S、R、r、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、
内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2
△ABC+S2
△BCD+S2
△ABD=S2
△ACD．
3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明
以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面
体拼补成一个长方体．
（在等腰四面体 ABCD 中，记 BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为 V，外接球半径为 R，
内接球半径为 r，高为 h），则有
①等腰四面体的体积可表示为
2223
1 222222222 cbabacacbV ；
②等腰四面体的外接球半径可表示为 222
4
2 cbaR ；
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可 表 示 为
222
3
2 cbam ；
④h = 4r．
二、空间正余弦定理．
空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
6.直角四面体的性质：
在直角四面体 O ABC 中, , ,OA OB OC 两两垂直,令 , ,OA a OB b OC c ,则
⑴底面三角形 ABC 为锐角三角形；
O
A
B
C
D
( )a ex
⑵直角顶点 O 在底面的射影 H 为三角形 ABC 的垂心；
⑶ 2
BOC BHC ABCS S S ；
⑷ 2 2 2 2
AOB BOC COA ABCS S S S ；
⑸ 2 2 2 2
1 1 1 1
OH a b c
；
⑹外接球半径 R= 2 2 21
2
a b cR .
7. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的 棱切球的直
径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正 方体的体对
角线长．
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6
12 a ,
外接球的半径为 6
4 a ．
C10.圆锥曲线几何性质
如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，
优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等
几何性质的应用.
椭圆方程的第一定义：
为端点的线段以
无轨迹
方程为椭圆
212121
2121
2121
,2
,2
,2
FFFFaPFPF
FFaPFPF
FFaPFPF
双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线以
无轨迹
方程为双曲线
212121
2121
2121
,2
2
2
FFFFaPFPF
FFaPFPF
FFaPFPF
圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹．简言之就是
“e 点点距
点线距
（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.
当 10 e 时，轨迹为椭圆；
当 1e 时，轨迹为抛物线；
当 1e 时，轨迹为双曲线；
当 0e 时，轨迹为圆（
a
ce ，当 bac ,0 时）．
圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中 ce a ，椭圆中
21b ea 、双曲线中 2 1b ea .
圆锥曲线的焦半径公式如下图：
特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、 准线
等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、 焦点
a ex
a ex
0
1 e=1
a ex
a ex( )a ex
2
px
▲
asinacos ,( )
bsinbcos( ),
N
y
x
N 的轨迹是椭圆
弦最值的特点.
C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.
1.平移变换
向量平移法则：
y f x 按 ,a h k
=( )平移得 y f x h k ，即 , 0F x y 按 ,a h k
=( )平移得 , 0F x h y k ，当
0m 时，向右平移， 0m 时，向左平移.当 0n 时，向上平移， 0n 时向下平移.对于“从 y f x 到
y f x h k ”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“ ,a h k
=( )”是“左负右正，上正下负”.
【小结】：“按向量平移”的几个结论
①点 ( , )P x y 按向量 ( , )a h k 平移后得到点 ' ( , )P x h y k .
②函数 ( )y f x 的图像C 按向量 ( , )a h k 平移后得到图像 'C ，则 'C 的函数解析式为
( )y f x h k .
③图像 'C 按向量 ( , )a h k 平移后得到图像C ，若C 的解析式 ( )y f x ，则 'C 的函数解析式为
( )y f x h k .
④曲线C ： ( , ) 0f x y 按向量 ( , )a h k 平移后得到图像 'C ，则 'C 的方程为 ( , ) 0f x h y k .
⑤向量 ( , )m x y 按向量 ( , )a h k 平移后得到的向量仍然为 ( , )m x y .
2.翻折变换
(1)由 y f x 得到 | ( ) |y f x ，就是把 y f x 的图像在 x 轴下方的部分作关于 x 轴对称的图像，即
把 x 轴下方的部分翻到 x 轴上方，而原来 x 轴上方的部分不变.
(2)由 y f x 得到 (| |)y f x ，就是把 y f x 的图像在 y 轴右边的部分作关于 y 轴对称的图像，即
把 y 轴右边的部分翻到 y 轴的左边，而原来 y 轴左边的部分去掉，右边的部分不变.
3.伸缩变换
(1)设点 ,P x y 是平面直角坐标系内的任意一点，在变换
/
/
0
:
0
x x
y y
的作用下，点 ,P x y 对
应于点 / / /,P x y ，函数 f x 在变换
/
/
0
:
0
x x
y y
下得到
/
/1y f x
(2)将 y f x 的横坐标变为原来的 a 倍，纵坐标变为原来的 m 倍，得到 xy mf
a
即
/ /
/
/
x ax xy f x y mf
ay my
4.对称变换
(1)函数 ( )y f x 的图像可以将函数 ( )y f x 的图像关于 y 轴对称即可得到；
( )轴yy f x y f x
(2)函数 ( )y f x 的图像可以将函数 ( )y f x 的图像关于 x 轴对称即可得到；
轴xy f x y f x
(3)函数 ( )y f x 的图像可以将函数 ( )y f x 的图像关于原点对称即可得到；
( )原点y f x y f x
(4)函数 )(yfx 的图像可以将函数 ( )y f x 的图像关于直线 y x 对称得到.
2
pd
22bl a22bl a
2bd c
22bl a
2bd c
直线y xy f x x f y
(5)函数 )2( xafy 的图像可以将函数 ( )y f x 的图像关于直线 ax 对称即可得到；
( )直线 2x ay f x y f a x .
【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题
(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.
(2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可
以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；
深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.
(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函
数、指数函数、三角函数、“函数 0ky x kx ”及函数 0ky x kx 等）相互转化.
(3)理解等轴双曲线 ( 0, )ax by c ad bccx d
与反比例函数 0ky kx 图像的本质联系.
(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、
方程、曲线及不等方程的联系.
C 12. 借助图象比较大小
C 13.常用的近似计算公式（当 x 充分小时）
(1) xx 2
111 ； xnxn 111 .
(2) (1 ) 1 ( )x x R ； xx
11
1 .
(3) xex 1 ； xxln )1( .
(4) xx sin （ x 为弧度）； xx tan （ x 为弧度）； tanarc x x （ x 为弧度）.
C 14.大小比较常用方法：
①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
②作商（常用于分数指数幂的代数式）；
③分析法；
④平方法；
⑤分子（或分母）有理化；
⑥利用函数的单调性；
⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；
⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.
C 15.不定项填空题易误知识点拾遗：
(1)情况存在的“个数”问题
①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）；
②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；
③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）；
④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；
⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）；
⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）；
⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；
⑧两异面直线成60°，经过空间外一点与它们都成30°（45°，60°，80°）的直线有＿＿条.（1；2；
3；4）；
O
1C
2C
3C
4Cy
x
5C
6C
1y x
1
2y x
2y x
x
y
O
1
1
3log xy
2log xy
4log xy
x
y
O
1
(2)平面与空间的“区分”问题
1.错误的命题
①垂直于同一条直线的两直线平行；
②平行于同一直线的两平面平行；
③平行于同一平面的两直线平行；
④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；
⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直……
2.正确的命题
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行；
④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面……
(3)易误提点：
① 0a b 是 ,a b 为钝角的必要非充分条件.
②截距不一定大于零，可为负数，可为零；
③ 0
常常会是等式不成立的原因， 0
模为 0，方向和任意向量平行，却不垂直；
④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为 0 的点不一定是极值点，一定要既考虑
0( ) 0f x ，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；
⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.
C16．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … ….
D、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽
D1.熟知几个重要函数
1. ( )f x
x
bax
(1) 0, 0a b 时， ( )f x 为“双钩函数”：
① 定义域： ( ,0) (0, ) ；值域为 ( , ] [ , )b b
a a
；
② 奇偶性：奇函数（有对称中心）；
③ 单调性：在区间 ( , ],[ , )b b
a a
上单调递增；
在区间 ,[ ,0),(0 ]b b
a a
上单调递减.
④ 极值： bx a
时取到极大值， bx a
时取到极小值.
⑤ 记住 ( )f x
x
bax ( 0, 0)a b 的图像的草图.
⑥ 不等式性质： 0x 时， 2( ) abf x
x
bax ≥ ；
0x 时， 2( ) abf x
x
bax ≤ .
