步步高高考数学文江苏专用大二轮总复习增分练高考小题分项练6doc

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高考小题分项练6　平面向量 ‎1．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 答案　 解析　∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，‎ ‎∴a·b＝a2＝，‎ ‎∴|a＋b|＝＝ ‎＝ ＝.‎ ‎2．已知向量a，b，其中a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，则b在a上的投影为______．‎ 答案　 解析　由a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，‎ 得a·(a－3b)＝0＝a2－3a·b＝4－3a·b，a·b＝，‎ 所以b在a上的投影为＝＝.‎ ‎3．平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|＋＋|的取值范围是______．‎ 答案　[7,11]‎ 解析　设A(a,0)，B(0，b)，a2＋b2＝4，‎ ＝(2－a，)，＝(2，－b)，‎ ‎|＋＋|＝|(6－a,3－b)|‎ ‎＝，‎ 令c＝2a＋b，a＝－代入a2＋b2＝4，‎ 得(－)2＋b2＝4，‎ 化简得b2－cb＋－4＝0，‎ Δ＝－4××(－4)≥0，‎ 解得－6≤c≤6，‎ 则|＋＋|的取值范围是[7,11]．‎ ‎4．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，AD是圆的直径，若满足·＋·＝2，则||＝________.‎ 答案　2‎ 解析　因为AD是直径，所以∠ABD＝∠ACD＝，‎ 所以·＝2，·＝2，‎ 所以2＋2＝2，‎ 即∠BAC＝，BC是直径，所以||＝2.‎ ‎5．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·的值为________．‎ 答案　－4‎ 解析　如图所示，＝2⇒BE＝BC＝，‎ ·＝3⇒AFcos∠BAF＝1⇒DF＝1，‎ 以点A为原点建立平面直角坐标系，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，‎ 则B(0,3)，F(，1)，E(，3)，‎ 因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4.‎ ‎6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n (m，n∈R)，则＝________.‎ 答案　－3‎ 解析　如图，作AE∥DC，交BC于点E，则ADCE为平行四边形，＝＝m＋n，‎ 又＝＋＝－，‎ 所以故＝－3.‎ ‎7．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为________．‎ 答案　[4,6]‎ 解析　以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，‎ 则A(3,0)，B(0,3)，‎ ‎∴AB所在直线的方程为：＋＝1，‎ 则y＝3－x.‎ 设N(a,3－a)，M(b,3－b)，‎ 且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨设a>b，‎ ‎∵MN＝，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，‎ ‎∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2，‎ ‎∴·＝(b,3－b)·(a,3－a)‎ ‎＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)‎ ‎＝2(b－1)2＋4,0≤b≤2，‎ ‎∴当b＝0或b＝2时有最大值6；‎ 当b＝1时有最小值4.‎ ‎∴·的取值范围为[4,6]．‎ ‎8．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量n＝(a＋c，sin B－sin A)，m＝(a＋b，sin C)，若m∥n，则角B的大小为________．‎ 答案　 解析　若m∥n，则(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，由正弦定理可得：(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0，‎ 化为a2＋c2－b2＝－ac，∴cos B＝＝－.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴B＝.‎ ‎9．已知m＝(cos α，sin α)，n＝(2,1)，α∈(－，)，若m·n＝1，则sin(2α＋)＝________.‎ 答案　－ 解析　m·n＝2cos α＋sin α＝1，sin α＝1－2cos α，‎ 由sin2α＋cos2α＝1，得(1－2cos α)2＋cos2α＝1，‎ 即5cos2α－4cos α＋1＝1，‎ 又α∈(－，)，解得cos α＝.‎ sin(2α＋)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－.‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sin B，cos A)，m⊥n，b＝2，a＝，则△ABC的面积为______．‎ 答案　 解析　∵在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，‎ m＝(a，b)，n＝(sin B，cos A)，m⊥n，b＝2，a＝，‎ ‎∴m·n＝asin B＋bcos A＝sin B＋2cos A＝0，‎ ‎∴sin B＝－，‎ 由正弦定理得＝，‎ 整理得sin A＝－cos A，‎ ‎∴sin2A＋cos2A＝4cos2A＝1，cos A<0，‎ ‎∴cos A＝－.∵00)，则sin A的值为________．‎ 答案　 解析　如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连结BF，则＝λ(＋) (λ>0)‎ ‎＝λ(＋)＝，‎ ‎∴和共线，∴点D和点F重合，‎ ‎∴D是AC的中点．‎ ‎∵＝(＋)，‎ ‎∴||2＝(||2＋||2＋2·)‎ ‎＝＋||＋＝5.‎ 又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，‎ 即AC2＝＋BC2－·BC·，‎ 解方程可得BC＝2，AC＝，‎ 由正弦定理＝，且sin B＝＝＝，‎ 可得sin A＝＝＝.‎