高考数学导数压轴题精练
2013 年高考数学导数压轴题精练
1.已知函数 ．
（1）若 在 上是增函数，求 得取值范围；
（2）在（1）的结论下，设 ， ，求函数 的最小值.
2.已知对任意 ，直线 都不是 的切线．
（I）求 的取值范围；
（II）求证在 上至少存在一个 ，使得 成立．
3.设函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数 在 上是增函数，且对于 内的任意实数 , 当
为偶数时，恒有 成立，求实数 的取值范围；
4.已知函数 f(x)＝x－ln(x＋a)．（a 是常数）
(I)求函数 f(x)的单调区间；
(II) 当 在 x＝1 处取得极值时，若关于 x 的方程 f(x)＋2x＝x2＋b 在[1
2，2]上恰
有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围；
(III)求证:当 时 ．
5.已知函数 ，（ 为常数）．
（Ⅰ）若函数 在 时取得极小值，试确定 的取值范围；
2( ) lnf x x x ax= + −
( )f x (0,1) a
2( ) | |x xg x e e a= + − [0, ln3]x∈ ( )g x
R∈m 0=++ myx )(3)( 3 R∈−= aaxxxf
a
]1,1[−∈x 0x 4
1|)(| 0
≥xf
( ) ( )2( ) 2 1 lnkf x x x k += − − ∈N
( )f x
( )
2
12 xbxxg −= ( ]1,0 ( ]1,0 1x 2x k
)()( 21 xgxf ≥ b
)(xfy =
2,n n≥ ∈ +N en
<
+
+
+ 222
11......3
112
11
2( ) ( )e xf x x ax a −= + + a
( )f x 0x = a
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由 的极大值构成的函数为 ，试判断曲线
只可能与直线 、 （ ， 为确定的常数）中的哪一条
相切，并说明理由．
6.已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中
．（Ⅰ）设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同，用
表示 ，并求 的最大值；（Ⅱ）设 ，证明：若 ，则对
任意 ， ， 有 ．
7.已知对任意的 恒有 成立。
（1）求正数 与 的关系；
（2）若
对 恒成立，求函数 的解析式；
8.设函数 ， .
⑴当 时， 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
⑵当 时，若函数 在 上恰有两个不同零点，求实数 取
值范围；
⑶是否存在实数 ，使函数 和 在其公共定义域上具有相同的单调性，若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
9．已知函数 为自然对数的底数）
2
( ) , ( ) 2 ln (xf x g x a x ee
= =
( )f x ( )g x ( )g x
2 3 0x y m− + = 3 2 0x y n− + = m n
2( ) 4 1f x x ax= + + 2( ) 6 ln 2 1g x a x b= + +
0a > ( )y f x= ( )y g x= a
b b ( ) ( ) ( )h x f x g x= + 3 1a ≥ −
1x 2x (0, )∈ +∞ 1 2x x≠ 2 1
2 1
( ) ( ) 8h x h x
x x
− >−
0>x )1(1 −≤ xbnxa
a b
)1()(1),,(,)(,1 −≤≤∈+== xbxfnxRnmnxmxfa 若设
0>∀x )(xf
2( ) lnf x x m x= − 2( )g x x x a= − +
0a = ( ) ( )f x g x (1, )+∞ m
2m = ( ) ( ) ( )h x f x g x= − [1,3] a
m ( )f x ( )g x
m
（1）求 的单调区间，若 有最值，请求出最值；
（2）是否存在正常数 ，使 的图象有且只有一个公共点，且在该公共点
处有共同的切线？若存在，求出 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存
在，请说明理由。
10.已知函数 （ ）．
（1）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值；
（2）当函数 在 单调时，求 的取值范围；
（3）求函数 既有极大值又有极小值的充要条件。
11.设函数
（I）当 图像上的点到直线 距离的最小值；
（II）是否存在正实数 a，使 对一切正实数 x 都成立？若存在，求出 a 的
取值范围；若不存在，请说明理由．
12.已知
（Ⅰ） 的单调区间和最值；
（Ⅱ）若
13.已知函数 满足 ,
( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )F x
a ( ) ( )f x g x与
a
2( ) lnf x x ax x= − + − a∈R
3a = ( )f x 1 ,22
( )f x 1 ,22
a
( )f x
2 2( ) ln , ( ) .f x ax x g x a x= + =
1 , ( )a y f x= − =时 求函数 3 0x y− + =
( ) ( )f x g x≤
.ln2)(, 2 xaxxfRa −=∈ 函数
)(,1 xfa 求时当 ≤
".2
1""2)(:",0 ==> aaxxfa 的充要条件是有唯一解方程试证明
)(xf 2 ( 2) ( ) 0f x f x+ − =
当 时, ,当 时, 的最大值为-4．
(I)求实数 的值；
(II)设 ，函数 ， ．若对任意的 ,
总存在 ,使 ,求实数 的取值范围．
14.已知函数 （a∈R）。
（I）我们称使 =0 成立的 x 为函数的零点。证明：当 a=1 时，函数 只有一个
零点；
（II）若函数 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数 a 的取值范围。
15.定义：
（其中 ）。
（1）求 的单调区间；
（2）若 恒成立，试求实数 a 的取值范围；
16.已知函数
（1）若函数 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
（2）若 且关于 x 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
求实数 的取值范围；
（3）设各项为正的数列 满足：
求证：
21( ) ln 2 ( 0).2f x x ax x a= − − <
( )f x a
1
2a = − 1( ) 2f x x b= − + [ ]1,4
b
{ }na *
1 11, ln 2, .n n na a a a n N+= = + + ∈
12 −≤ n
na
( )2,0∈x axxxf += ln)(
−<
2
1a ( )2,4 −−∈x )(xf
a
0≠b bxbxxg −= 3
3
1)( ( )2,1∈x ( )2,11 ∈x
( )2,12 ∈x 0)()( 21 =− xgxf b
xaxxaxf ln)( 22 ++−=
( )f x ( )f x
( )f x
),()(,,),,0(,ln),( a
xxFxfRyxxxyyxF =∈+∞∈+=
0≠a
)(xf
2
1)( −
(0,1) 12a x x
< +
12 2 2x x
+ ≥
2
2x = 2 2a <
2 2a = ( )f x 2 2a ≤
xt e= 2( )h t t t a= + − 0 ln3x≤ ≤ 1 3t∴ ≤ ≤
1a ≤ 2( )h t t t a= + − [1,3] ( )h t
(1) 2h a= −
1 2 2a< ≤
2
2
(1 )( )
( 3)
t t a t ah t
t t a a t
− + ≤ <= + − ≤ ≤
( )h t [ ,3]a [1, ]a ( )h t [1,3]
( )h t (1)h a=
1a ≤ ( )g x 2 a− 1 2 2a< ≤ ( )g x a
),3[33)( 2 +∞−∈−=′ aaxxf
R∈m 0=++ myx )(xfy = ),3[1 +∞−∉− a
a31 −<− a 3
1>−== afxg
,3
10 时<< a ))((333)( 2 axaxaxxf −+=−=′
x ),( a−−∞ a− ),( aa− a ),( +∞a
)(xf ′
)(xf ↑ aa2
↓
aa2−
↑
)(xf ),0( a )1,( a
13 << aa )3,0( ax∈ )()( xfxg −= )1,3( ax∈ )()( xfxg =
)}(),1(max{)( max affxg −=
4
10,31)1()( ≤<−=≤− aafaf 即
4
131)1()( max
≥−== afxg
3
1
4
1,31)1()( <<−=>− aafaf 即
4
12)()( max
>=−= aaafxg
]1,1[−∈x 0x 4
1|)(| 0
≥xf
]1,1[−∈x 0x 4
1|)(| 0
≥xf ∀ ]1,1[−∈x 4
1|)(| 0
a 0≤a
,3
10 时<< a ))((333)( 2 axaxaxxf −+=−=′
x ),( a−−∞ a− ),( aa− a ),( +∞a
)(xf ′
)(xf ↑ aa2
↓
aa2−
↑
)(xf ),0( a )1,( a
∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ ，
， 矛盾；
， 矛盾；
综上， ， 与 矛盾，
假设不成立，原命题成立． …………（12 分）
3. 解：由已知，得函数 f(x)的定义域为 . …………………1 分
（Ⅰ）当 k 为偶数时， ，则 ,又 ，
，即 ，得 x ，所以此时函数 的单调递增区间为 .
