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文档介绍
四川06至高考试卷
2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 已知集合 0652 xxxA ， 312 xxB ，则集合 BA （ ） A 32 xx B 32 xx C 32 xx D 31 xx 2. 复数 331 i 的虚部为（ ） A 3 B －3 C 2 D －2 3. 已知 1,2 1,32 )( x xx xf ，下面结论正确的是（ ） A )(xf 在 1x 处连续 B 5)1( f C 2)(lim 1 xf x D 5)(lim 1 xf x 4. 已知二面角 l 的大小为 060 ，m、 n为异面直线且 m ， n ，m、 n所成的角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 0120 5.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ） A 6 sin xy B 6 2sin xy C 3 4cos xy D 6 2cos xy 6. 已知两定点 0,2A 、 0,1B 如果动点 P满足条件 PBPA 2 ，则点 P的轨迹所包围的图形的面积等 于（ ） A B 4 C 8 D 9 7. 如图，已知正六边形 654321 PPPPPP ，下列向量的数量积中最大的是（ ） A 3121 PPPP B 4121 PPPP C 5121 PPPP D 6121 PPPP 8. 某厂生产甲产品每千克需用原料 A和原料 B分别为 1a 、 1b 千克，生产乙产品每千克需用原料 A和原料 B 分别为 2a 、 2b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 1d 、 2d 元。月初一次性购进本月用原料 A、B 各 1c 、 2c 千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中， 设全月生产甲、乙两种产品分别为 x千克、 y千克，月利润总额为 z元，那么用于求使总利润 ydxdz 21 最大的数学模型中，约束条件为（ ） A 0 0 221 121 y x cybxb cyaxa B 0 0 222 111 y x cybxa cybxa C 0 0 221 121 y x cybxb cyaxa D 0 0 221 121 y x cybxb cyaxa 9. 直线 3 xy 与抛物线 xy 42 交于 A、B两点，过 A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、 Q，则梯形 APQB的面积为（ ） A 48 B 56 C 64 D 72 10. 已知球O半径为 1， A、B、C三点都在球面上， A、B两点和 A、C两点的球面距离都是 4 ，B、 C两点的球面距离是 3 ，则二面角 COAB 的大小是（ ） A 4 B 3 C 2 D 3 2 11. 设 a、b、 c分别为 ABC 的三内角 A、 B、C所对的边，则 )(2 cbba 是 BA 2 的（ ） A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 12. 从 0到 9这 10个数字中任取 3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3整除的概率为 （ ） A 54 19 B 54 35 C 54 38 D 60 41 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13. 在三棱锥 ABCO 中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且 OCOBOA ，M 是 AB的中点， 则OM 与平面 ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示） 14. 设离散型随机变量 可能取的值为 1，2，3，4。 bakP )( （ 4,3,2,1k ）又 的数学期望 3)( E ， 则 ba ＝______________ 15. 如图把椭圆 1 1625 22 yx 的长轴 AB分成 8分，过每个分点作 x轴 的垂线交椭圆的上半部分于 721 ,,, PPP 七个点， F 是椭圆的一个焦点， 则 FPFPFP 721 ____________ 16. 非空集合G关于运算满足：⑴对任意的 Gba , 都有 Gba ；⑵存在 Ge ，都有 aabba ，则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算： ①G＝｛非负整数｝，为整数的加法 ②G＝｛偶数｝，为整数的乘法 ③G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法 ④G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法 ⑤G＝｛虚数｝，为复数的乘法 其中G关于运算为“融洽集”的是________（写出所有“融洽集”的序号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）已知 A、B、C是 ABC 三内角，向量 3,1m ， AAn sin,cos ，且 1 nm ⑴求角 A ⑵若 3 sincos 2sin1 22 BB B ，求 Ctan 18．（本小题满分 12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9、0.8、 0.7；在实验考核中合格的概率分别为 0.8、0.7、0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。 ⑴求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； ⑵求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。 19．（本小题满分 12分）如图，长方体 1111 DCBAABCD 中，E、P分别是 BC、 11DA 的中点，M 、N 分别是 AE、 1CD 的中点， aAAAD 1 ， aAB 2 ⑴求证： //MN 平面 11AADD ； ⑵求二面角 DAEP 的大小； ⑶求三棱锥 DEMP 的体积。 20．（本小题满分 12分）已知数列 }{ na ，其中 11 a ， 32 a ， 112 nnn aaa （ 2n ）记数列 }{ na 的 前 n项和为 nS ，数列 }{ln nS 的前 n项和为 nU ⑴求 nU ； ⑵设 n U n x nn exF N 2 )!(2 )( ， n k kn xFxT 1 ' )()( （其中 )(' xFk 为 )(xFk 的导函数），计算 )( )( lim 1 xT xT n n n 21．（本小题满分 12分）已知两定点 0,21 F ， 0,21F ，满足条件 212 PFPF 的点 P的轨迹是 曲线 E，直线 1 kxy 与曲线 E交于 A、 B两点。如果 36AB ，且曲线 E上存在点C，使 OCmOBOA ，求m的值和 ABC 的面积 S。 22．（本小题满分 14分）已知函数 xa x xxf ln2)( 2 （ 0x ）， )(xf 的导函数是 )(xf ，对任意两个 不相等的正数 1x 、 2x ，证明： ⑴当 0a 时， 22 )()( 2121 xxfxfxf ； ⑵当 4a 时， 2121 )()( xxxfxf 。 2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 已知集合 0652 xxxA ， 312 xxB ，则集合 BA （ ） A 32 xx B 32 xx C 32 xx D 31 xx 2. 函数 )1ln()( xxf （ 1x ）的反函数是（ ） A 1)(1 xexf （ Rx ） B 110)(1 xxf （ Rx ） C 110)(1 xxf （ 1x ） D 1)(1 xexf （ 1x ） 3. 曲线 34 xxy 在点 3,1 处的切线方程是（ ） A 47 xy B 27 xy C 4 xy D 2 xy 4. 如图，已知正六边形 654321 PPPPPP ，下列向量的数量积中最大的是（ ） A 3121 PPPP B 4121 PPPP C 5121 PPPP D 6121 PPPP 5. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采 用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A 30人，30人，30人 B30人，45人，15人 C 20人，30人，10人 D 30人，50人，10人 6. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ） A 6 sin xy B 6 2sin xy C 3 4cos xy D 6 2cos xy 7. 已知二面角 l 的大小为 060 ，m、 n为异面直线且 m ， n ，m、 n所成的角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 0120 8. 已知两定点 0,2A 、 0,1B 如果动点 P满足条件 PBPA 2 ，则点 P的轨迹所包围的图形的面积等 于（ ） A B 4 C 8 D 9 9. 如图，正四棱锥 ABCDP 底面的四个顶点 A，B，C，D在球O的同一 个大圆上，点 P在球面上，如果 3 16 ABCDPV ，则球O的表面积是（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 10. 直线 3 xy 与抛物线 xy 42 交于 A、B两点，过 A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB的面积为（ ） A 36 B 48 C 56 D 64 11. 