(2) 0, 0a b 时， ( )f x 在区间 0 0,（ ，）（ ， ） 上为增函数.
【思考】：图像大致如何分布.
(3)常用地，当 1a b 时， ( ) 1f x x x
的特殊性质略.
【探究】：①函数 ( ) 1f x
x
bax
的图像变化趋势怎样？
② 2
2 , n
n
b bf x ax f x ax nx x
N 的有关性质.
2. ( 0, )ax by c ad bccx d
化简为， ax by cx d
b
a c
c dx c
①定义域： ( , ) ( , )d d
c c
；值域为 ay c
的一切实数；
②奇偶性：不作讨论；
③单调性：当 0b
c
时，在区间 ( , ],[ , )d d
c c
上单调递增；
当 0b
c
时，在区间 ( , ],[ , )d d
c c
上单调递减.
④对称中心是点 ( , )d a
c c ；
⑤两渐近线：直线 d
cx 和直线 a
cy ；
【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中 x 的系数确定.
⑥平移变换： ( 0, )ax by c ad bccx d
可由反比例函数 ( 0)
b
c ky x
图像经过平移得到；
⑦反函数为 b dx
cx ay
；
【说明】：分式函数 ( 0, )ax by c ad bccx d
与反比例函数 ( 0)ccy x
，离心率均为 2 ，同源于
双曲线
22
2 2 1yx
a b
.
3.三次函数图像与性质初步
*1.定义：形如 )0(23 adcxbxaxy 的函数叫做三次函数. 定义域为 R ,值域为 R .
*2.解析式：①一般式： 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a ；
②零点式： 1 2 3( ) ( )( )( )( 0)f x a x x x x x x a
y ax
2 ab
b
a
x
( 0, 0)by ax a bx
2 ab
b
a
y
O
0k
y
0k
x
y b ( , )a b
O
*3.单调性：
【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往 在 研 究 二 次 函
数问题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴； ③端点值；④与
坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题 时 ， 又 采 用 过
“五点”作图法.
那三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a 的图像及性 质，要从那里入
手呢？
再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特 征 角 度 ， 如 零
点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.
)0(23 adcxbxaxy
所以， 2( ) 3 2f x ax bx c ，导函数对称轴
3
x
a
b .
【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.
24 12b ac （“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）
（一）若 24 12 0b ac
令 ( ) 0f x ，由根与系数关系知： 1 2
2
3
x x b
a
， 1 2 3
x x c
a
两极值点：
a
acbbxa
acbbx 3
3,3
3 2
2
2
1
（1）当 0a ， 0b ， 0c ，约定 0d ，则拐点在 y 轴左边，极值点分布在 y 轴左边.根据零点的个
数，尝试做出如下图像：
（2）当 0a ， 0b ， 0c 时，拐点在 y 轴左边，极值点分布在 y 轴两边，且左极值点绝对值大于右极
值点绝对值；
（3）当 0a ， 0b ， 0c 时，拐点在 y 轴右边，极值点分布在 y 轴右边，且左极值点绝对值大于右极
x
( )f x
( )f x
·
O
x
y
·
O
x
y
· O x
y
·
O
x
y
·
Ox
y
·
O
x
y
·
O
x
y
·
O
x
y
· O x
y
·
O
x
y
·
O
x
y
·
O
x
y
·
ab
a b
2 x a b 2x a b
a b
2x a b
b
a
值点绝对值.图略
（4）当 0a ， 0b ， 0c 时，拐点在 y 轴右边，极值点分布在 y 轴两边，且左极值点绝对值小于右极
值点绝对值.图略
（二）若 24 12 0b ac
由
2
1 2 1 2 1 2 2
4 124( ) 9
b acx x x x x x
a
知：无极值点，拐 点横坐标仍为
3a
b ，所以图像如右图所示.
（三）若 0 即 032 acb 时， 0)(' xf 在 R 上恒成立，即 )(xf 在
),( 为增函数.
x (-∞，
a
b
3
)
a
b
3
（
a
b
3
，+∞)
)(' xf 的符号 + 0 +
)(xf 的单调性 ↗ ↗
*4.极值：
函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系
(1)若 2 3 0≤b ac ，则 )(xf 在 R 上无极值；
(2) 若 032 acb ，则 )(xf 在 R 上有两个极值；且 )(xf 在 1xx 处取得极大值，在 2xx 处取得
极小值.
*5.零点个数(根的性质)
函数 )0()( 23 adcxbxaxxf 的图像与 x 轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？
（联系函数的极值，进行等价转化）
一个交点：极大值小于 0，或者是极小值大于 0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；
两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；
三个交点：极大值大于零，极小值小于零.
D2.几个重要图像
1. y ax b （ 0a b ） 2. y a x b （ 0a b ）
3. y x a x b （ 0a b ） 4. y x a x b （ 0a b ）
5. x a y b m 6. x a y b m
y
x
O
bl a
B
A
M x
y
O
( ,0)b
a
y ax b
x
y
O
y ax b
a m b（ , ）
a b m（ , ）
a b（ , ）
a m b（ , ）
a b m（ , ）
a b（ , ）
D3.函数 )()()( xgxfxFy 的零点处理：
（1） )(xFy 的零点（不是点而是数） ( ) 0F x 的根
( )y F x 与 x 轴的交点的横坐标
)(),( xgyxfy 的交点问题.
（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.
（3）零点存在定理： )(xfy 单调且端点值异号 0 1 2( ),x x x 使 0( ) 0f x .
【说明】：
1.方程 0)( xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一个实根，与 0)()( 21 kfkf 不等价，前者是后者的一个必要而
不是充分条件.
特别地，方程 )0(02 acbxax 有且只有一个实根在 ),( 21 kk 内，等价于 0)()( 21 kfkf ，
或 0)( 1 kf 且
22
21
1
kk
a
bk ，或 0)( 2 kf 且 2
21
22 ka
bkk .
2. f x 在 ,a b 上连续，且 0f a f b ，则 f x 在 ,a b 上至少有一个零点（奇数个零点），可能
有无数个零点. 0f a f b ， f x 在 ,a b 上可能无零点也可能有无数个零点.
3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对 ,0x .
D4.比例的几个性质
①比例基本性质： bcadd
c
b
a ；
②反比定理：
c
d
a
b
d
c
b
a ； ③更比定理：
d
b
c
a
d
c
b
a ；
④合比定理；
d
dc
b
ba
d
c
b
a ； ⑤分比定理：
d
dc
b
ba
d
c
b
a ；
⑥合分比定理：
dc
dc
ba
ba
d
c
b
a
；⑦分合比定理：
dc
dc
ba
ba
d
c
b
a
；
⑧等比定理：若
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1 ， 0321 nbbbb ，则
1
1
321
321
b
a
bbbb
aaaa
n
n
.
D5.（1）三角形中的 “三线定理”（斯德瓦定理）
在△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则 DCBDBC
BCABBDACAD
22
2 ．
①若 AD 是 BC 上的中线， 222 222
1 acbma ；
②若 AD 是∠A 的平分线， appbccbta 2 ，其中 p 为半周长；
③若 AD 是 BC 上的高， cpbpappaha 2 ，其中 p 为半周长．
（2）三角形“五心”的向量性质(P 为平面 ABC 内任意一点)：
①O 为 ABC 的重心 1
3
( )PO PA PB PC
B CM F H
A
0OA OB OC
②O 为 ABC 的垂心 0OA BC OB CA OC AB
OA OB OB OC OC OA
2 2 2 2 2 2
OA BC OB CA OC AB ；
③O 为 ABC 的内心
| | | | | | | | | | | |
( ) ( ) ( )AB AC BA BC CA CBOA OB OC
AB AC BA BC CA CB
( )| | | | | | | | | | | 0PA PB PCAB BC CA PO BC CA AB
④O 为 ABC 的外心 ( ) ( ) ( ) 0OA OB AB OB OC BC OC OA CA
, ,OA AB OB BA OB BC OC CB OC CA OA AC
2 2 2
OA OB OC
；
⑤O 为 ABC 中 A 的旁心 | | | | | |OA OB OCBC AC AB
；
D6.含绝对值不等式
(1)复数集内的三角形不等式：
1 2 1 2 1 2z z z z z z ≤ ≤
其中左边在复数 z1、z2 对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数 z1、z2 对应的向量共
线且同向（反向）时取等号.
(2)向量不等式：
|| | | || | | | | | |a b a b a b ≤ ≤
【注意】： a b
、 同向或有 0
| | | | | |a b a b ≥ || | | || | |a b a b ；
a b
、 反向或有 0
| | | | | |a b a b ≥ || | | || | |a b a b ；
a b
、 不共线 || | | || | | | | | |a b a b a b .(这些和实数集中类似)
(3)代数不等式：
,a b 同号或有 0 | | | | | | | | | | | |a b a b a b a b ≥ ；
,a b 异号或有 0 | | | | | | | | | | | |a b a b a b a b ≥ .
D7.重要不等式
1、和积不等式： ,a b R 2 2 2a b ab ≥ (当且仅当 a b 时取到“ ”)．
【变形】：①
2 2
2( )2 2
a b a bab ≤ ≤ （当 a = b 时，
2 2
2( )2 2
a b a b ab ）
【注意】： ( , )2
a bab a b R ≤ ， 2( ) ( , )2
a bab a b R ≤
② 2 2 2 23( ) ( ) 3( )a b c a b c ab bc ca ≥ ≥ (当且仅当 a b c 时取“=”号)．
2、均值不等式：
两个正数 ba、 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算
术平均≥几何平均≥调和平均”
2 22 2 “ ”1 1 2 2
ab a b a bab a ba b
a b
≤ ≤ ≤ （当且仅当 时取 ）
【拓展】：
①幂平均不等式：
2 2 2 2
1 2 1 2
1... ( ... )n na a a a a an
≥ ( , , , )a b c R a b c 时取等
② “算术平均≥几何平均（a1、a2…an 为正数）”：
1 2
1 2
n n
n
a a a a a an
≥ （a1=a2=…=an 时取等）
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：
① 3 3 2 2a b a b ab ≥
② 3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc
3 3 3 3a b c abc ≥ （ 0a b c 等式即可成立， 时取等或 0 cbacba ）；
3
3
a b cabc ≤ 3( )3
a b cabc ≤
3 3 3
3
a b c ≤
4、柯西不等式：
①（代数形式）设 dcba ,,, 均为实数，则
2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd ≥ ，其中等号当且仅当 bcad 时成立.
②（向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则| | | | | | ≥ ，其中等号当且仅当两个向量方
向相同或相反（即两个向量共线）时成立.
③（三角形式）设 332211 ,,,,, yxyxyx 为任意实数，则：
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y x x y y x x y y ≥ 【思考】：
三角形不等式中等号成立的条件是什么？
④（推广形式）设 ),,,2,1(, niRba ii 则
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )n n n na b a b a b a a a b b b ≤
等号成立当且仅当
n
n
b
a
b
a
b
a
2
2
1
1 时成立．（约定 0ia 时， 0ib ）
5、绝对值不等式： 1 2 3 1 2 3a a a a a a ≤
( 0 )a b a b a b ab 时,取等
双向不等式： a b a b a b ≤ ≤
（左边当 0( 0)ab ≤ ≥ 时取得等号，右边当 0( 0)ab ≥ ≤ 时取得等号.）
6、放缩不等式：
① 0 0a b a m ， ，则 b m b b m
a m a a m
.
【说明】： b b m
a a m
（ 0, 0a b m ，糖水的浓度问题）.
【拓展】： ，则，， 000 nmba b
a
nb
na
ma
mb
a
b
1 .
② , ,a b c R ， b d
a c
，则
b b d d
a a c c
；
③ n N ， 11 1
2
n n n n
n
；
④ , 1n N n ， 2
1 1 1 1 1
1 1n n n n n
.
⑤ ln 1x x≤ ( 0)x , 1xe x ≥ ( )x R .
D8.三角函数最值题型及解题捷径
① sin cosy a x b x ；
② 2 2sin sin cos cosy a x b x x c x ；
③ 2sin cosy a x b x c ；
④ 2sin cosy a x x （均值不等式法）；
⑤含有sin cosx x 或sin cosx x ；
⑥ sin
cos
a x cy b x d
.
D9.数论中的一些浅显结论
数论可以分为：初等数论，代数数论，几何数论，解析数论等.数论问题，常常涉及整数的整除性、带余
除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆.
主要结论有：
①带余除法：若 ,a b是两个整数， 0b＞ ，则存在两个整数 , ,q r 使得 a bq r （0 r b≤ ＜ ）， q r、 是唯一的.特
别地，如果 0r ，那么a bq .这时 a 被b 整除，记作 |b a，也称b 是 a 的约数， a 是b 的倍数.
②若 |a c ， |b c ，且 ,a b互质，则 |ab c .
③唯一分解定理：每一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 1 2 n
1 2 n ,(1)a a aP P P… 其中
1 2 kp p p＜ ＜＜ 为质数， 1 2, , , ka a a 为自然数，并且这种表示是唯一的.（1）式称为 n 的质因数分解或标准
分解.
④约数个数定理：设 n 的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： 1 2( ) ( 1)( 1) ( 1)kd n a a a …
⑤整数集的离散性： n 与 1n 之间不再有其他整数.因此，不等式 x y＜ 与 1x y ≤ 是等价的.
二、解答题
做题提醒：获得高分不仅需要采取多夺分策略，还须谨记坚持少丢分策略
第十五题（三角基础题）——基础题你答对了吗？
15.1、正弦定理
1.知识工具：
在△ABC 中， 2
sin sin sin
a b c R
A B C
（ R2 是 ABC 外接圆直径 ）.
【变式】：① CBAcba sin:sin:sin:: ；
② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ；
③
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin
。
④sin ,sin ,sin2 2 2
a b cA B CR R R
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角.
【注明】：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三角形内角和定理： A B C
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式： 21 sin 2 sin sin sin2 4
abcS ab C R A B CR
(4)三角函数的恒等变形
sin( ) sinA B C ，sin( ) cosA B C ， sin cos
2 2
A B C ， cos sin2 2
A B C
2.三种题型
①利用正弦定理公式原型解三角形
②利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.
③三角形解的个数的判定：
方法一：画图观察
已知 Aba ,, ，其中 h bsinA ，
⑴ A为锐角时：
① a h 时，无解；
② a h 时，一解（直角）；
③ h a b 时，两解（一锐角，一钝角）；
④ a b≥ 时，一解（一锐角）.
⑵ A为直角或钝角时：
① a b≤ 时，无解；
② a b 时，一解（锐角）.
A
b
b
a
a
C
C
h
h
BD O
C
A
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符
合实际意义，从而确定解的个数.
15.2、余弦定理
1.知识工具：
Abccba cos2222 等三个；
bc
acbA 2cos
222 等三个。
【注明】：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理.在变形中，
注意三角形中其他条件的应用.
2.三种题型
①利用余弦定理公式的原型解三角形.
②利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：
凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式
形式.
③判断三角形的形状.
根据余弦定理，当 2 2 2＜a b c ， 2 2 2＜b c a ， 2 2 2＜c a b 中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角
形，而当 2 2 2＞a b c ， 2 2 2＞b c a ， 2 2 2＞c a b 中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形
的结论.
判断三角形形状的方法：
(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形
的形状.
(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判
断出三角形的形状，这时要注意使用 A B C 这个结论.
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解.
15.3、正余弦定理实际应用
求距离
两点间不可通又不
可视
两点间可视但不可
达
两点都不可达
求高度
底部可达 底部不可达
①计算高度；
②计算距离；
③计算角度；
④测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理
和余弦定理进行求解.
15.3、常见结论
1.①三角学中的射影公式：在 ABC 中， cos cos ……a b C c B .
②三角学中的射影定理：在 Rt ABC 中， 2 ·AC AD AB ； 2 ·CD AD DB .
【思考】“射影定理”、“勾股定理”关系.
2.正切定理：
tan 2
tan 2
A B
a b
A Ba b
.