当 k 为奇数时， ，则 在定义域内恒成
立，所以此时函数 的单调增区间为 . …………… 4 分
（Ⅱ）∵函数 在 上是增函数
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 ，∴ . ① ………………………6 分
由（Ⅰ）可知当 k 为偶数时，
得 0
≤<
4
1
4
10
a
a
<=−
−=≥−
4
12)(
31)1()(
aaaf
afaf
<
≥
4
1
4
1
a
a
∀ ]1,1[−∈x 4
1|)(| 0
0)( ≥′ xf 2 1 0x − ≥ 1≥ )(xf [ )+∞,1
xxxf ln2)( 2 += ( )
01222)(
2
≥+=+=′
x
x
xxxf
)(xf ( )+∞,0
( )
2
12 xbxxg −= ( ]1,0
022)( 3
≥+=′
xbxg ( ]1,0 3
1b x
≥ − ( ]1,0
11
max
3
−=
−≥
xb 1−≥b
0)( ≤′ xf 1≤ )(xf ( ]1,0
1)1()( min == fxf
又∵对于 内的任意实数 x1，x2，当 k 为偶数时，恒有 成立,
∴ ,即 ,所以 , ②
由①②得 . …………………………………………8 分
4. (I) 由已知由函数 的定义域为 ， ，
，
由 得 ，
由 得 ，
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ． …4 分
（II）由题意，得 ， a＝0 ． ……5 分
由(Ⅰ)知 f(x)＝x－lnx，
∴f(x)＋2x＝x2＋b ，即 x－lnx＋2x＝x2＋b ， x2－3x＋lnx＋b＝0，
设 ＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)，
则 ＝2x－3＋1
x＝2x2－3x＋1
x ＝(2x－1)(x－1)
x ,
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
x
1
2 (1
2，1) 1 (1，2) 2
0 － 0 ＋
b－5
4－ln2 ↘ b－
2 ↗ b－2＋ln2
……………………．．……6 分
∵方程 f(x)＋2x＝x2＋b 在[1
2，2]上恰有两个不相等的实数根,
{g(f(1,2)) ≥ 0
g(1)＜0
g(2) ≥ 0
, {b－5
4－ln2 ≥ 0
b－2＜0
b－2＋ln2 ≥ 0
,
( ]1,0 )()( 21 xgxf ≥
( ) )1(1 max gxg =≥ 121 −≥ b 1≤b
11 ≤≤− b
( )f x x a> − ( )
ax
ax
axxf +
−+=+−=′ 111
1+−<− aa
∴ ,0)( >′ xf 1+−> ax
,0)( <′ xf 1+−<<− axa
)(xf ( )1, +−− aa ( )+∞+− ,1a
( ) 01 =′f ∴
∴
∴
( )xg
( )xg′
1 ,22x ∈
( )xg′ ( )xg
( )xg′
( )xg
∴ ∴
5
4＋ln2≤b<2，即 ． ……8 分
(III)由(I) 和(II)可知当 时, ,即 ,
当 时, ． ……… 10 分
令 （ ）,则 ．
所以当 时,
,
即 ,
． ……12 分
5. 解：（Ⅰ）
，令 ，得 或 ，……2 分
当 时， 恒成立，此时 单调递减；
当 时， ，若 ，则 ，若 ，
则 ， 是函数 的极小值点； ……2 分
当 时， ，若 ，则 ，若 ，则 ，
此时 是函数 的极大值点，综上所述，使函数 在 时取得极小值
的 的取值范围是 ……2 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，且当 时， ，因此 是 的极
大值点， ，于是 ……2 分
，令 ，
∴ 5 ln 2,24b ∈
10, ,2a x = ∈ +∞ )1()( fxf ≥ 1ln −≤ xx
∴ 1>x 1ln −< xx
2
11x n
= + 2,n n≥ ∈ *N 22
111ln nn
<
+
2,n n≥ ∈ *N
222222
