高考数学资料——5年高考题3年模拟题分类汇编专题7导数部分
第三章 导数及其应用
第一部分 五年高考荟萃
一、选择题
1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由得几何，
即，∴∴，∴切线方程，即选A
4.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
答案 A
解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为
，则曲线在点处切线的斜率为 ( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 由已知，而，所以故选A
力。
6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解 ,
故切线方程为,即 故选B.
7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A ． B． C． D．
8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )
A. B.3 C. D.4
答案 C
解析 由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
9.（2009天津卷理）设函数则 ( )
A在区间内均有零点。
B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间
为增函数，在点处有极小值；又
，故选择D。
二、填空题
10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则
解析 f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
答案 3
11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当
如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 .
解析 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
解析 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
答案 :
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
答案
解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案 -2
16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
答案 ①③④
解析 ①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有
∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，
突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
答案
解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
三、解答题
18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）
设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解析 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去可得．
又，且
19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析 （Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
20.（2009北京文）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
21.（2009北京理）（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查
综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1）当满足什么条件时,取得极值?
（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
22.设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解析 （I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
由假设知
即 解得 1
1时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
当时，.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；
(1)证明：当
解析 （Ⅰ）.有条件知，
，故. ………2分 于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.
从而在，单调减少，在单调增加. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为.
从而对任意，，有. ………10分
而当时，.
从而 ………12分
37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
解析 (1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于11,证明对任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。
本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理
论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）
（I）解析 ，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则
当变化时，，的变化情况如下表：
1
0
+
0
极小值
极大值
当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则
将上述两式相加得：
，导致矛盾，
（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时
，即
下同解法1
43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（21）解析
（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得
令
列表讨论的变化情况：
（-1，3）
3
+
0
—
0
+
极大值6
极小值-26
所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若上是增函数，从而
上的最小值是最大值是
由于是有
由
所以
若a>1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
44.（2009天津卷理）（本小题满分12分）
已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
（I）解析
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
45.（2009四川卷理）（本小题满分12分）
已知函数。
（I）求函数的定义域，并判断的单调性；
（II）若
（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解析 （Ⅰ）由题意知
当
当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00,
1036时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、选择题
1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则
函数的零点所在的区间是 （ ）
A． B．
C． D．
答案 C
2.（2009天津重点学校二模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当
时不等式成立， 若，
，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
答案 C
3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数
的导数 的图像，则 （ ）
A. B. C. D.或
答案 B
－2
4
4.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是 ( )
A.16 B.18
C.20 D.22
答案 B
二、填空题
－2
x
y
O
5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围是 ．
答案
6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数
(c＜0)单调递增区间是 .
答案
三、解答题
7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数，其中为实数.
(Ⅰ) 若在处取得的极值为，求的值;
（Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.
解 (Ⅰ)由题设可知:
且， ……………… 2分
即，解得 ……………… 4分
（Ⅱ）， ……………… 5分
又在上为减函数，
对恒成立， ……………… 6分
即对恒成立.
且， ……………… 10分
即，
的取值范围是 ……………… 12分
8.（2009厦门大同中学）设函数
（1）求函数的极大值；
（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），
试确定实数a的取值范围．
解 （1）∵，且，………………………………1分
当时，得；当时，得；
∴的单调递增区间为；
的单调递减区间为和．…………………………………3分
故当时，有极大值，其极大值为． …………………4分
（2）∵，
当时，，
∴在区间内是单调递减．…………………………………………6分
∴．
∵，∴
此时，．…………………………………………………………………………9分
当时，．
∵，∴即 ……11分
此时，．……………………………………………………………13分
综上可知，实数的取值范围为．………………………………… 14分
9月份更新
1.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）已知函数，若的单调减区间恰为（0，4）。
（I）求的值：
（Ⅱ）若对任意的，关于的方程总有实数解，求实数的取值范围。
解：（1）
又
（Ⅱ）时时
且 8分
解得
2.（2009天津六校联考）已知函数
（1）若 时，函数 在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数 ，求函数的最
3.（2009汉沽一中第六次月考）已知，．
（Ⅰ）当时，求证：在上是减函数；
（Ⅱ）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，
∵
∴在上是减函数
（Ⅱ）∵不等式恒成立
即不等式恒成立
∴不等式恒成立
当时， 不恒成立
当时，不等式恒成立
即
∴
当时，不等式不恒成立
综上所述，的取值范围是
4.（2009和平区一模）已知函数
(Ⅰ)求的值域；
(Ⅱ)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
令，得或．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
而，
当时，的值域是．
(Ⅱ)设函数在上的值域是A，
若对任意．总存在1,使，
．
．
①当时，，
函数在上单调递减．
，
· 当时，不满足；
②当时，，
令，得或(舍去)
（i）时，的变化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得．
(ii)当时，
函数在上单调递减．
，当时，不满．
综上可知，实数的取值范围是．
5.（2009河北区一模）已知函数
（I）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若上是增函数，求实数的取值范围。
解：（I）
有极大值点，极小值点。
此时在上是减函数，在上是增函数。
在上的最小值是-18，最大值是-6
（Ⅱ）
当时，是增函数，其最小值为
时也符合题意，
6.（2009河东区一模）设函数
（1）求的最小值；
（2）若对时恒成立，求实数的取值范围
解：（1）
时，取得最小值，
即
（2）令
由，得或（舍去）
（0,1）
1
（1,2）
0
增
极大值
减
在内有最大值，
对时恒成立等价于恒成立。
即
7.（2009河西区一模）已知函数，其中实数，
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围。
解：（I）‘
又令，得
①若，则当或时。当时，
在和内是增函数，在内是减函数，
②若则当或时，当时，
在和内是增函数，在内是减函数
（Ⅱ）当时，在和内是增函数，故
在内是增函数。
由题意得 解得
当时，在和内是增函数，在内是增函数。
由题意得 解得
综上知实数的取值范围为
2007—2008年联考题
一、选择题
1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别
是 （ ）
A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16
答案 A
2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若存在，则不可
能为 （ ）
A．； Ｂ．； Ｃ．； Ｄ．；
答案 B
3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数
的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( )
A． B．
C． D．
答案 C
4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知 ( )
A．－4 B．8 C．0 D．不存在
答案 B
x
y
x4
O oO
5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则 （ ）
A．函数有1个极大值点，1个极小值点
B．函数有2个极大值点，2个极小值点
C．函数有3个极大值点，1个极小值点
D．函数有1个极大值点，3个极小值点
答案 A
二、填空题
6.（2008年高考数学各校月考）定积分的值是 .
答案 3
7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数在
x＝－1时有极值0，则m＝_________；n＝_________；
本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0
答案 m＝2，n＝9.
解析 ＝3x2＋6mx＋n
由题意，＝3－6m＋n＝0
f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0
解得或
但m＝1，n＝3时，＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立
即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去
8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数的图象，
为函数的导函数，则不等式的解集为______ ______．
答案
三、解答题
8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）
（1）写出此函数F(x)在R上的单调区间；
（2）若方程F(x)－m=0恰有两解，求实数m的值。
解 （1）∴
由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立
∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数
在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数
ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数
在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数
iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数
（2）由（1）可知
i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，
在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，
此时m=－1－t或m=3－t
ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，
在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，
此时m=或m=3－t
9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴
的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。
（Ⅰ）求f(0)、f(-1)的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中
解 (1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0
∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………3分
∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 …………………3分
(2)
又当时，其导函数恒成立，∴在区间上为单调递增函数
∴
①当时，；
②当时，，∴；
③当时，，∴
综上所述：当时，；当时，；
当时，。