3.三角形面积公式
1 1 1
2 2 2a b cS ah h hb c ① （ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高）；
1 1 1sin sin sin
2 2 2
S ab C ac B bc A ② ；
4
③ abcS
R ； 22 sin sin sin④S R A B C （R 为外接圆半径）；
【变形】：S＝
)sin(2
sinsin2
CB
CBa
＝
)sin(2
sinsin2
AC
ACb
＝
)sin(2
sinsin2
BA
BAc
．
1
2
⑤S a b c r （r 为内切圆半径）；
【说明】：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心．
如图：图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心， S△=Pr，图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
图 1 图2 图3
图4
附：三角形的五个“心”：
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
内心：三角形三内角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长,即
2
cba ]，则：
AE= as =1/2（b+c-a）；
BN= bs =1/2（a+c-b）；
FC= cs =1/2（a+b-c）；
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）．
特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r=
cba
abcba
2
（如图 3）．
1 2 2 1 1 1 2 2
1
2
, , ,＝ ⑥S x y x y AB x y AC x y ；
22 21
2
2 可由 及向量的数量积公式可得⑦S AB AC AB AC
；
( )2
其中⑧S p p a p b p c a b cP .
第十六题（立几基础题）——推证不漏一个条件
16.1、位置关系证明（主要方法）：
A
BC
O
a
b
c
I
A
B C
D
E
F
I
A
B C
D
E
F
ra
ra
ra
bc
a
a
bc
A
C
B N
E F
D
A
CB
图5
（1）线面平行
思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；
II.转化为线线平行；
III.转化为面面平行
支持定理 ①
/ /
/ /
a b
b a
a
； ② / / / /aa
； ③ / /a a
a
配图助记
（2）线线平行：
思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点；
II.转化为二直线同与第三条直线平行；
III.转化为线面平行；
IV.转化为线面垂直；
V.转化为面面平行.
支持定理
①
/ /
/ /
a
a a b
b
；② / /a a bb
；③
/ /
/ /a a b
b
；④ / / / // /
a b c ba c
配图助记
（3）面面平行：
思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；
II.转化为线面平行；
III.转化为线面垂直.
支持定理 ①
,
/ /
/ / , / /
a b
a b o
a b
；② / /a
a
；③ / / / // /
配图助记
（4）线线垂直：
思考途径 I.转化为相交垂直；
II.转化为线面垂直；
III.转化为线与另一线的射影垂直；
IV.转化为线与形成射影的斜线垂直.
支持定理
b
a a b
b
a
a
b O
a
aa
b
a
① a a bb
；②所成角为 900；③
PO
a a PA
a AO
(三垂线及逆定理)；
配图助记
（5）线面垂直：
思考途径 I 转化为该直线与平面内任一直线垂直；
II 转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
III 转化为该直线与平面的一条垂线平行；
IV 转化为该直线垂直于另一个平行平面；
V 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
支持定理
①
,
,
a b
a b O l
l a l b
；②
,
l a
a a l
；③ // aa
；④ / /a b ba
配图助记
（6）面面垂直：
思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角；
II.转化为线面垂直.
支持定理 ①二面角 900；② a
a
；③ / /a
a
配图助记
16.2、求解空间角、距离和体积
(一)求角： （步骤------Ⅰ.找或作平面角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；
②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系.
(理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角.)
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；
l
ba
O
a
l
a
a b
a a
a
b
P
A
O a
②先求斜线上的点到平面距离 h，与斜线段长度作比，得 sin .
（理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角.）
⑶二面角的求法：
①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；
②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出
二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面积射影公式： cos' SS ,其中 为平面角的大小；
【注】：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；
（理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角.）
（二）求距离：（步骤------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；
⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；
⑶点到平面的距离：
①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；
②等体积法；
（理科还可用向量法：
||
||
n
nABd .）
⑷球面距离（步骤）：
①求线段 AB 的长；
②求球心角 AOB 的弧度数；
③求劣弧 AB 的长.
（三）求体积
常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法(位置转换)、比例法(性质转换)等.
16.3、重要定理
（1）面积射影定理：
'
cos
SS
(平面多边形及其射影的面积分别是 S 和 'S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ).
（2）三余弦定理：
设 AC 是 内的任一条直线， AD 是 的一 条斜线 AB 在
内的射影，且 BD AD ，垂足为 D ，设 AB 与 所成的角为 1 ，
AD 与 AC 所成的角为 2 ，AB 与 AC 所成的角为 ．则
1 2cos cos cos .
（3）三射线定理：
若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面 角的两个半平面
所成的角是 1 , 2 ,与二面角的棱所成的角是θ，则有
2 2 2 2
1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cos ；
1 2 1 2| | 180 ( )≤ ≤ (当且仅当 90 时 等号成立).
（4）最小角定理 (立平斜公式)：
设 AC 是 内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C， 又设 AO 与 AB 所
成的角为 1 ，AB 与 AC 所成的角为 2 ，AO 与 AC 所成的 角 为 ． 则
1 2cos cos cos .
【探究】：最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）
简记为：
①成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4 条．
②成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条．
③成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或者 2 条．
④成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有．
4图
A
B
D
C
1
2
1图
B
A
P
C
（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜
线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜
线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影 垂直.
【提炼】：（1） cos PAB cos PAC cos CAB
（2） PAC 相当于斜线与平面所成角
（3） PBC 相当于二面角
（4） ,l AC l ABC l AP 平面 （定理）
（5） ,l AP l ABC l AC 平面 （逆定理）
（6）垂线段最短（前提是在平面外由同一点引的所有线段）
（7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）
16.4 重要性质
（1）在三棱椎 P ABC 中,设顶点 P 在底面的射影为 H ，即 PH ABC .
①正三棱椎 P ABC 中,则有 PA BC , PB AC , PC AB , P 在底面的射影是 ABC 的中心.
②若 PA BC , PB AC ,则 H 为 ABC 的垂心.
③若 PA PB PC ,则 H 为 ABC 的外心.
④若 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 垂足分别为 D、E、F 且 PD=PE=PF. 则点 H 是△ABC 的内心;
（2）①若∠POA=∠POB，则 PO 在面 AOB 上的射影是∠AOB 的角平分线；
②若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别 E、F 且 PE=PF.则点 P 在面 AOB 上的射影在∠AOB 平分线.
第 17 题（解几综合题）——从平几中寻突破到解几中找关系
17.1、圆锥曲线中的精要结论：
1.焦半径：(1)椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
： 0201 , exaPFexaPF ； （左“+”右“-”）；
椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a bb a
：
2 2
1 0 0 0 2 0 0 0( ) ( 0), ( ) ( 0)a aPF e x a ex x PF e x ex a xc c
(2)双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x ：
“长加短减”原则：
aexMF
aexMF
02
01 构成满足 aMFMF 221
aexFM
aexFM
02
01
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
双曲线
2 2
2 2 1x y
b a
：
1 0
2 0
MF ey a
MF ey a
； 1 0
2 0
M F ey a
M F ey a
(2)抛物线：
20
pxPF
2.弦长公式： ]4))[(1(1 21
2
21
2
12
2 xxxxkxxkAB
▲
y
x
M'
M
F1
F2
▲
y
x
M' M
F1 F2
]4)[()11(11 21
2
212122 yyyykyyk
；
【注】：(1)焦点弦长：i．椭圆： )(2|| 21 xxeaAB ；
ii．抛物线： AB ＝ 1 2 2
2
sin
px x p ；
(2)通径（最短弦）：i．椭圆、双曲线：
22b
a
；
ii．抛物线： 2 p .
3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 122 nymx （ nm, 同时大于 0 时表示椭圆， 0mn
时表示双曲线）；
4.椭圆中的结论：
(1)内接矩形最大面积： 2ab ；
(2)P，Q 为椭圆上任意两点，且 OP OQ ，则 2 2 2 2
1 1 1 1
| | | |OP OQ a b
；
(3)椭圆焦点三角形：
i．
1 2
2 tan
2PF FS b
，（ 1 2F PF ）；
ii．点 M 是 21FPF 内心， PM 交 21FF 于点 N ，则
c
a
MN
PM
||
|| ；
(4)当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 21PFF 最大；
(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的离心率是 )( 22 baca
ce ，方程
tt
b
y
a
x (2
2
2
2
是大于 0 的参数， )0 ba 的离心率也是
a
ce ，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．
5.双曲线中的结论：
(1)双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x （ 0, 0a b ）的渐近线： 02
2
2
2
b
y
a
x ；
(2)共渐进线 xa
by 的双曲线标准方程为 (2
2
2
2
b
y
a
x 为参数， ≠0）；
(3)双曲线焦点三角形：
i．
2cot2
21
bS FPF ，（ 21PFF ）；
ii．P 是双曲线 2
2
a
x － 2
2
b
y =1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2 分别为左、右焦点，则△PF1F2
的内切圆的圆心横坐标为 )(, aa ；
(4)等轴双曲线：双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy (渐近线互相垂直)，
离心率 2e ．
(5)共渐近线的双曲线系方程： )0(2
2
2
2
b
y
a
x 的渐近线方程为 02
2
2
2
b
y
a
x 如果双曲线的渐近线为
0
b
y
a
x 时，它的双曲线方程可设为 )0(2
2
2
2
b
y
a
x ．
(6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
线． 2
2
2
2
b
y
a
x 与 2
2
2
2
b
y
a
x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02
2
2
2
b
y
a
x ．
(7) 若 P 在双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x ，则常用结论 1：P 到焦点的 距离为 m = n，
则 P 到两准线的距离比为 m︰n．
简证：
e
PF
e
PF
d
d
2
1
2
1 =
n
m ．
常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离 等于 b．
(8) 直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；
区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；
区域③：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条．
若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“ 法与渐近线求交和两根
之和与两根之积同号．
6.抛物线中的结论：
(1)抛物线 2 2y px ( 0)p 的焦点弦 AB 性质：
i． 2
1 2 4
px x ； 2
1 2y y p ；
ii．
pBFAF
2
||
1
||
1 ；
iii．以 AB 为直径的圆与准线相切；
iv．以 AF （或 BF ）为直径的圆与 y 轴相切；
v．
sin2
2pS AOB .
(2)抛物线 2 2y px ( 0)p 内结直角三角形OAB 的性质：
i． 2
21
2
21 4,4 PyyPxx ；
ii． ABl 恒过定点 )0,2( p ；
iii． BA, 中点轨迹方程： )2(2 pxpy ；
iv． ABOM ，则 M 轨迹方程为： 222)( pypx ；
v． 2
min 4)( pS AOB .
(3)抛物线 2 2y px ( 0)p ，对称轴上一定点 )0,(aA ，则：
i．当 0 a p ≤ 时，顶点到点 A 距离最小，最小值为 a ；
ii．当 pa 时，抛物线上有关于 x 轴对称的两点到点 A 距离最小，最小值为 22 pap .
17.2、两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 1( , ) 0f x y , 2( , ) 0f x y 的交点的曲线系方程是 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x y ( 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2 2
2 2 1x y
a k b k
,其中 2 2max{ , }k a b .
当 2 2min{ , }k a b 时,表示椭圆；当 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b 时,表示双曲线.
17.3、圆
1、圆系方程
(1)过点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 的圆系方程是
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x x
1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c , 其 中 0ax by c 是 直 线 AB 的 方
程,λ是待定的系数．
▲
y
x
F1 F2
1
2
3
4
5
3
3
(2)过直线l : 0Ax By C 与圆C : 2 2 0x y Dx Ey F 的交点的圆系方程是
2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C ,λ是待定的系数．
(3)过圆 1C : 2 2
1 1 1 0x y D x E y F 与圆 2C : 2 2
2 2 2 0x y D x E y F 的交点的圆系方程是
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F ,λ是待定的系数．
特别地，当 1 时， 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F 就是
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0D D x E E y F F 表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；
2、点与圆的位置关系：点 0 0( , )P x y 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种
若 2 2
0 0( ) ( )d a x b y ，则 d r 点 P 在圆外；
d r 点 P 在圆上；
d r 点 P 在圆内.
3、直线与圆的位置关系
直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种(
22 BA
CBbAad
):
0d r 相离 ；
0d r ＝ 相切 ＝ ；
0d r 相交 .
4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 1 2,O O 半径分别为 1 2,r r ， dOO 21
1 2 4d r r ＋ 外离 条公切线；
1 2 3d r r ＝ ＋ 外切 条公切线；
1 2 1 2 2r r d r r ＋ 相交 条公切线；
1 2 1d r r 内切 条公切线；
1 20 d r r 内含 无公切线.
5、圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆 2 2 0x y Dx Ey F ．
①若已知切点 0 0( , )x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0 0
0 0
( ) ( ) 02 2
D x x E y yx x y y F .
当 0 0( , )x y 圆外时, 0 0
0 0
( ) ( ) 02 2
D x x E y yx x y y F 表示过两个切点的切
点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.
②过圆外一点的切线方程可设为 0 0( )y y k x x ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，
注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．
③斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ，再利用相切条件求 b，必有两条切线．
(2)已知圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 的切线方程．
①若 P( 0x , 0y )是圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 上的点，则过点 P( 0x , 0y )的切线方程为
2
0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r .特别地，若 0; 0a b ，切线方程为 2
0 0x x y y r ；
若 P( 0x , 0y )是圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 外一点，由 P( 0x , 0y )向圆引两条切线，切点分
别为 A，B 则直线 AB 的方程为 2
0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r .特别地，若 0; 0a b ，
2
0 0xx yy r
②圆 2 2 2x y r ，斜率为 k 的圆的切线方程为 21y kx r k .
(3) 过圆 2 2 0x y Dx Ey F 外一点 0 0( , )x y 的切线长为 2 2
0 0 0 0l x y Dx Ey F .
17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量 1,u k 或 ,u m n ；
（2）给出 OA OB
与 AB 相交，等于已知 OA OB
过 AB 的中点；
在 ABC 中，给出 1
2
AD AB AC
，则 AD 是 ABC 中 BC 边的中线；
（3）给出 0PM PN ，等于已知 P 是 MN 的中点；
（4）给出 AP AQ BP BQ
，等于已知 ,A B 与 PQ 的中点三点共线；
（5）给出以下情形之一：① ||AB AC
；②存在实数 , AB AC 使 ；
③若存在实数 , , 1, 且 ， OC OA OB
使 等于已知 , ,A B C 三点共线.
（6）给出
1
OA OBOP
，等于已知 P 是 AB
的定比分点， 为定比，即 AP PB
（7）给出 0MA MB
，等于已知 MA MB ，即 AMB 是直角，给出 0MA MB m
，等于已知 AMB 是钝
角，给出 0MA MB m
，等于已知 AMB 是锐角；
（8）给出 ( ) MPMA MB
MA MB
，等于已知 MP 是 AMB 的平分线；
（9）在平行四边形 ABCD 中，给出 ( ) ( ) 0AB AD AB AD
，等于已知 ABCD 是菱形；
（10）在平行四边形 ABCD 中，给出| | | |AB AD AB AD
，等于已知 ABCD 是矩形；
（11）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 1
2AOB A B B AS x y x y .
2 2 21
2
1 | || | sin | | | | ( )2ABCS AB AC A AB AC AB AC ；
（12） O 为 ABC 内一点，则 0BOC AOC AOBS OA S OB S OC
；
（13）在 ABC 中，给出 OP OA
( )
| | | |
AB AC
AB AC
)( R ，则 AP 通过 ABC 的内心；
17.5、解题规律盘点
1、点
(1)交点
①直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为 0 时， 1 2
1 2
0
x x
x x
，
x my b 与二次曲线联立， 1 2
1 2
0
y y
y y
；
②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立， 0
0
二次项系数不等于
③直线与二次曲线有一个公共点：
双曲线
直线l 二次项系数为 0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为 0，△=0 l
直线
抛物线 二
次项系数为 0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为 0，△=0
(2)定点处理思路；
(3)①设参数方程；椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的参数方程是： 为参数）
(sin
cos
by
ax ；
圆 2 2 2( ) ( )x a x b r 的参数方程： 为参数）
(sin
cos
rby
rax
②抛物线 2 2 ( 0)y px p 上的动点可设为： ),2( 0
2
0 yp
yP 或 )2,2( 2 ptptP 或 ),( 00 yxP ，其中 0
2
0 2pxy ，
以简化计算.