1......3
1
2
111ln.......3
11ln2
11ln nn
+++<
+++
++
+
( ) 1111
1......32
1
21
1 <−=−×++×+×<
nnn
111.......3
112
11ln 222
<
+
+
+
n
∴ en
<
+
+
+ 222
11......3
112
11
2 2( ) (2 )e e ( ) e [ (2 ) ]x x xf x x a x ax a x a x− − −′ = + − + + = − + −
e ( ) [ (2 )]x x x a−= ⋅ − ⋅ − − ( ) 0f x′ = 0x = 2x a= −
2a = 2( ) e 0xf x x −′ = − ≤ ( )f x
2a < 2 0a− > 0x < ( ) 0f x′ < 0 2x a< < −
( ) 0f x′ > 0x = ( )f x
2a > 2 0a− < 0x > ( ) 0f x′ < 2 0a x− < < ( ) 0f x′ >
0x = ( )f x ( )f x 0x =
a 2a <
2a < 2x a> − ( ) 0f x′ < 2x a= − ( )f x
2
max ( ) (2 ) (4 )eaf x f a a −= − = − 2( ) (4 )e ( 2)xg x x x−= − <
2 2 2( ) e e (4 ) (3 )ex x xg x x x− − −′ = − + − = − 2( ) (3 )e ( 2)xh x x x−= − <
则 恒成立，即 在 是增函数，所以当 时，
，即恒有 ，……2 分
又直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，所以由导数的几
何意义知曲线 只可能与直线 相切 ……2 分
6. （Ⅰ） 设 交于点 ，则有
，即 （1）
又由题意知 ，即 （2） ……2 分
由（2）解得
将 代入（1）整理得 …………………………4 分
令 ，则
时， 递增， 时 递减，所以
即 ， 的最大值为 ……………………………………6
分
（ Ⅱ ） 不 妨 设 ， 变 形 得
令 ， ， ，高.考.资.源+网
2( ) (2 )e 0xh x x −′ = − > ( )h x ( ,2)−∞ 2x <
2 2( ) (2) (3 2)e 1h x h −< = − = ( ) 1g x′ <
2 3 0x y m− + = 2
3 3 2 0x y n− + = 3
2
( )g x 2 3 0x y m− + =
( ) ( )f x g x与 0 0( , )P x y
0 0( ) ( )f x g x= 2 2
0 0 04 1 6 ln 2 1x ax a x b+ + = + +
)()( 00 xgxf ′=′
2
0
0
62 4 ax a x
+ =
0 0 3 ( )x a x a= = −或 舍去
0x a= 2 25 3 ln2b a a a= −
2 25( ) 3 ln2h a a a a= − )ln31(2)( aaah −=′
3(0, )a e∈ ( )h a 3( , )a e∈ +∞ ( )h a ( )h a
2
3 33( ) 2h e e≤ =
b ≤
2
33
2 e b
2
33
2 e
( ) 2121 ,,0, xxxx <+∞∈ ( ) ( )
8
12
12 >−
−
xx
xhxh
( ) ( ) 1122 88 xxhxxh −>−
( ) xxhxT 8)( −= 8462)(
2
−++=′ ax
axxT 13 −≥a
∴
26( ) 2 4 8 4 3 4 8 4( 3 1)( 3 1) 8 0aT x x a a ax
′ = + + − ≥ + − ≥ + − − =
在 内单调增， ，同理可证 命题成立
……………………12 分
7. 解：（1）设 ，
易知 ，由已知 恒成立，
所以函数 在 处取得最大值。
又 在 处取得极大值，符合题意，
即关系式为 （3 分）
（2）
恒成立，
令 ，有 ， （5 分）
，
即 对 恒成立，
须
函数 （7 分）
8.
