高考数学总复习计数原理概率排列与组合学案

高考数学总复习计数原理概率排列与组合学案

第2讲　排列与组合 最新考纲　1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.‎ ‎(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.‎ ‎3.排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝ ‎＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1‎ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)‎ ‎(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)‎ ‎(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)‎ ‎(4)kC＝nC.(　　)‎ 解析　元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C＝C，则x＝m或n－m，故(3)不正确.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)‎ A.12 B‎.24 ‎ C.64 D.81‎ 解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A＝24.‎ 答案　B ‎3.(选修2－3P‎28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)‎ A.18 B‎.24 ‎ C.30 D.36‎ 解析　法一　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种.‎ 法二　从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.‎ 答案　C ‎4.(2017·浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个.‎ 解析　用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有AA＝144个.‎ 答案　720　144‎ ‎5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).‎ 解析　末位数字排法有A，其他位置排法有A种，共有AA＝48种.‎ 答案　48‎ ‎6.(2017·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).‎ 解析　法一　(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种.‎ 甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，‎ ‎∴由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49(种)选法.‎ 法二　(间接法)从9人中选3人有C种方法.‎ 其中甲、乙均不入选有C种方法，‎ ‎∴满足条件的选排方法是C－C＝84－35＝49(种).‎ 答案　49‎ 考点一　排列问题 ‎【例1】 (2017·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.‎ ‎(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？‎ ‎(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？‎ ‎(3)如果女生不站两端，有多少种排法？‎ ‎(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？‎ ‎(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？‎ 解　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320(种)不同排法.‎ ‎(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法.‎ ‎(3)法一　(位置分析法)　因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法.‎ 法二　(元素分析法)　从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法.‎ ‎(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，∴符合要求的排法种数为A＝20 160(种).‎ ‎(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.‎ 法一　(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种；‎ 甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种；‎ 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种；‎ 其余人6个人进行全排列，有A种.共有A·A·A种.‎ 由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960(种).‎ 法二　(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960(种).‎ 法三　(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种.因此共有A－‎2A＋A＝30 960(种).‎ 规律方法　(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，‎ 则不同的加入方法种数为(　　)‎ A.120 B‎.240 ‎ C.360 D.480‎ ‎(2)(2017·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(　　)‎ A.30 B‎.600 ‎ C.720 D.840‎ 解析　(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.‎ ‎(2)若只有甲乙其中一人参加，有CCA＝480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.‎ 答案　(1)C　(2)C 考点二　组合问题 ‎【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种.‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种.‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种.‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090种.‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ 规律方法　组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，‎ 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)‎ A.90 B‎.115 ‎C.210 D.385‎ ‎(2)(2017·湖州市质检)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 解析　(1)分三类，取2个黑球有CC＝90种，取3个黑球有CC＝24种，取4个黑球有C＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.‎ ‎(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种).‎ 答案　(1)B　(2)D 考点三　排列、组合的综合应用 ‎【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.‎ ‎(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？‎ ‎(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？‎ 解　(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种).‎ ‎(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.‎ ‎(3)确定2个空盒有C种方法.‎ ‎4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法.故共有C(CCA＋·A)＝84(种).‎ 规律方法　(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.‎ ‎【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)‎ A.AC B.AC C.AA D‎.2A ‎(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ 解析　(1)法一　将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).‎ 所以不同的安排方法有CA(种).‎ 法二　先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCC＝AC(种).‎ ‎(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.‎ 答案　(1)B　(2)60‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 ‎(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.‎ ‎2.排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.‎ ‎2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.‎ ‎3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.‎ ‎4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏. ‎