高考椭圆大题专题分类
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高考椭圆大题专题分类
一、求椭圆的方程以及面积
1．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解析 (1)由已知得c＝2，＝.解得a＝2，
又b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1
b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解 (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，
直线l的方程为y＝(x－2)．
由消去x，
整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.
故椭圆C的方程为＋＝1.
四、求椭圆方程及定点在椭圆上
1． 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
(1)解 由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝ ＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，
则直线PM的方程为y＝x＋1， ①
直线QN的方程为y＝x＋2. ②
法一 联立①②解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
法二 设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
五、求椭圆的离心率及椭圆与直线的关系
1．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2为直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，
因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