2、直线
(1)设直线方程分斜率 k 存在、 k 不存在两种情况讨论。如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率
存在时，往往设为斜截式： y kx b ；
巧设直线方程 0 0( )x x k y y 回避讨论及运算等问题
当直线过定点 0 0( , )x y 时，若设成 0 0( )y y k x x 有时会出现下列情况：
(i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局.
(2)过 x 轴上一点 ( ,0)m 的直线一般设为 x ty m 可以避免对斜率是否存在的讨论
(3)直线的方向向量 ( , )m
0,(0, ),
0,(1, ),
m
m m m
斜率不存在
斜率
(4)两解问题：
3、角
(1)余弦定理;
(2)到角公式:
(3)向量的夹角公式
4、直线与圆锥曲线
(1)直线与圆锥曲线问题解法：
1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.
【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式
(1)已知曲线
2 2
2 2 1x y
a b
( 2 2 1Ax By )与直线 y kx m 方程联立得：
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b k a x mka x a m a b
( 2 2 2( ) 2 1 0A Ba x Bmkx Bm )
【注意】：当曲线为双曲线时，要对 2 2 2( )b k a 与 0 进行比较.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2( 2 ) 4( )( ) 4 4 4mka b k a a m a b a b b a m a b
由根与系数关系知：
2 2 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2 2 2
2 ;mka a m a bx x x x
b k a b k a
【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“ x ”
还是关于“ y ”的一元二次方程？②二次项系数系数为 0 的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑
了吗？④判别式验证了吗？
截得平行线的弦长
相等（斜率不存在）
圆 外 一 点 引 切 线
（斜率不存在）
圆外一点引两条长度相
等的割线，割线长度不等
于直径
2.设而不求（代点相减法）——处理弦中点与直线斜率问题
步骤如下：
已知曲线
2 2
2 2 1 , 0x y a ba b
，①设点 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 中点为 0 0( , )M x y ，②作差得
21
21
xx
yyk AB ；
2
0
AB OM 2
0
b xk k a y
；对抛物线 2 2 ( 0)y px p 有
0
AB
1 2
2 p
y
pk y y
＝ .
【细节盘点】
*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论
和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.
*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”
问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)
公式或“小小直角三角形”.
*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜
率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于 x 的方程还是 y 的方程，接着讨论
方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即 0 时，直线与曲线相切，……
*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方
程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“ 0 ≥ ”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉
及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.
*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角
三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③求弦中点坐标；④求曲线的方程.
(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :
2 2
1 2 1 2( ) ( )AB x x y y
或 2 2 2
2 1 2 1 1 2(1 )[( ) 4 ] | | 1 tanAB k x x x x x x
2
1 2| | 1 ty y co 2 2
1 2 1 21 ( ) 4k x x x x
21
2
212
2
122 4)(11))(11(|| yyyy
k
yy
k
AB
【注】：弦端点 A ),(),,( 2211 yxByx ，由方程 ( , ) 0
y kx b
F x y
消去 y 得到 02 cbxax ， 0 , 为
直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率， 2
1 2 1 2 1 2| | ( ) 4x x x x x x .
(3)抛物线的切线方程
①抛物线 pxy 22 上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0( )y y p x x .
②过抛物线 pxy 22 外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0( )y y p x x .
③抛物线 2 2 ( 0)y px p 与直线 0Ax By C 相切的条件是 2 2pB AC .
5、几何定值、极值问题
几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，
有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面
积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常
需要用如下结论：
①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；
②周长一定的矩形中，以正方形面积最大；
③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；
④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；
⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；
⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；
⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；
⑧在面积一定的边形中，正边形的周长最小.
几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的北欧谐几何
性质或位置保持不变等问题.
常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比）、定
积（面积、线段积）等.
常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.
几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所
给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这
种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何
量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示.
解决定值问题常用的处理思路和方法：
（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；
其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固
定在已知量上；
（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，
最后消去参数，便求得用常量表示的定值；
（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过
计算证明所求的式子的值为定值；
（4）综合运用几何、代数、三角知识证题.
6、求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立 x 、 y 之间的关系，构成 ( , ) 0F x y ，是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.
⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.
⑸交轨法(参数法)：当动点 ( , )P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x 、
y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.
7、定义解题
①椭圆：第一定义：平面上一动点 P 到平面上两个定点 F1、F2 的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则
P 点轨迹为椭圆。
②双曲线：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
③三种圆锥曲线的统一定义： ed
PF || （e∈(0,1)：椭圆；e=1：抛物线；e>1：双曲线
第 18 题（数列综合题）——稳步作答，步步为营
18.1、判定数列是基本数列的方法
（1）判定数列是否是等差数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法.
（2）解题常用判定数列是等差数列有以下三种方法：
① ),2(1 为常数dndaa nn
②2 11 nnn aaa ( 2n )
③ bknan ( kn, 为常数)．
【思考】：那等比数列呢？
（1）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法
（2）解题常用判定数列是等比数列有以下四种方法：
① )0,,2(1 且为常数qnqaa nn
② 11
2
nnn aaa ( 2n ， 011 nnn aaa )
③ n
n cqa ( qc, 为非零常数)．
④正数列{ na }成等比的充要条件是数列{ nx alog }（ 1x ）成等比数列．
18.2、数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式. ②等比数列求和公式.
③
1
1
2
n
k
n nk
， 2
1
1 2 1
6
n
k
n n nk
， 2
3
1
1
2
n
k
n nk
21 3 5 (2 1)n n
2 2 2 21 3 5 (2 1) (4 1)1
3n n n
21 3 5 (2 1) ( 1)n n
……
【特别声明】：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时分类讨论.
（2）分组求和法
（3）倒序相加法
（4）错位相减法
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项
相消法求和.常用裂项形式有：
① 1 1 1
( 1) 1n n n n
； ② 1 1 1 1( )( )n n k k n n k
；
③
2 2
1 1 1 1 1( ) ( )
1 2 1 1k k k k
；
2
1 1 1 1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) 1
( )
k k k k k k k k k
；
④ 1 1 1 1[ ]
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n
； ⑤ 1 1
( 1)! ! ( 1)!
n
n n n
；
⑥ 12( 1 ) 2( 1)n n n n
n
；
⑦ 1 ( 2)n n na S S n ≥ ； ⑧ 1 1
1 1
m m m m m m
n n n n n nC C C C C C
；
⑧ 1 1 ( )a b a b
a b
； ⑨ 1 1 1 1( )
( )( )An B An C C B An B An C
.
……
用例： 1
2 1 2( 1) 1 1 1
( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1)2n n n n n
n n na n n n n n n
；
)12
1
12
1(2
11)12)(12(
)2( 2
nnnn
nan
（6）通项转换法
若一阶线性递归数列 1 0, 1n na ka b k k （ ），则总可以将其改写变形成如下形式：
)1(1 1 k
bakk
ba nn
( 2n ≥ )，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
18.3、数列通项求解思路：
㈠由非递推关系求通项
⑴定义法：根据等差等比数列的等价条件，套用公式.
⑵公式法：①已知 nS (即 1 2 ( )na a a f n )求 na 用作差法：
1
1
,( 1)
,( 2)n
n n
S na S S n
≥
.
②已知 1 2 ( )na a a f n 求 na 用作商法： ( )
( 1)
(1),( 1)
,( 2)n f n
f n
f n
a n
≥ .
㈡由递推式求数列通项
⑴由递推式 1 ( )n na a f n ，求 na 用迭加法.
⑵由递推式 1 ( )n
na
a f n ，求 na 用迭乘法，还可以用迭代法.
① 1 1
1 2
2
1
( ) ( 1) ( 2) (1)n n n
n n na a a a
a a a a f n f n f n f
… … （迭乘法）
② 1 2( 1) ( 1) ( 2)n n na f n a f n f n a …
1( 1) ( 2) ( 3) (1)f n f n f n f a … （迭代法）
⑶递推式为 nfpaa nn 1 ，可以作如下具体分解，均可用构造法求解(先引入可化简辅助数列，再
求目标通项).