)(xT ( )+∞,0 )()( 12 xTxT > 21 xx >
)1(ln)( −−= xbxaxf
0)1( =f 0)( ≤xf
)(xf 1=x
x
bxabx
axf
−=−=′ )(
baf =∴=′∴ ,0)1(
)(,0 xfa ∴> 1=x
.ba =
1,1 =∴= ba
1ln −≤+≤∴ xnxmx
1=x 00 ≤+≤ nm 0=+∴ nm
1−≤+∴ xmxm
0)1)(1( ≥−+− mxx 0>∀x
∴ 2,11 =−=− mm 即
∴ )1(2)( −= xxf
9．解：（1）
①当 恒成立
上是增函数， F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……
3 分
②当 时， ，
若 ，则 上单调递减；
若 ，则 上单调递增，
时， 有极小值，也是最小值，
即 …………6 分
所以当 时， 的单调递减区间为
单调递增区间为 ，最小值为 ，无最大值…………7 分
（2）方法一，若 与 的图象有且只有一个公共点，
则方程 有且只有一解，所以函数 有且只有一个零点…………8
分
由（1）的结论可知 …………10 分
此时，
的图象的唯一公共点坐标为
又 的图象在点 处有共同的切线，
32 2 2( )( ) ( ) ( ) ( 0)x a x eaF x f x g x xe x ex
−′ ′ ′= − = − = >
0 , ( ) 0a F x′≤ >时
( ) (0, )F x +∞在 ( )F x
0a > 2( ( )( ) ( 0)x ea x eaF x xex
− −= >
0 x ea< < ( ) 0, ( ) (0, )F x F x ea′ < 在
x ea> ( ) 0, ( ) ( , )F x F x ea′ > +∞在
x ea∴ =当 ( )F x
min( ) ( ) 2 ln lnF x F ea a a ea a a= = − = −
0a > ( )F x (0, )ea
( , )ea +∞ lna a−
( )f x ( )g x
( ) ( ) 0f x g x− = ( )F x
min( ) ln 0 1F x a a a= − = =得
2
( ) ( ) ( ) 2ln 0xF x f x g x xe
= − = − ≥ min( ) ( ) 0F x F e= =
( ) ( ) 1, ( ) ( )f e g e f x g x∴ = = ∴ 与 ( ,1)e
2( ) ( )f e g e
e
′ ′= = ( ) ( )f x g x∴ 与 ( ,1)e
其方程为 ，即 …………13 分
综上所述，存在 ，使 的图象有且只有一个公共点 ，且在该
点处的公切线方程为 …………14 分
方法二：设 图象的公共点坐标为 ，
根据题意得 即
由②得 ，代入①得
从而 …………10 分
此 时 由 （ 1 ） 可 知 时 ，
因此除 外，再没有其它 ，使 …………13 分
故存在 ，使 的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的
切线，易求得公共点坐标为 ，公切线方程为 …………14 分
10. 【解析】（1） 时， ，
函数 在区间 仅有极大值点 ，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在 最大值是 ，
21 ( )y x e
e
− = − 2 1y x
e
= −
a 1= ( ) ( )f x g x与 ( ,1)e
2 1.y x
e
= −
( )f x 与g( x) 0 0( , )x y
2
0
0
0
0
2 ln
2 2
x a xe
x a
e x
=
=
2
0xa e
= 0 2
1ln ,2x x e= ∴ = 1a =
min( ) ( ) 0F x F e= = 0x x e∴ > ≠当 且
( ) 0, ( ) ( )F x f x g x> >即
0x e= 0x 0 0( ) ( )f x g x=
1a = ( ) ( )f x g x与
( ,1)e 2 1y x
e
= −
=
=
)()(
)()(
0
'
0
'
00
xfxf
xgxf
3a =
21 2 3 1 (2 1)( 1)'( ) 2 3 x x x xf x x x x x
− + − −= − + − = − = −
( )f x 1 ,22
1x =
1 ,22
(1) 2f =
又 ，故 ，
故函数在 上的最小值为 。（4 分）
（2） ，令 ，则 ，
则函数在 递减，在 递增，由 ， ，
，故函数 在 的值域为 。
若 在 恒成立，即 在 恒成立，