设 a、b、 c分别为 ABC 的三内角 A、 B、C所对的边，则 )(2 cbba 是 BA 2 的（ ） A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 12. 从 0到 9这 10个数字中任取 3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3整除的概率为 （ ） A 60 41 B 54 38 C 54 35 D 54 19 二．填空题：(本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分；把答案填在题中的横线上) 13. 1021 x 展开式中的 3x 系数为 （用数字作答） 14. 设 x， y满足约束条件： 102 2 1 1 yx xy x ，则 yxz 2 的最小值为 15. 如图把椭圆 1 1625 22 yx 的长轴 AB分成 8分，过每个分点作 x轴 的垂线交椭圆的上半部分于 721 ,,, PPP 七个点， F 是椭圆的一个焦点， 则 FPFPFP 721 ____________ 16. m， n是空间两条不同直线， ， 是两个不同平面，下面有四个命题： ① m ， //n ， nm // ② nm ， // ， //nm ③ nm ， // ， nm // ④ m ， nm // ， n// 其中真命题的编号是 ;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：(本大题共 6小题，共 74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本大题满分 12分）数列 na 的前 n项和记为 nS ， 11 a ， 121 nn Sa （ 1n ） ⑴求 na 的通项公式； ⑵等差数列 nb 的各项为正，其前 n项和为 nT ，且 153 T ，又 11 ba ， 22 ba ， 33 ba 成等比数列， 求 nT 18.（本大题满分 12分）已知 A、B、C是 ABC 三内角，向量 3,1m ， AAn sin,cos ，且 1 nm ⑴求角 A ⑵若 3 sincos 2sin1 22 BB B ，求 Btan 19.（本大题满分 12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9、0.8、 0.7；在实验考核中合格的概率分别为 0.8、0.7、0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。 ⑴求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； ⑵求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。 20.（本大题满分 12分）如图，长方体 1111 DCBAABCD 中，E、P分别是BC、 11DA 的中点，M 、N 分别是 AE、 1CD 的中点， aAAAD 1 ， aAB 2 ⑴求证： //MN 平面 11AADD ； ⑵求二面角 DAEP 的大小； 21.（本大题满分 12分）已知函数 13)( 3 axxxf ， 5)()( axxfxg ，其中 )(xf 是的导函数 ⑴对满足 11 a 的一切 a的值，都有 0)( xg ，求实数 x的取值范围； ⑵设 2ma ，当实数m在什么范围内变化时，函数 )(xfy 的图象与直线 3y 只有一个公共点 22.（本大题满分 14分）已知两定点 0,21 F ， 0,21F ，满足条件 212 PFPF 的点 P的轨迹是曲 线 E，直线 1 kxy 与曲线 E交于 A、 B两点。 ⑴求 k的取值范围； ⑵如果 36AB ，且曲线 E上存在点C，使 OCmOBOA ，求m的值和 ABC 的面积 S 2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 复数 2 1 1 i i i 的值是（ ） A 0 B 1 C -1 D 1 2. 函数 xxf 2log1)( 与 12)( xxg 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） A B C D 3. 12 1lim 2 2 1 xx x x （ ） A 0 B 1 C 2 1 D 3 2 4. 如图， 1111 DCBAABCD 正方体，下面结论错误．．的是（ ） A BD∥平面 11DCB B BDAC 1 C 1AC ⊥平面 11DCB D 异面直线 AD与 1CB 角为 060 5. 如果双曲线 1 24 22 yx 上一点 P到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P到 y轴的距离是（ ） A 3 64 B 3 62 C 62 D 32 6. 设球O的半径是 1， A、 B、C是球面上三点，已知 A到 B、C两点的球面距离都是 2 ，且三面角 COAB 的大小为 3 ，则从 A点沿球面经 B、C两点再回到 A点的最短距离是（ ） A 6 7 B 4 5 C 3 4 D 2 3 7. 设 1,aA ， bB ,2 ， 5,4C ，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC 方向上的投影相 同，则a与b满足的关系式为（ ） A 354 ba B 345 ba C 1454 ba D 1445 ba 8. 已知抛物线 32 xy 上存在关于直线 0 yx 对称的相异两点 A、B，则 AB 等于（ ） A 3 B 4 C 23 D 23 9. 某公司有 60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 3 2 倍， 且对每个项目的投资不能低于 5万元，对项目甲每投资 1万元可获得 0.4万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ） A 36万元 B 31.2万元 C 30.4万元 D 24万元 10. 用数字 0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比 20000大的五位偶数共有（ ） A 288个 B 240个 C 144个 D 126个 11. 如图， 1l 、 2l 、 3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与 2l 间的距离是 1， 2l 与 3l 间的距离是 2，正三角形 ABC的三顶点分别在 1l 、 2l 、 3l 上， 则 ABC 的边长是（ ） A 32 B 3 64 C 4 173 D 3 212 12. 已知一组抛物线 1 2 1 2 bxaxy ，其中 a为 2，4，6，8中任取的一个数，b为 1，3，5，7中任取 的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 1x 交点处的切线相互平行的概率是（ ） A 12 1 B 60 7 C 25 6 D 25 5 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。把答案填在题中横线上） 13．若函数 2)()( xexf ( e是自然对数的底数)的最大值是m，且 )(xf 是偶函数，则 m C 1C 1A 1B 14．如图，在正三棱柱 111 CBAABC 中，侧棱长为 2，底面三角形 的边长为 1，则 1BC 与侧面 11AACC 所成的角是 15．已知⊙O的方程是 0222 yx ，⊙O的方程是 010822 xyx ， 由动点 P向⊙O和⊙O 所引的切线长相等，则动点 P的轨迹方程是 16．下面有五个命题： ①函数 xxy 44 cossin 的最小正周期是 ②终边在 y轴上的角的集合是 Zkk , 2 ③在同一坐标系中，函数 xy sin 的图象和函数 xy 的图象有三个公共点 ④把函数 3 2sin3 xy 的图象向右平移 6 得到 xy 2sin3 的图象 ⑤函数 2 sin xy 在 ,0 上是减函数 其中真命题的序号是 （写出所有序号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）已知 7 1cos ， 14 13)cos( ，且 2 0 ， ⑴求 2tan 的值 ⑵求 18．（本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同 规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品 ⑴若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4件进行检验.求至少有 1件是合格品的概 率； ⑵若厂家发给商家 20件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2件，都进行检验，只 有 2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望 E ， 并求该商家拒收这批产品的概率. 19．（本小题满分 12分）如图，PCBM 是直角梯形， 090PCB ， BCPM // ， 1PM ， 2BC ， 又 1AC ， 0120ACB ， PCAB ，直线 AM 与直线 PC所成的角为 060 ⑴求证：平面PAC⊥平面 ABC ⑵求二面角 BACM 的大小 ⑶求三棱锥 MACP 的体积 20.（本小题满分 12分）设 1F 、 2F 分别是椭圆 1 4 2 2 yx 的左、右焦点 ⑴若P是该椭圆上的一个动点，求 21 PFPF 的最大值和最小值; ⑵设过定点 )2,0(M 的直线 l与椭圆交于不同的两点 A、 B，且 AOB 为锐角（其中O为坐标原点）， 求直线 l的斜率 k的取值范围 21．（本小题满分 12分）已知函数 4)( 2 xxf ，设曲线 )(xfy 在点 )(, nn xfx 处的切线与 x轴的交 点为 0,1nx （ *Nn ），其中 1x 为正实数 ⑴用 nx 表示 1nx ⑵证明：对一切正整数n， nn xx 1 的充要条件是 21 x ⑶若 41 x ，记 2 2 lg n n n x x a ，证明数列 na 成等比数列，并求数列 nx 的通项公式 22．（本小题满分 14分）设函数 n n xf 11)( ，（ Nn ，且 1n ， Nx ） ⑴当 6x 时，求 n n 11 的展开式中二项式系数最大的项 ⑵对任意的实数 x，证明 )( 2 )2()2( xffxf （ )(xf 是 )(xf 的导函数） ⑶是否存在 Na ，使得 na k an n k )1(11 1 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 a的值； 若不存在，请说明理由 2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．设集合 8,6,5,4M ，集合 8,7,5,3N ，那么 NM （ ） A 8,7,6,5,4,3 B 8,5 C 8,7,5,3 D 8,6,5,4 2. 函数 xxf 2log1)( 与 12)( xxg 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） A B C D 3．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149， 148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ） A 150.2克 B 149.8克 C 149.4克 D 147.8克 4. 如图， 1111 DCBAABCD 正方体，下面结论错误．．的是（ ） A BD∥平面 11DCB B BDAC 1 C 1AC ⊥平面 11DCB D 异面直线 AD与CB角为 060 5. 如果双曲线 1 24 22 yx 上一点 P到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P到 y轴的距离是（ ） A 3 64 B 3 62 C 62 D 32 6. 设球O的半径是 1， A、 B、C是球面上三点，已知 A到 B、C两点的球面距离都是 2 ，且三面角 COAB 的大小为 3 ，则从 A点沿球面经 B、C两点再回到 A点的最短距离是（ ） A 6 7 B 4 5 C 3 4 D 2 3 7．等差数列 na 中， 11 a ， 1453 aa ，其前 n项和 100nS ，则 n （ ） A 9 B 10 C 11 D 12 8．设 1,aA ， bB ,2 ， 5,4C ，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC 方向上的投影 相同，则 a与b满足的关系式为（ ） A 354 ba B 345 ba C 1454 ba D 1445 ba 9．用数字 1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比 20000大的五位偶数共有（ ） A 48个 B 36个 C 24个 D 18个 10．已知抛物线 32 xy 上存在关于直线 0 yx 对称的相异两点 A、 B，则 AB 等于（ ） A 3 B 4 C 23 D 24 11．某公司有 60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 3 2 倍， 且对每个项目的投资不能低于 5万元，对项目甲每投资 1万元可获得 0.4万元的利润，对项目乙每投资 1万元可获得 0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ） A 36万元 B 31.2万元 C 30.4万元 D 24万元 12．如图， 1l 、 2l 、 3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与 2l 间的距离是 1， 2l 与 3l 间的距离是 2，正三角形 ABC的三顶点分别在 1l 、 2l 、 3l 上， 则 ABC 的边长是（ ） A 32 B 3 64 C 4 173 D 3 212 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。把答案填在题中横线上） 13． n x x 1 的展开式中的第5项为常数项，那么正整数 n的值是______ 14．如图，在正三棱柱 111 CBAABC 中，侧棱长为 2，底面三角形 的边长为 1，则 1BC 与侧面 11AACC 所成的角是 15．已知⊙O的方程是 0222 yx ，⊙O的方程是 010822 xyx ， 由动点 P向⊙O和⊙O 所引的切线长相等，则动点 P的轨迹方程是 16．下面有五个命题： ①函数 xxy 44 cossin 的最小正周期是 ②终边在 y轴上的角的集合是 Zkk , 2 ③在同一坐标系中，函数 xy sin 的图象和函数 xy 的图象有三个公共点 ④把函数 3 2sin3 xy 的图象向右平移 6 得到 xy 2sin3 的图象 ⑤角 为第一象限角的充要条件是 0sin 其中，真命题的编号是_____________________（写出所有真命题的编号）． 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规 定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品. ⑴若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.3，从中任意取出 4种进行检验，求至少要 1件是合格产品 的概率 ⑵若厂家发给商家 20件产品，其中有 3件不合格，按合同规定该商家从中任取 2件，来进行检验，只 有 2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为 1件和 2件的概率， 并求该商家拒收这些产品的概率。 A B C 1C 1A 1B 18．（本小题满分 12分）已知 7 1cos ， 14 13)cos( ，且 2 0 ， ⑴求 2tan 的值 ⑵求 19．（本小题满分 12分）如图，平面 PCBM ⊥平面 ABC， 090PCB ， BCPM // ，直线 AM 与直线 PC所成的角为 060 ，又 1AC ， 22 PMBC ， 090ACB ⑴求证： BMPAC ⑵求二面角 CABM 的大小 ⑶求多面体 PMABC的体积 20．（本小题满分 12分）设函数 cbxaxxf 3)( （ 0a ）为奇函数，其图象在点 )1(,1 f 处的切线与 直线 076 yx 垂直，导函数 )(xf 的最小值为 12 ⑴求a，b， c的值； ⑵求函数 )(xf 的单调递增区间，并求函数 )(xf 在 3,1 上的最大值和最小值 21．（本小题满分 12分）设 1F 、 2F 分别是椭圆 1 4 2 2 yx 的左、右焦点.. ⑴若 r是第一象限内该数轴上的一点， 4 52 2 2 1 PFPF ，求点 P的作标； ⑵设过定点 )2,0(M 的直线 l与椭圆交于不同的两点 A、 B，且 AOB 为锐角（其中O为坐标原点）， 求直线 l的斜率 k的取值范围 22．（本小题满分 14分）已知函数 4)( 2 xxf ，设曲线 )(xfy 在点 )(, nn xfx 处的切线与 x轴的交 点为 0,1nx （ *Nn ），其中 1x 为正实数 ⑴用 nx 表示 1nx ⑵若 41 x ，记 2 2 lg n n n x x a ，证明数列 na 成等比数列，并求数列 nx 的通项公式 ⑶若 41 x ， 2 nn xb ， nT 是数列 nb 的前 n项和，证明 3nT 2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 设集合 5,4,3,2,1U ， 3,2,1A ， 4,3,2B ，则 BACU （ ） A 3,2 B 5,4,1 C 5,4 D 5,1 2．复数 212 ii （ ） A 4 B 4 C 4i D 4i 3． xxx 2coscottan （ ） A xtan B xsin C xcos D xcot 4．将直线 xy 3 绕原点逆时针旋转 090 ，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A 3 1 3 1 xy B 1 3 1 xy C 33 xy D 1 3 1 xy 5．设 20 ，若 cos3sin ，则 的取值范围是（ ） A 2 , 3 B , 3 C 3 4, 3 D 2 3, 3 6．从甲、乙等10名同学中挑选 4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法 共有（ ） A 70种 B 112种 C 140种 D 168种 7．已知等比数列 na 中 12 a ，则其前 3项的和 3S 的取值范围是（ ） A 1, B ,10, C ,3 D ,31, 8．设M 、 N 是球O的半径OP上的两点，且 OMMNNP ，分别过 N 、M 、O作垂直于OP的面 截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ） A 3:5 : 6 B 3: 6 :8 C 5 : 7 : 9 D 5 :8 : 9 9．设直线 l 平面 ，过平面 外一点 A且与 l、 都成 030 角的直线有且只有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 10．设 xxf sin)( ，其中 0 ，则函数 )(xf 是偶函数的充分必要条件是（ ） A 0)0( f B 1)0( f C 1)0( f D 0)0( f 11．定义在 R上的函数 )(xf 满足： 13)2()( xfxf ， 2)1( f ，则 )99(f （ ） A 13 B 2 C 2 13 D 13 2 12．已知抛物线 xyC 8: 2 的焦点为 F ，准线与 x轴的交点为K，点 A在C上且 AFAK 2 ，则 AFK 的面积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13． 43 121 xx 展开式中 2x 的系数为 14．