类型 1 1n na Aa D (常数 , 0A D )变形为 1 ( )1 1n n
D Da A aA A
可用解题途径：①转化等差、等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为 nnn qaPaa 12 的形式，再
用特征根方法求 na ；④ 1
21
n
n Pcca （公式法）， 21,cc 由 21,aa 确定．
①转化等差、等比：
1)( 11 P
rxxPxPaaxaPxa nnnn ．
②选代法： rrPaPrPaa nnn )( 21
1 1
1 1( ) ( )1 1
n n
n
r ra a P a x P xP P
rrPaP nn Pr2
1
1 ．
③用特征方程求解：
相减，
rPaa
rPaa
nn
nn
1
1
1na 111 1 nnnnnn PaaPaPaPaa ）（
④由选代法推导结果：
P
rPP
racPcaP
racP
rc nn
n
1111
1
11
1
2121 ）（，，
类型 2 1n na Aa Cn D (常数 , 0A C )变形为
1 2 2
( 1) ( 1)( 1) [ ]1 ( 1) 1 ( 1)n n
C C A D C C A Da n A a nA A A A
类型 3 1
n
n na Aa Bt D (常数 , ,t 0, t 1且A B )变形为
1
1 ( )t 1 t 1
n n
n n
B D B Da t A a tA A A A
类型 4 1
n
n na Aa Bt Cn D (常数 , , ,t 0, t 1且A B C )变形为
1
1 2 2
( 1) ( 1)( 1) [ ]t 1 ( 1) t 1 ( 1)
n n
n n
B C C A D B C C A Da t n A a t nA A A A A A
⑷递推式为 nS 与 na 的关系式 (或 ( )n nS f a )，可利用 1
1
( 1)
( 2)n
n n
S na S S n
≥
进行求解.
⑸递推式为 1
n
n
n
paa qa r
( , , 0p q r )或 1 1n n n na a xa ya ( , 0x y )，可变形为
1
1 1
n n
r q
a p a p
，或
1
1 1 1
n n
x
a y a y
.
⑹对于数列 2
n
n
n
Aa Ba Ca D
， *
1 , ( , , ,a m n N A B C D 是常数且 0, 0C AD BC ）其特征方程为
Ax Bx Cx D
，变形为 2 ( ) 0Cx D A x B (*).
若(*)有二异根 , ，则可令 1
1
n n
n n
a aca a
（其中 c 是待定常数），代入 1 2,a a 的值可求得
c 值.这样数列 n
n
a
a
是首项为 1
1
a
a
，公比为 c 的等比数列，于是这样可求得 na .
若(*)有二重根 ，则可令
1
1 1
n n
ca a
（其中 c 是待定常数），代入 1 2,a a 的值可
求得 c 值.这样数列 1
na
是首项为 1
na
，公差为 c 的等差数列，于是这样可求得 na .
⑺递推式为 1
m
n na pa ( 10 0,p a )，可变形为 1lg lg lgn na p m a .
⑻递推式为 nnn qapaa 12 （其中 ,p q 均为常数），可把原递推公式转化为
)( 112 nnnn saatsaa ，其中 ,s t 满足
qst
pts ，特征方程为 2x px q (*).
若(*)有二异根 , ，则可令 1 2
n n
na c c ( 1 2,c c 是待定常数）
若(*)有二重根 ，则可令 1 2( ) n
na c nc ( 1 2,c c 是待定常数）
nnn qapaa 12 （p、q 为二阶常数） 用特证根方法求解．
具体步骤：
①写出特征方程 qPxx 2 （ 2x 对应 2na ，x 对应 1na ），并设二根 21, xx
②若 21 xx 可设 nn
n xcxca 2211. ，若 21 xx 可设 n
n xncca 121 )( ；
③由初始值 21,aa 确定 21,cc ．
㈢双数列型
可根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.
【说明】：一些特殊数列，如①周期数列，不一定能求通项，但由递推关系，可得出周期等有效量，同样
也可确定数列中的 1na n 与 对应关系；②阶差数列，如二阶等差等比数列等；③还有些数列，只是起到过渡作
用，如数列 na｛ ｝， nb｛ ｝通过数列 nf｛ ｝建立联系，这时 nf｛ ｝就不一定可求通项，其实也不一定要求出来.
18.4、数列中蕴含的几种数学思想：
1、函数的思想
2、等价转化的思想：
（1）将“非等差、等比数列”转化为“等差数列、等比数列”，如：错位相减
（2） nn Sa 与 之间的转化
3、分类讨论的思想：
（1）由 nn as 求 . 1
1
( 1)
( 2)n
n n
s na S S n
（2）等比数列的求和公式：
1
1
( 1)
(1 ) ( 1)1
n
n
na q
S a q qq
，或
1
1
( 1)
( 1)1
n n
na q
s a a q qq
（3）项数 n 分奇、偶讨论.
4、从特殊到一般的思想（“归纳、猜想”）
从一般到特殊的思想： *n N 时成立，则 n=1,2 也应该均成立.如：2004 江苏高考第 20 数列题.
5、解方程组思想： ndsaa nn 、、、 、1 五个变量“知三求二”
6、回归基本量的思想：首项、公差决定等差数列；首项、公比决定等比数列
7、递推的思想：如：已知 13 nn as ，求 na 析： )2(13 11 nas nn ，两式相减得：
1
3
2
n
n
a
a
,
所以{ }na 为等比数列
再如：求数列通项时的叠加法、叠乘法；求数列前 n 和时，总体指导思想：欲求和，先研究通项（错位
相减法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法）.总之，对于数列章节的学习，不光是掌握几个公式，而更
要很好地从数学的思想方法.
18.5、攻克数列不等式证明问题的若干策略
策略一：放缩法
数列问题的两大特点是求和与递推，因此要证关于项和或通项的不等式，可先寻找关于通项或相邻两
项的不等式，这便是放缩的思想，即先放缩再求和或迭代。
1.利用最简单的不等式关系进行放缩
2.利用由条件得到的不等关系进行放缩
3.利用由基本不等式得到的不等关系进行放缩
4.利用由倒数（函数单调性）得到的不等关系进行放缩
5.利用由二项式定理得到的不等关系进行放缩
策略二：利用数列的单调性
1.由定义确定数列的单调性
2.构造函数、利用导数确定数列的单调性
策略三：数学归纳法
a
第 19 题（实际应用题）——人难我不畏难，人易我不大意
19.1、解应用题的一般思路可表示如下：
19.2、解应用题的一般程序
（1）读: 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础
（2）建: 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确
进行建“模”是关键的一关
（3）解: 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，
优化过程
（4）答: 将数学结论还原给实际问题的结果
19.3、中学数学中常见应用问题与数学模型
（1）优化问题: 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题
解决
（2）预测问题: 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
（3）最（极）值问题: 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函
数的最值
（4）等量关系问题: 建立“方程模型”解决
（5）测量问题: 可设计成“图形模型”利用几何知识解决
第二十题（函数综合题）——不怕繁杂的代数推理题
20.1、不等式证明常用方法：
(1)比较法：
①作差比较： 0A B A B ≤ ≤
步骤：a.作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.
b.变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.
c .判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
【注意】：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.
②求商比较法：要证 a b ，且b 0 ，只要证 1a
b
.
(2)综合分析法：由因导果，执果索因；要证……，只需证……，只需证……
(3)利用基本不等式(柯西不等式)
(4)反证法：对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”
(5)放缩法：
1.定义：指若直接证明不等式较困难，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，而达到证
明不等式成立的一种方法.即证明 0,f(x)在区间［p,q］上的最大值 M，最小值 m,令 x0=
2
1 (p+q)
若－
a
b
2
0 时，f(α)|β+
a
b
2
|;
(3)当 a>0 时，二次不等式 f(x)>0 在［p,q］恒成立
,0)(
,2
pf
pa
b
或
;0)(
;2
,0)2(
,2
qf
pa
b
a
bf
qa
bp
或
(4)f(x)>0 恒成立
.0
0
,0
,00)(;0
,0
,0
,0
c
baaxfc
baa 或恒成立或
20.3、闭区间上的二次函数的最值
二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a 在闭区间 ,p q 上的最值只能在
2
bx
a
处及区间的两端点处取得，具
体如下：
(1)当 a>0 时，若 ,
2
bx p q
a
，则 min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( )
2
bf x f f x f p f q
a
；
若 ,
2
bx p q
a
，则 max max( ) ( ), ( )f x f p f q ， min min( ) ( ), ( )f x f p f q .
(2)当 a<0 时，若 ,
2
bx p q
a
，则 min( ) min ( ), ( )f x f p f q ，
若 ,
2
bx p q
a
，则 max( ) max ( ), ( )f x f p f q ， min( ) min ( ), ( )f x f p f q .
20.4、一元二次方程的实根分布
若 ( ) ( ) 0f m f n ，则方程 ( ) 0f x 在区间 ( , )m n 内至少有一个实根.设 2( )f x x px q ，则
（1）方程 ( ) 0f x 在区间 ( , )m 内有根的充要条件: ( ) 0f m 或
2 4 0
2
p q
p m
≥
；
（2）方程 ( ) 0f x 在区间 ( , )m n 内有根的充要条件:
( ) ( ) 0f m f n 或 2
( ) 0
( ) 0
4 0
2
f m
f n
p q
pm n
≥ ，或 ( ) 0
( ) 0
f m
af n
，或 ( ) 0
( ) 0
f n
af m
；
（3）方程 ( ) 0f x 在区间 ( , )n 内有根的充要条件: ( ) 0f m ，或
2 4 0
2
p q
p m
≥
.
20.5、定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 ),( 的子区间 L （形如 , ， , ， , 不同）上含参数的二次不等式
( , ) 0f x t ≥ (t 为参数)恒成立的充要条件是 min( , ) 0( )f x t x L≥ .
(2)在给定区间 ),( 的子区间上含参数的二次不等式 ( , ) 0f x t ≥ (t 为参数)恒成立的充要条件是
( , ) 0( )manf x t x L≤ .
(3) 0)( 24 cbxaxxf 恒成立的充要条件是
0
0
0
a
b
c
≥
≥ ，或 2
0
4 0
a
b ac
.
20.6、恒成立问题的基本类型及处理思路
1、利用一次函数的性质
类型 1：对于一次函数 ],[,)( nmxbkxxf 有：
( ) 0f x 恒成立 (ⅰ)
0)(
0
mf
a ，或(ⅱ)
0)(
0
nf
a ；亦可合并定成
0)(
0)(
nf
mf ；
( ) 0( ) 0 ( ) 0
f mf x f n
恒成立
2、利用一元二次函数的判别式
类型 2：设 )0()( 2 acbxaxxf
（1） Rxxf 在0)( 上恒成立 00 且a ；
（2） Rxxf 在0)( 上恒成立 00 且a .
类型 3：设 )0()( 2 acbxaxxf
（1）当 0a 时， ],[0)( xxf 在 上恒成立 2 2 2
( ) 0 0 ( ) 0
b b b
a a a
f f
≤ ≤或 或 ，
],[0)( xxf 在 上恒成立
0)(
0)(
f
f
（2）当 0a 时， ],[0)( xxf 在 上恒成立
0)(
0)(
f
f
],[0)( xxf 在 上恒成立 2 2 2
( ) 0 0 ( ) 0
b b b
a a a
f f
≤ ≤或 或
3、利用函数的最值（或值域）
类型 4： min)()( xfIxxf 恒成立对一切 ( )f x x I 对一切 恒成立 .
max( )f x
类型 5： )()( xgxf 对于任意的 ],[ bax 恒成立 min max( ) ( )f x g x ，或 )(xf 在 ],[ bax 上的图
像始终在 )(xg 的上方.（通常移项，使 0)()()( min xgxfxh 即可；
若 )(xh 的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在 ],[ bax 上 )(xf 的图像始终在 )(xg 的
上方即可.）
20.7、定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
(1)在给定区间 ),( 的子区间 L（形如 , ， , ， , 不同）上含参数的不等式 ( )f x t≥ (t
为参数)恒成立.
充要条件： min( ) ,( )f x t x L≥ .
(2)在给定区间 ),( 的子区间 L 上含参数的不等式 ( )f x t≤ (t 为参数)恒成立.
充要条件： max( ) ,( )f x t x L≤ .
(3)在给定区间 ),( 的子区间 L 上含参数的不等式 ( )f x t≥ (t 为参数)的有解.
充要条件： max( ) ,( )f x t x L≥ .
(4)在给定区间 ),( 的子区间 L 上含参数的不等式 ( )f x t≤ (t 为参数)有解.
充要条件： min( ) ,( )f x t x L≤ .
对于参数 a 及函数 ( ),y f x x A .
若 ( )a f x≥ 恒成立，则 max ( )a f x≥ ；
若 ( )a f x≤ 恒成立，则 min ( )a f x≤ ；
若 ( )a f x≥ 有解，则 min ( )a f x≥ ；
若 ( )a f x≤ 有解，则 max ( )a f x≤ ；
若 ( )a f x 有解，则 min max( ) ( )f x a f x≤ ≤ .
（若函数 ( ),y f x x A 无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论）.
【知识疏漏】：
1.对数的换底公式 : loglog log
m
a
m
NN a
( 0a ,且 1a , 0m ,且 1m , 0N ).
对数恒等式： loga Na N ( 0a ,且 1a , 0N ).
【推论】： log logm
n
aa
nb bm
( 0a ,且 1a , 0N ).
2．对数的四则运算法则:若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)log ( ) log loga a aMN M N ; (2) log log loga a a
M M NN
;
(3)log log ( )n
a aM n M n R ; (4) log log ( , )m
n
aa
nN N n m Rm
。
3.设函数 )0)((log)( 2 acbxaxxf m ,记 acb 42 .若 )(xf 的定义域为 R ,则 0a 且 0 ;
若 )(xf 的值域为 R ,则 0a ，且 0 。
4. 对数换底不等式及其推广：设 1n m ， 0p ， 0a ，且 1a ，则
（1） log ( ) logm p mn p n . （2） 2log log log 2a a a
m nm n .
5.平均增长率的问题（负增长时 0p ）
如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 (1 )xy N p .
6.等差数列的通项公式： *
1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N ；
广义通项： *( ) ( )n m ma a n m d a dn dm n N .
其前 n 项和公式为： 1( )
2
n
n
n a as 1
( 1)
2
n nna d 2
1
1( )2 2
d n a d n .
7.等比数列的通项公式： 1 *1
1 ( )n n
n
aa a q q n Nq
；
广义通项： *( )n m nm
n m m
aa a q q n Nq
.
其前 n 项的和公式为
1
1
(1 ) , 11
, 1
n
n
a q qs q
na q
或
1
1
, 11
, 1
n
n
a a q qqs
na q
.
8.等比差数列 na : 1 1, ( 0)n na qa d a b q 的通项公式为 1
( 1) , 1
( ) , 11
n n
n
b n d q
a bq d b q d qq
；
其前 n 项和公式为：
( 1) ,( 1)
1( ) ,( 1)1 1 1
n
n
nb n n d q
s d q db n qq q q
.
9.分期付款(按揭贷款) ：每次还款 (1 )
(1 ) 1
n
n
ab bx b
元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为b ).
10.平面向量基本定理
如果 1e 、 2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1 2, ，
使得 a =λ1 1e +λ2 2e ．
不共线的向量 1e 、 2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
三点 A、B、C 共线的充要条件： (1 )MC MA MB (M 为任意点)
11.夹角公式
(1) 2 1
2 1
tan | |1
k k
k k
. ( 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1k k )
(2) 1 2 2 1
1 2 1 2
tan | |A B A B
A A B B
.( 1 1 1 1: 0l Ax By C , 2 2 2 2: 0l A x B y C , 1 2 1 2 0A A B B ).
直线 1 2l l 时，直线 l1 与 l2 的夹角是
2
.
12. 1l 到 2l 的角公式
(1) 2 1
2 1
tan 1
k k
k k
.( 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b , 1 2 1k k )
(2) 1 2 2 1
1 2 1 2
tan A B A B
A A B B
.( 1 1 1 1: 0l A x B y C , 2 2 2 2: 0l A x B y C , 1 2 1 2 0A A B B ).
直线 1 2l l 时，直线 l1 到 l2 的角是
2
.
13. 三角函数的周期公式
函数 sin( )y x ，x∈R 及函数 cos( )y x ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0)的周期 2
| |T
；
函数 tan( )y x ， ,2x k k Z (A,ω, 为常数，且 A≠0)的周期
| |T