只要 ，若要 在在 恒成立，即 在 恒成立，
只要 。即 的取值范围是 。（8 分）
（3）若 既有极大值又有极小值，则首先必须 有两个不同正根 ，
即 有两个不同正根。
故 应满足 ，∴当 时，
有两个不等的正根，不妨设 ，
由 知 ： 时 ，
时 ， 时 ，
1 5 3(2) (2 ln 2) ( ln 2) 2ln 2 02 4 4f f − = − − + = − <
1(2) ( )2f f<
1 ,22
(2) 2 ln 2f = −
1'( ) 2f x x a x
= − + − 1( ) 2g x x x
= + 2
1'( ) 2g x x
= −
1 2,2 2
2 ,22
1 32g =
9(2) 2g =
2( ) 2 22g = ( )g x 1 ,22
92 2, 2
'( ) 0f x ≤ 1 ,22
12a x x
≤ + 1 ,22
2 2a ≤ '( ) 0f x ≥ 1 ,22
12a x x
≥ + 1 ,22
9
2a ≥ a ( 9,2 2 ,2
−∞ +∞
)(xf ( ) 0f x′ = 21, xx
012 2 =+− axx
a
20 8 0 2 2
0 02
a aa a
∆ > − > ⇒ ⇒ > > >
2 2a >
( ) 0f x′ = 21 xx <
( )f x′ = ( )21 2 1x axx
− − + = 2
x
− ))(( 21 xxxx −− 10 xx << ( ) 0f x′ <
21 xxx << ( ) 0f x′ > 2xx > ( ) 0f x′ <
∴当 时 既有极大值 又有极小值 ．
反之，当 时， 有两个不相等的正根，故函数 既有极大
值又有极小值的充要条件 。 （12 分）
11. 解：（Ⅰ）由
为减函数
则令 ------------------------------（2 分）
所求距离的最小值即为 到直线 的距离
-------------------------（5 分）
（Ⅱ）假设存在实数 a 满足条件，令
则 ---------------------------------（7 分）
由
为减函数
当 为增函数
--------------------------------（10 分）
的取值范围为 --------------------------------（12 分）
12. 解：（Ⅰ） (x>1)，若 a≤1，x>1，则 f′(x)>0，
∵f(x)在[1，＋∞）上连续，
x
x
xxfxxxxf
−=+−=>+−= 111)(',0ln)( 知
)(,0)(',),1(;)(,0)(',)1,0( xfxfxxfxfx <+∞∈>∈∴ 时为增时
1)1(max)( −==∴ fxf
2
1,1)(' == xxf 得
∴ ))2
1(,2
1( fP 03 =+− yx
)2ln4(2
2
2
|3)2ln2
1(2
1|
+=
+−−−
=d
)0)(()()( >−= xxgxfxF
0max)( ≤xF
axxaxaxF 1,021)(' 2 ==−+= 得
)(,0)(',1 xFxFax ∴<> 时当
)(,0)(',10 xFxFax ∴><< 时
aaFxF 1ln)1(max)( ==∴
1,01ln ≥≤∴ aa
a∴ [ )+∞,1
2 2a > )(xf )( 2xf )( 1xf
2 2a > 012 2 =+− axx ( )f x
2 2a >
∴f(x)在[1，＋∞）上是单调递增函数，
∴当 a≤1，x≥1 时，f(x)min=f(1)=1，
∴函数有最小值 1，无最大值． ---------（4 分）
（Ⅱ）记 g(x)=f(x)－2ax=x2－2alnx－2ax，
．
①充分性：若 ，则 g(x)=x2－lnx－x，
g′(x)= (2x2－x－1)= (2x＋1)(x－1)．
当 x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)在（0，1）上是单调递减函数；
当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在（1，＋∞）上是单调递增函数．
∴当 x=1 时，g(x)min=g(1)=0，即 g(x)≥0，当且仅当 x=1 时取等号，
∴方程 f(x)=2ax 有唯一解．
②必要性：若方程 f(x)=2ax 有唯一解，即 g(x)=0 有唯一解．
令 g′(x)=0，得 x2－ax－a=0．
∵a>0，x>0，∴x1= (舍去)，x2= ．
当 x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是单调递减函数；