已知直线 04: yxl 与圆 211: 22 yxC ，则C上各点到 l距离的最小值为 15．已知正四棱柱的对角线的长为 6 ，且对角线与底面所成角的余弦值为 3 3 ，则该正四棱柱的体积等于 16．设等差数列 na 的前项和为 nS ，若 104 S ， 155 S ，则 4a 的最大值为 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）求函数 xxxxy 42 cos4cos4cossin47 的最大值与最小值 18．（本小题满分 12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6， 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． ⑴求进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； ⑵求进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； ⑶记 表示进入商场的 3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望． 19．（本小题满分 12分）如图，平面 ABEF 平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD都是直角梯形， 090 FABBAD ， ADBC 2 1// ， AFBE 2 1// ⑴证明：C、D、 F 、E四点共面； ⑵设 BEBCAB ，求二面角 BEDA 的大小 20．（本小题满分 12分）设数列 na 的前项为 nS ，已知 n n n Sbba )1(2 ⑴证明：当 2b 时， 12 n n na 是等比数列 ⑵求 na 的通项公式 21．（本小题满分 12分）设椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，离心率 2 2 e ， 右准线为 l，M 、 N 是 l上的两个动点， 021 NFMF ⑴若 5221 NFMF ，求 a、b的值； ⑵证明：当 MN 取最小值时， NFMF 21 与 21FF 共线 22．（本小题满分 14分）已知 3x 是函数 xxxaxf 10)1ln()( 2 的一个极值点 ⑴求a； ⑵求函数 )(xf 的单调区间； ⑶若直线 by 与函数 )(xfy 的图像有3个交点，求b的取值范围 2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．设集合 5,4,3,2,1U ， 3,2,1A ， 4,3,2B ，则 BACU （ ） A 3,2 B 5,4,1 C 5,4 D 5,1 2．函数 12ln xy （ 2 1 x ）的反函数是（ ） A 1 2 1 xey （ Rx ） B 12 xey （ Rx ） C 1 2 1 xey （ Rx ） D 12 1 x ey （ Rx ） 3．设平面向量 5,3a ， 1,2b ，则 ba 2 （ ） A 3,7 B 7,7 C 7,1 D 3,1 4． xxx 2coscottan （ ） A xtan B xsin C xcos D xcot 5．不等式 22 xx 的解集为（ ） A 2,1 B 1,1 C 1,2 D 2,2 6．将直线 xy 3 绕原点逆时针旋转 090 ，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A 3 1 3 1 xy B 1 3 1 xy C 33 xy D 13 xy 7． ABC 的三个内角 A、B、C的对边边长分别是 a、b、c ，若 ba 2 5 ， BA 2 ，则 Bcos （ ） A 3 5 B 4 5 C 5 5 D 6 5 8．设M 是球O的半径OP的中点，分别过M 、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆 的面积比值为（ ） A 4 1 B 2 1 C 3 2 D 4 3 9．定义在 R上的函数 )(xf 满足： 13)2()( xfxf ， 2)1( f ，则 )99(f （ ） A 13 B 2 C 2 13 D 13 2 10．设直线 l 平面 ，过平面 外一点 A且与 l、 都成 030 角的直线有且只有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 11．已知双曲线 1 169 : 22 yxC 的左右焦点分别为 1F 、 2F ，P为C的右支上一点，且 212 FFPF ，则 21FPF 的面积等于（ ） A 24 B 36 C 48 D 96 12．若三棱柱的一个侧面是边长为 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 060 的菱形，则该棱柱的体 积为（ ） A 2 B 22 C 23 D 24 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13． 43 121 xx 展开式中 x的系数为 14．已知直线 04: yxl 与圆 211: 22 yxC ，则C上各点到 l距离的最小值为 15．从甲、乙等 10名同学中挑选 4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1人参加，则不同的挑选方 法有 种。 16．设数列 na 中， 21 a ， 11 naa nn ，则通项 na 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）求函数 xxxxy 42 cos4cos4cossin47 的最大值与最小值 18．（本小题满分 12分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率为 0.5，购买乙商品的概率为 0.6，且顾客购买甲商品与购买 乙商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的. ⑴求进入该商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率 ⑵求进入该商场的 3位顾客中，至少有 2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率 19．（本小题满分 12分）如图，平面 ABEF 平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD都是直角梯形， 090 FABBAD ， ADBC 2 1// ， AFBE 2 1// ，G、H 分别是 FA、 FD的中点 ⑴证明：四边形 BCHG是平行四边形； ⑵C、D、 E、 F 四点是否共面？为什么？ ⑶设 BEAB ，证明：平面 ADE 平面CDE 20．（本小题满分 12分）设 1x 和 2x 是函数 1)( 35 bxaxxxf 的两个极值点. ⑴求a、b的值； ⑵求 )(xf 的单调区间. G H F E D CB A 21．（本小题满分 12分）已知数列 na 的前 n项和 n nn aS 22 ⑴求 3a 、 4a ⑵证明：数列 nn aa 21 是一个等比数列 ⑶求 na 的通项公式 22．（本小题满分 14分）设椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，离心率 2 2 e ， 点 2F 到右准线 l的距离为 2 ⑴求a、b的值； ⑵设M 、N 是右准线 l上两动点，且满足 021 NFMF ，证明：当 MN 取最小值时， MFFF 212 02 NF 2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川延考卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．集合 1,0,1A ， A的子集中，含有元素 0的子集共有（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8个 2．已知复数 i iiz 2 33 ，则 z （ ） A 5 5 B 5 52 C 5 D 52 3． 4111 x x 的展开式中含 2x 项的系数为（ ） A 4 B 6 C 10 D 12 4．已知 *Nn ，则不等式 01.02 1 2 n n 的解集为（ ） A *,199 Nnnn B *,200 Nnnn C *,201 Nnnn D *,202 Nnnn 5．已知 2 1tan ，则 2cos cossin 2 （ ） A 2 B 2 C 3 D 3 6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱 锥体积的比值为（ ） A 3 38 B 6 3 C 2 3 D 38 7．若点 0,2P 到双曲线 12 2 2 2 b y a x 的一条渐近线的距离为 2 ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 22 D 32 8．在一次读书活动中，一同学从 4本不同的科技书和 2本不同的文艺书中任选 3本，则所选的书中既有科 技书又有文艺书的概率为（ ） A 5 1 B 2 1 C 3 2 D 5 4 9．过点 1,1 的直线与圆 932 22 yx 相交于 A、B两点，则 AB 的最小值为（ ） A 32 B 4 C 52 D 5 10．已知两个单位向量 a与b的夹角为 0135 ，则 1 ba 的充要条件是（ ） A 2,0 B 0,2 C ,20, D ,22, 11．设函数 )(xfy （ Rx ）的图像关于直线 0x 及直线 1x 对称，且 1,0x 时， 2)( xxf ，则 2 3f （ ） A 2 1 B 4 1 C 4 3 D 4 9 12．一个正方体的展开图如图所示， B，C，D为原正方体的顶点， A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，CD与 AB所成 角的余弦值为（ ） A 10 5 B 5 10 C 5 5 D 10 10 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13．