当 x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是单调递增函数．
∴当 x=x2 时，g′(x2)=0，g(x)min=g(x2)．
∵g(x)=0 有唯一解，∴g(x2)=0，
∴2alnx2＋ax2－a=0，∵a>0，∴2lnx2＋x2－1=0，（*）
设函数 h(x)=2lnx＋x－1，∵在 x>0 时 h(x)是增函数，
∴h(x)=0 至多有一解．
∵h(1)=0，∴方程(*)的解为 x2=1，即 ，解得 ．
由①、②知，“方程 f(x)=2ax 有唯一解”的充要条件是“ ”． --（12 分）
13. (I)由已知,得 ,
∴ ． ………………………………．4 分
∵ 时, ,
设 ,则 , ∴ ,
∴ 时, ,
所以 ,∵ ， ，
2 ( 2) ( )f x f x+ =
)4(4)2(2)( +=+= xfxfxf
( )2,0∈x axxxf += ln)(
( )2,4 −−∈x ( )2,04∈+x )4()4ln()4( +++=+ xaxxf
( )2,4 −−∈x )4(4)4ln(4)4(4)( +++=+= xaxxfxf
044
4)( >++=′ axxf ( )2,4 −−∈x 4 4 16ax a∴− < +
∵ ，∴ ．又由 ,可得 ,
∴ 在 上是增函数,在 上是减函数,
∴ ．
∴ =-1 ． ……………………．．7 分
（II）设 的值域为 A， 的值域为 B，则由已知，对于任意的
，使 得， ． ……………．9 分
由（I） =-1，当 时, , ,
∵ ,∴ ， 在 上单调递减函数,
∴ 的值域为 A= ． ……………………．．10 分
∵ ,
∴（1）当 时， 在 上是减函数，
此时， 的值域为 ，
为满足 ，又 ∴ 即 ． …………．11 分
（2）当 时， 在 上是单调递增函数，
此时， 的值域为 ，为满足 ，又,
∴ ,∴ ,
综上可知 b 的取值范围是 ． …………．12 分
14. 解：（I）当 a=1 时， ，其定义域为（0，+∞），
2
1−≥− b .22ln3
2 −≤b 32ln2
3 −≤b
0>b )(xg )21( ，
)(xg )3
2
3
2( bbB ，−= BA ⊆
22ln3
2 −≤− b 2ln2
33)22(ln2
3 −=−−≥b
3 3, ln 2 3 3 ln 2,2 2
−∞ − − +∞
xxxxf ln)( 2 ++−=
，令 ，
解得 或 ，又∵x>0，故 x=1，当 01 时， ，∴函数 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）
上单调递减，当 x=1 时，
函数 取得最大值，即 ，所以函数 只有一个零点；（5
分）
（II）因为 ，其定义域为（0，+∞），
所以 ，
（1）当 a=0 时， ，
所以 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意。（7 分）
（2）当 a>0 时， 等价于 ，
即 x> ，此时， 的单调减区间为（ ，+∞），依题意，
得 ，解之得 。（9 分）
（3）当 a<0 时， 等价于 ，
即 0
/ ( ) 0f x < ( )f x
( )f x max( ) (1) 0f x f= = ( )f x
xaxxaxf ln)( 22 ++−=
/ 2 1( ) 2f x a x a x
= − + +
2 22 1 (2 1)( 1)a x ax ax ax
x x
− + + − + −= =
/ 1( ) 0f x x
= >
( )f x
/ ( ) 0f x < ( 0)x > (2 1)( 1) 0ax ax+ − > ( 0)x >
1
a ( )f x 1
a
1 1
0
a
a
≤
>
1a ≥
/ ( ) 0f x < ( 0)x > (2 1)( 1) 0ax ax+ − > ( 0)x >
1
2a
− ( )f x 1
2a
−
[1, )+∞
21( ) ln ( 0)f x x x xa
= + >
则 ………1 分
①当 时， 对 恒成立， 在 上递增
② 当 时 ， 令 ， 则
， ………2 分
时 ， ， 为 增 函 数 ； 时 ， ，
为减函数
综上， 时， 增区间为 ；
时 ， 增 区 间 为 ， 减 区 间 为
. ………4 分
（2）由（1）知 时， 在 递增，
且 时 ， 则 不 恒 成 立 ， 故
………5 分
又 的极大值即 最大值
恒成立，只须
∴ ， 即
∴ ………6 分
16. 解：（1）
依题意 在 时恒成立，即 在 恒成立.
则 在 恒成立，
即
当 时， 取最小值
∴ 的取值范围是 ……
2 2 1( ) ( 0).ax xf x xx
+ −′ = − >
( ) 0f x′ ≥ 0x > 2 2 1 0ax x+ − ≤ 0x >
2
2
1 2 1( 1) 1xa x x
−≤ = − − 0x >
min
2 )1)11(( −−≤
xa )0( >x
1=x 21( 1) 1x
− − 1−
a ( , 1]−∞ − 4′
22 1 2( ) x af x xa x ax
+′ = + =
0a > ( ) 0f x′ > (0, )x∈ +∞ ( )f x (0, )+∞
0a < ( ) 0f x′ =
2
2
ax
−=
2(0, )2
ax
−∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 2( , )2
ax
−∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x
0a > ( )f x (0, )+∞
0a < ( )f x 2(0, )2
a−
2( , )2
a− +∞
0a > ( )f x (0, )+∞
1x = 1(1) 0,f a
= > 1 1(1) , ( )2 2f f x> − ∴ < −
0a <
( )f x ( )f x 22 1 2 2( ) ( ) ln2 2 2
a a af a
− − −= +
1( ) 2f x < − [ ]max
1( ) 2f x < −
2ln 02
a− < 20 12
a−< <
2 0a− < <
（2）
设 则 列表：
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴ 极小值 ， 极大值 ，
又 ……
方程 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
则 ， 得 …………
（3）设 ，则
在 为减函数，且 故当 时有 .
假设 则 ，故
从而
即 ，∴ …………
21 1 1 3, ( ) ln 0.2 2 4 2a f x x b x x x b= − = − + ⇔ − + − =
21 3( ) ln ( 0).4 2g x x x x b x= − + − > ( 2)( 1)( ) .2
x xg x x
− −′ =
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4)
( )g x′ + 0 − 0 +
( )g x
( )g x (2) ln 2 2g b= = − − ( )g x 5(1) 4g b= = − −
(4) 2ln 2 2g b= − − 6′
( ) 0g x =
(1) 0
(2) 0
(4) 0
g
g
g
≥
<
≥
5ln 2 2 4b− < ≤ − 8′
[ )( ) ln 1, 1,h x x x x= − + ∈ +∞ 1( ) 1 0h x x
′ = − ≤
( )h x∴ [ )1,+∞ max( ) (1) 0,h x h= = 1x ≥ ln 1x x≤ −
1 1.a =
*1( ),ka k N≥ ∈ 1 ln 2 1k k ka a a+ = + + > *1( ).na n N≥ ∈
1 ln 2 2 1.n n n na a a a+ = + + ≤ + 1 11 2(1 ) 2 (1 ).n
n na a a+∴ + ≤ + ≤ ≤ +
1 2n
na+ ≤ 2 1n
na ≤ − 12′