函数 11 xey （ Rx ）的反函数为 14．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 55 aS ．若 04 a ，则 4 7 a a __________ 15．已知函数 6 sin)( xxf （ 0 ）在 3 4,0 单调增加，在 2, 3 4 单调减少，则 16．已知 090AOB ，C为空间中一点，且 060 BOCAOC ，则直线OC与平面 AOB所成角的 正弦值为___________ 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）在 ABC 中，内角 A、B、C对边的边长分别是 a、b、c，已知 222 2bca ⑴若 4 B ，且 A为钝角，求内角 A与C的大小 ⑵若 2b ，求 ABC 面积的最大值 18．（本小题满分 12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类： A类、 B类、C类。检验员定时 从该生产线上任取 2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或 2件都是 B类产品，就需要调整 设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为 A类品，B类品和C类品的概率分别为 .90 ， 5.00 和 5.00 ，且各件产品的质量情况互不影响。 ⑴求在一次抽检后，设备不需要调整的概率 ⑵若检验员一天抽检 3次，以 表示一天中需要调整设备的次数，求 的分布列和数学期望 19．（本小题满分 12分）如图，一张平行四边形的硬纸片 DABC0 中， 1 BDAD ， 2AB ，沿它 的对角线 BD把 0BDC 折起，使点 0C 到达平面 DABC0 外点C的位置 ⑴证明：平面 DABC0 平面 0CBC ⑵如果 ABC 为等腰三角形，求二面角 CBDA 的大小 20．（本小题满分 12分）在数列 na 中， 11 a ， nn a n a 2 1 112 ⑴求 na 的通项公式； ⑵令 nnn aab 2 1 1 ，求数列 nb 的前 n项和 nS ⑶求数列 na 的前 n项和 nT 21．（本小题满分 12分）已知椭圆 1C 的中心和抛物线 2C 的顶点都在坐标原点O， 1C 和 2C 有公共焦点 F ， 点 F 在 x轴正半轴上，且 1C 的长轴长、短轴长及点 F 到 1C 右准线的距离成等比数列 ⑴当 2C 的准线与 1C 右准线间的距离为 15时，求 1C 及 2C 的方程； ⑵设过点F 且斜率为 1的直线 l交 1C 于 P，Q两点，交 2C 于M ，N 两点，当 7 36 PQ 时，求 MN 的值 22．（本小题满分 14分）设函数 2 12)( 2 x xxf ⑴求 )(xf 的单调区间和极值； ⑵若当 Rx 时， 3)(3 bxaf ，求 ba 的最大值 2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川延考卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．集合 1,0,1A ， A的子集中，含有元素 0的子集共有（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8个 2．函数 xxy lg1 的定义域为（ ） A ,0 B 1, C ,10, D 1,0 3． 4111 x x 的展开式中含 2x 项的系数为（ ） A 4 B 5 C 10 D 12 4．不等式 12 x 的解集为（ ） A 31 xx B 20 xx C 21 xx D 32 xx 5．已知 2 1tan ，则 sincos sincos （ ） A 2 B 2 C 3 D 3 6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱 锥体积的比值为（ ） A 3 38 B 3 3 C 2 3 D 38 7．若点 0,2P 到双曲线 12 2 2 2 b y a x 的一条渐近线的距离为 2 ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 22 D 32 8．在一次读书活动中，一同学从 4本不同的科技书和 2本不同的文艺书中任选 3本，则所选的书中既有科 技书又有文艺书的概率为（ ） A 5 1 B 2 1 C 3 2 D 5 4 9．过点 1,0 的直线与圆 422 yx 相交于 A、 B两点，则 AB 的最小值为（ ） A 2 B 32 C 3 D 52 10．已知两个单位向量 a与b的夹角为 3 ，则 ba 与 ba 互相垂直的充要条件是（ ） A 2 3 或 2 3 B 2 1 或 2 1 C 1 或 1 D 为任意实数 11．设函数 )(xfy （ Rx ）的图像关于直线 0x 及直线 1x 对称，且 1,0x 时， 2)( xxf ，则 2 3f （ ） A 2 1 B 4 1 C 4 3 D 4 9 12．在正方体 1111 DCBAABCD 中， E是棱 11BA 的中点，则 BA1 与 ED1 所成角的余弦值为（ ） A 10 5 B 10 10 C 5 5 D 5 10 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13．函数 11 xey （ Rx ）的反函数为_____________________ 14．函数 xxxf 2cossin3)( 的最大值是____________ 15．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 55 aS ．若 04 a ，则 4 7 a a __________ 16．已知 090AOB ，C为空间中一点，且 060 BOCAOC ，则直线OC与平面 AOB所成角的 正弦值为___________ 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）在 ABC 中，内角 A、B、C对边的边长分别是 a、b、c，已知 222 2bca ⑴若 4 B ，且 A为钝角，求内角 A与C的大小 ⑵求 Bsin 的最大值 18．（本小题满分 12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类： A类、 B类、C类。检验员定时 从该生产线上任取 2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或 2件都是 B类产品，就需要调整 设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为 A类品，B类品和C类品的概率分别为 .90 ， 5.00 和 5.00 ，且各件产品的质量情况互不影响 ⑴求在一次抽检后，设备不需要调整的概率 ⑵若检验员一天抽检 3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率 19．（本小题满分 12分）如图，一张平行四边形的硬纸片 DABC0 中， 1 BDAD ， 2AB ，沿它 的对角线 BD把 0BDC 折起，使点 0C 到达平面 DABC0 外点C的位置 ⑴证明：平面 DABC0 平面 0CBC ⑵当二面角 CBDA 为 0120 时，求 AC的长 20．（本小题满分 12分）在数列 na 中， 11 a ， nn a n a 2 1 112 ⑴证明数列 2n an 是等比数列，并求 na 的通项公式； ⑵令 nnn aab 2 1 1 ，求数列 nb 的前 n项和 nS ； ⑶求数列 na 的前 n项和 nT 21．（本小题满分 12分）已知椭圆 1C 的中心和抛物线 2C 的顶点都在坐标原点O， 1C 和 2C 有公共焦点 F ， 点 F 在 x轴正半轴上，且 1C 的长轴长、短轴长及点 F 到 1C 右准线的距离成等比数列 ⑴当 2C 的准线与 1C 右准线间的距离为 15时，求 1C 及 2C 的方程； ⑵设过点F 且斜率为 1的直线 l交 1C 于 P，Q两点，交 2C 于M ，N 两点，当 8MN 时，求 PQ 的 值 22．（本小题满分 14分）设函数 2)( 23 xxxxf ⑴求 )(xf 的单调区间和极值； ⑵若当 2,1x 时， 3)(3 xaf ，求 ba 的最大值 2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．设集合 5 xxS ， 02142 xxxT ，则 TS （ ） A. 57 xx B. 53 xx C. 35 xx D. 57 xx 2. 已知函数 2, 2 4 2,log )( 2 2 x x x xxa xf 在点 2x 处连续，则常数a的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3. 复数 i i 43 21 2 的值是（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 4. 已知函数 2 sin)( xxf （ Rx ），下面结论错误．．的是（ ） A. 函数 )(xf 的最小正周期为 2 B. 函数 )(xf 在区间 2 ,0 上是增函数 C. 函数 )(xf 的图像关于直线 0x 对称 D. 函数 )(xf 是奇函数 5. 如图，已知六棱锥 ABCDEFP 的底面是正六边形， PA 平面 ABC， ABPA 2 ，则下列结论正确的是（ ） A. ADPB B. 平面 PAB 平面 PBC C. 直线 BC∥平面 PAE D. 直线 PD与平面 ABC所称的角为 045 6. 已知 a、b、 c、 d 为实数，且 dc ，则“ ba ”是“ dbca ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线 1 2 2 22 b yx （ 0b ）的左右焦点分别为 1F 、 2F ，其一条渐近线方程为 xy ，点 0,3 yP 在该双曲线上，则 21 PFPF （ ） A. 12 B. 2 C. 0 D. 4 8. 如图，在半径为 3的球面上有 A、B、C三点， 090ABC ， BCBA ，球 心 O到平面 ABC的距离是 2 23 ，则 B、C两点的球面距离是（ ） A. 3 B. C. 3 4 D. 2 9. 已知直线 0634:1 yxl 和直线 1:2 xl ，抛物线 xy 42 上一动点 P到直线 1l 和直线 2l 的距离 之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 11 D. 16 37 10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A原料 3吨、 B原料 2 吨；生产每吨乙产品要 用 A原料 1吨、 B原料 3吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该 企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过 13吨， B原料不超过 18吨，那么该企业可获得最大利润是 （ ） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 11. 3位男生和 3位女生共 6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则 不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12. 已知函数 )(xf 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 )()1()1( xfxxxf ， 则 2 5ff 的值是（ ） A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 5 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13. 6 2 12 x x 的展开式的常数项是 （用数字作答） 14. 若⊙ 5: 22 1 yxO 与⊙ 20: 22 2 ymxO （ Rm ）相交于 A、B两点，且两圆在点 A处的 切线互相垂直，则线段 AB的长度是 15. 如图，已知正三棱柱 111 CBAABC 的各条棱长都相等，M 是侧棱 1CC 的 中点，则异面直线 1AB 和 BM 所成的角的大小是 16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 VVf : （ Va ）， 记 a的象为 )(af 。若映射 VVf : 满足：对所有 Vba , 及任意实数 , 都有 )()()( bfafbaf ，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ①设 f 是平面M 上的线性变换，则 0)0( f ②对 Va ，设 aaf 2)( ，则 f 是平面M 上的线性变换； ③若 e是平面M 上的单位向量，对 Va ，设 eaaf )( ，则 f 是平面M 上的线性变换； ④设 f 是平面M 上的线性变换， Vba , ，若 ba, 共线，则 )(af ， )(bf 也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12分）在 ABC 中， A、 B为锐角，角 A、 B、C所对应的边分别为 a、b、 c，且 5 32cos A ， 10 10sin B ⑴求 BA 的值； ⑵若 12 ba ，求 a、b、 c的值。 18. （本小题满分 12分）为振兴旅游业，四川省 2009年面向国内发行总量为 2000万张的熊猫优惠卡，向 省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织 了一个有 36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 4 3 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 3 1 持金卡，在省内游客中有 3 2 持银卡。 ⑴在该团中随机采访 3名游客，求恰有 1人持金卡且持银卡者少于 2人的概率； ⑵在该团的省内游客中随机采访 3名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E 19．（本小题满分 12分）如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是 等腰直角三角形， AEAB ， FEFA ， 045AEF ⑴求证： EF 平面 BCE ； ⑵设线段CD的中点为P，在直线 AE上是否存在一点M ，使得 //PM 平面BCE ？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； ⑶求二面角 ABDF 的大小。 20．（本小题满分 12分）已知椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的左右焦点分别为 1F 、 2F ，离心率 2 2 e ， 右准线方程为 2x 。 ⑴求椭圆的标准方程； ⑵过点 1F 的直线 l与该椭圆交于M 、N 两点，且 3 262 22 NFMF ，求直线 l的方程。 21. （本小题满分 12分）已知 0a 且 1a ，函数 )1(log)( x a axf 。 ⑴求函数 )(xf 的定义域，并判断 )(xf 的单调性； ⑵若 *Nn ，求 aa a n nf n )( lim ； ⑶当 ea （ e为自然对数的底数）时，设 11)( 2)( mxexh xf ，若函数 )(xh 的极值存在，求 实数m的取值范围以及函数 )(xh 的极值。 22. （本小题满分 14 分）设数列 na 的前 n项和为 nS ，对任意的正整数 n，都有 15 nn Sa 成立，记 n n n a a b 1 4 （ *Nn ） ⑴求数列 nb 的通项公式； ⑵记 122 nnn bbc （ *Nn ），设数列 nc 的前 n项和为 nT ，求证：对任意正整数 n，都有 2 3 nT ； ⑶设数列 nb 的前 n项和为 nR ，已知正实数满足：对任意正整数 n， nRn 恒成立，求的最小 值。 2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．设集合 5 xxS ， 02142 xxxT ，则 TS （ ） A. 57 xx B. 53 xx C. 35 xx D. 57 xx 2．函数 12 xy （ Rx ）的反函数是（ ） A xy 2log1 （ 0x ） B 1log 2 xy （ 1x ） C xy 2log1 （ 0x ） D 1log 2 xy （ 1x ） 3．等差数列 na 的公差不为零，首项 11 a ， 2a 是 1a 和 5a 等比中项，则数列 na 的前 10项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 4. 已知函数 2 sin)( xxf （ Rx ），下面结论错误．．的是（ ） A. 函数 )(xf 的最小正周期为 2 B. 函数 )(xf 在区间 2 ,0 上是增函数 C. 函数 )(xf 的图像关于直线 0x 对称 D. 函数 )(xf 是奇函数 5．设矩形的长为 a，宽为b，其比满足 618.0 2 15: ab ，这种矩形给人美感，称为黄金矩形。黄金 矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样 本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618比较，正确结论是（ ） A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 6．如图，已知六棱锥 ABCDEFP 的底面是正六边形， PA 平面 ABC， ABPA 2 ，则下列结论正确 的是（ ） A ADPB B 平面 PAB 平面 PBC C 直线 BC∥平面 PAE D 直线 PD与平面 ABC所称的角为 045 7．已知 a、b、 c、 d 为实数，且 dc ，则“ ba ”是“ dbca ”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8．已知双曲线 1 2 2 22 b yx （ 0b ）的左右焦点分别为 1F 、 2F ，其一条渐近线方程为 xy ，点 0,3 yP 在该双曲线上，则 21 PFPF （ ） A 12 B 2 C 0 D 4 9．如图，在半径为 3的球面上有 A、B、C三点， 090ABC ， BCBA ，球心O到平面 ABC的距 离是 2 23 ，则 B、C两点的球面距离是（ ） A 3 B C 3 4 D 2 10．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A原料 3吨、 B原料 2吨；生产每吨乙产品要 用 A原料 1吨、B原料 3吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该企 业在一个生产周期内消耗 A原料不超过 13吨，B原料不超过 18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ） A 12万元 B 20万元 C 25万元 D 27万元 11．2位男生和 3位女生共 5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3为女生中有且只有两位女生相邻，则 不同排法的种数是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 12．已知函数 )(xf 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 )()1()1( xfxxxf ， 则 2 5f 的值是（ ） A 0 B 2 1 C 1 D 2 5 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13．抛物线 xy 42 的焦点到准线的距离是 14． 6 2 12 x x 的展开式的常数项是 （用数字作答） 15． 如图，已知正三棱柱 111 CBAABC 的各条棱长都相等，M 是侧棱 1CC 的中点，则异面直线 1AB 和 BM 所成的角的大小是 16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 VVf : （ Va ），记 a的象为 )(af 。若映射 VVf : 满足：对所有 Vba , 及任意实数 , 都有 )()()( bfafbaf ，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ①设 f 是平面M 上的线性变换， Vba , ，则 )()()( bfafbaf ②若 e是平面M 上的单位向量，对 Va ，设 eaaf )( ，则 f 是平面M 上的线性变换； ③对 Va ，设 aaf )( ，则 f 是平面M 上的线性变换； ④设 f 是平面M 上的线性变换， Va ，则对任意实数 k均有 )()( akfkaf 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在 ABC 中，A、B为锐角，角 A、B、C所对应的边分别为 a、b、c，且 5 5sin A ， 10 10sin B ⑴求 BA 的值； ⑵若 12 ba ，求 a、b、 c的值。 18．（本小题满分 12分）为振兴旅游业，四川省 2009年面向国内发行总量为 2000万张的熊猫优惠卡，向 省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织 了一个有 36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 4 3 是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有 3 1 持金卡，在省内游客中有 3 2 持银卡. ⑴在该团中随即采访 2名游客，求恰有 1人持银卡的概率 ⑵在该团中随机采访 2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率 19．（本小题满分 12分）如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是 等腰直角三角形， AEAB ， FEFA ， 045AEF ⑴求证： BCEEF 面 ； ⑵设线段CD、 AE的中点分别为 P、M ，求证： //PM 平面 BCE ； ⑶求二面角 ABDF 的大小. 20．（本小题满分 12分）已知函数 22)( 23 cxbxxxf 的图象在与 x轴交点处的切线方程是 105 xy ⑴求函数 )(xf 的解析式； ⑵设函数 mxxfxg 3 1)()( ，若 )(xg 的极值存在，求实数m的取值范围以及函数 )(xg 取得极值时对 应的自变量 x的值 21．（本小题满分 12分）已知椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的左右焦点分别为 1F 、 2F ，离心率 2 2 e ， 右准线方程为 2x 。 ⑴求椭圆的标准方程； ⑵过点 1F 的直线 l与该椭圆交于M 、N 两点，且 3 262 22 NFMF ，求直线 l的方程。 22．（本小题满分 14分）设数列 na 的前 n项和为 nS ，对任意的正整数 n，都有 15 nn Sa 成立，记 n n n a a b 1 4 （ *Nn ） ⑴求数列 na 与数列 nb 的通项公式； ⑵设数列 nb 的前 n项和为 nR ，是否存在正整数 k，使得 kRk 4 成立？若存在，找出一个正整数 k； 若不存在，请说明理由； ⑶记 122 nnn bbc （ *Nn ），设数列 nc 的前 n项和为 nT ，求证：对任意正整数 n，都有 2 3 nT 2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1． i是虚数单位，计算 32 iii （ ） A 1 B 1 C i D i 2．下列四个图像所表示的函数，在点 0x 处连续的是（ ） A B C D 3． 25.0log10log2 55 （ ） A 0 B 1 C 2 D 4 4．函数 1)( 2 mxxxf 的图像关于直线 1x 对称的充要条件是（ ） A 2m B 2m C 1m D 1m 5．设点M 是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外， 16 2 BC ， ACABACAB ，则 AM （ ） A 8 B 4 C 2 D 1 6．将函数 xy sin 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A 10 2sin xy B 5 2sin xy C 102 1sin xy D 202 1sin xy 7．某加工厂用某原料由甲车间加工出 A产品，由乙车间加工出 B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时 10小时可加工出 7千克 A产品，每千克 A产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6小时可 B C D A N M O 加工出 4千克 B产品，每千克B产品获利 50元．甲、乙两车间每天共能完成至多 70箱原料的加工， 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ） A 甲车间加工原料 10箱，乙车间加工原料 60箱 B 甲车间加工原料 15箱，乙车间加工原料 55箱 C 甲车间加工原料 18箱，乙车间加工原料 50箱 D 甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 8．已知数列 na 的首项 01 a ，其前 n项的和为 nS ，且 11 2 aSS nn ，则 n n n S a lim （ ） A 0 B 2 1 C 1 D 2 9．椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的右焦点 F ，其右准线与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P满足线 段 AP的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A 2 2,0 B 2 1,0 C 1,12 D 1, 2 1 10．由 1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与 5相邻的六位偶数的个数是（ ） A 72 B 96 C 108 D 144 11．半径为 R的球O的直径 AB垂直于平面 ，垂足为 B， BCD 是平面 内边长为 R的正三角形，线 段 AC、 AD分别与球面交于点M 、 N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（ ） A 25 17arccosR B 25 18arccosR C R 3 1 D R 15 4 12．设 0 cba ，则 22 2510112 cac baaab a 的最小值是（ ） A 2 B 4 C 52 D 5 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） A B 13． 6 3 12 x 的展开式中的第四项是__________ 14．直线 052 yx 与圆 822 yx 相交于 A、 B两点，则 AB ________ 15．如图，二面角 l 的大小是 060 ，线段 AB ， lB ， AB与 l所成的角为 030 ，则 AB与平面 所成 的角的正弦值是_________ 16．设 S为复数集C的非空子集．若对任意 Syx , ，都有 Sxyyxyx ,, ，则称 S为封闭集。下列命 题： ①集合 biaS （ ba, 为整数， i为虚数单位）为封闭集； ②若 S为封闭集，则一定有 S0 ； ③封闭集一定是无限集； ④若 S为封闭集，则满足 CTS 的任意集合T 也是封闭集． 其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶 若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 6 1 ，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料。 ⑴求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； ⑵求中奖人数 的分布列及数学期望 E ． D A B CDM O A B C 18．（本小题满分 12分）已知正方体 DCBAABCD 的棱长为 1，点M 是棱 AA 的中点，点O是对角 线 DB 的中点． ⑴求证：OM 为异面直线 AA 和 DB 的公垂线； ⑵求二面角 BCBM 的大小； ⑶求三棱锥 OBCM 的体积． 19．（本小题满分 12分）⑴①证明两角和的余弦公式 sinsincoscoscos: C ； ②由 aC 推导两角和的正弦公式 sincoscossinsin: S ． ⑵已知 ABC 的面积 3 2 1 ACABS ，且 5 3cos B ，求 Ccos ． 20．（本小题满分 12分）已知定点 0,1A 、 0,2F ，定直线 2 1: xl ，不在 x轴上的动点 P与点F 的距 离是它到直线 l的距离的 2倍．设点P的轨迹为E，过点F 的直线交E于 B、C两点，直线 AB、AC 分别交 l于点M 、N ⑴求E的方程； ⑵试判断以线段MN为直径的圆是否过点 F ，并说明理由． 21．（本小题满分 12分） 已知数列 na 满足 01 a ， 22 a ，且对任意 *, Nnm 都有 211212 22 nmaaa nmnm ⑴求 3a ， 5a ； ⑵设 1212 nnn aab （ *Nn ）证明： nb 是等差数列； ⑶设 1 12 n nnn qaac （ 0q ， *Nn ），求数列 nc 的前 n项和 nS ． 22．（本小题满分 14分）设 x x a axf 1 1)( （ 0a 且 1a ）， )(xg 是 )(xf 的反函数． ⑴设关于 x的方程 )( 71 log 2 xg xx t a 在区间 6,2 上有实数解，求 t的取值范围； ⑵当 ea （ e为自然对数的底数）时，证明： 12 2)( 2 2 nn nnkg n k ； ⑶当 2 10 a 时，试比较 nkf n k 1 )( 与 4的大小，并说明理由． 2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．设集合 8,6,5,3A ，集合 8,7,5,4B ，则 BA 等于（ ） A 8,7,6,5,4,3 B 6,3 C 7,4 D 8,5 2．函数 xy 2log 的图象大致是（ ） A B C D 3．抛物线 xy 82 的焦点到准线的距离是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 4．一个单位有职工 800人，其中具有高级职称的 160人，具有中级职称的 320人，具有初级职称的 200人， 其余人员 120人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为 40的样本，则从 上述各层中依次抽取的人数分别是（ ） A 12，24，15，9 B 9，12，12，7 C 8，15，12，5 D 8，16，10，6 5．函数 1)( 2 mxxxf 的图像关于直线 1x 对称的充要条件是（ ） A 2m B 2m C 1m D 1m 6．设点M 是线段BC的中点，点 A在直线BC外， 16 2 BC ， ACABACAB ，则 AM （ ） A 8 B 4 C 2 D 1 B C D A N M O 7．将函数 xy sin 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A 10 2sin xy B 5 2sin xy C 102 1sin xy D 202 1sin xy 8．某加工厂用某原料由甲车间加工出 A产品，由乙车间加工出 B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时 10小时可加工出 7千克 A产品，每千克 A产品获利 40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6小时可加 工出 4千克 B产品，每千克 B产品获利 50元．甲、乙两车间每天共能完成至多 70箱原料的加工，每天 甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ） A 甲车间加工原料 10箱，乙车间加工原料 60箱 B 甲车间加工原料 15箱，乙车间加工原料 55箱 C 甲车间加工原料 18箱，乙车间加工原料 50箱 D 甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 10．椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的右焦点 F ，其右准线与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在点P满足线 段 AP的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A 2 2,0 B 2 1,0 C 1,12 D 1, 2 1 11．设 0 ba ，则 baaab a 112 的最小值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12．半径为 R的球O的直径 AB垂直于平面 ，垂足为 B， BCD 是平面 内边长为 R的正三角形，线 段 AC、 AD分别与球面交于点M 、N ，那么M 、 N 两点间的球面距离是（ ） A 25 17arccosR B 25 18arccosR C R 3 1 D R 15 4 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13． 42 x x 的展开式中的常数项为______ __（用数字作答） 14．直线 052 yx 与圆 822 yx 相交于 A、 B两点，则 AB __ ______ A B D A B CDM O A B C 15．如图，二面角 l 的大小是 060 ，线段 AB ， lB ， AB与 l所成的角为 030 ，则 AB与平面 所成 的角的正弦值是_______ __ 16．设 S为复数集C的非空子集．若对任意 Syx , ，都有 Sxyyxyx ,, ，则称 S为封闭集。下列命 题： ①集合 为整数babaS ,3 为封闭集； ②若 S为封闭集，则一定有 S0 ； ③封闭集一定是无限集； ④若 S为封闭集，则满足 CTS 的任意集合T 也是封闭集 其中真命题是_________ ________ （写出所有真命题的序号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶 若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 6 1 ，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 料 ⑴求三位同学都没的中奖的概率； ⑵求三位同学中至少有两位没有中奖的概率。 18．（本小题满分 12分）已知正方体 DCBAABCD 的棱长为 1，点M 是棱 AA 的中点，点O是对角 线 DB 的中点 ⑴求证：OM 为异面直线 AA 和 DB 的公垂线； ⑵求二面角 BCBM 的大小； 19．（本小题满分 12分）⑴①证明两角和的余弦公式 sinsincoscoscos: C ②由 aC 推导两角和的正弦公式 sincoscossinsin: S ⑵已知 5 4cos ， 2 3, ， 3 1tan ， , 2 ，求 cos 20．（本小题满分 12分）已知等差数列 na 的前 3项和为 6,前 8项和为 4 ⑴求数列 na 的通项公式； ⑵设 14 n nn qab （ 0q ， *Nn ），求数列 nb 的前 n项和 nS 21．（本小题满分 12分）已知定点 0,1A 、 0,2F ，定直线 2 1: xl ，不在 x轴上的动点 P与点 F 的距 离是它到直线 l的距离的 2倍．设点 P的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E于B、C两点，直线 AB、AC 分别交 l于点M 、 N ⑴求E的方程； ⑵试判断以线段MN为直径的圆是否过点 F ，并说明理由 22．（本小题满分 14分）设 x x a axf 1 1)( （ 0a 且 1a ）， )(xg 是 )(xf 的反函数 ⑴求 )(xg ⑵当 6,2x 时，恒有 xx txg a 71 log)( 2 成立，求 t的取值范围 ⑶当 2 10 a 时，试比较 )()2()1( nfff 与 4n 的大小，并说明理由 2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下： 2.515,.511 4.519,.515 9.523,.519 18.527,3.52 11.531,7.52 12.535,1.53 7.539,5.53 3.543,9.53 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是（ ） A 6 1 B 3 1 C 2 1 D 3 2 2. 复数 i i 1 （ ） A i2 B i 2 1 C 0 D i2 3. 1l ， 2l ， 3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A 21 ll ， 32 ll 31 // ll B 21 ll ， 32 // ll 31 ll C 321 //// lll 1l ， 2l ， 3l 共面 D 1l ， 2l ， 3l 共点 1l ， 2l ， 3l 共面 4. 如图，正六边形 ABCDEF 中， EFCDBA （ ） A 0 B BE C AD D CF 5. 函数， )(xf 在点 0xx 处有定义是 )(xf 在点 0xx 处连续的（ ） A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 6. 在 ABC 中， CBCBA sinsinsinsinsin 222 ，则 A的取值范围是（ ） A 6 ,0 B , 6 C 3 ,0 D , 3 7. 已知 )(xf 是 R上的奇函数，且当 0x 时， 1 2 1)( x xf ，则 )(xf 的反函数的图像大致是（ ） A B C D 8. 数列 na 的首项为3， nb 为等差数列且 nnn aab 1 （ *Nn ），若则 23 b ， 1210 b ，则 8a A 0 B 3 C 8 D 11 9. 某运输公司有 12名驾驶员和 19名工人，有 8辆载重量为 10吨的甲型卡车和 7辆载重量为 6吨的乙型卡 车。某天需运往 A地至少 72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次，派用的每吨甲型卡车需配 2名工人，运送一次可得利润 450元；派用的每辆乙型卡车需配 1名工人，运送一次可得利润 350元， 该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（ ） A 4650元 B 4700元 C 4900元 D 5000元 10. 在抛物线 52 axxy （ 0a ）上取横坐标为 41 x ， 22 x 的两点，过这两点引一条割线，有 平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 3655 22 yx 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） A 9,2 B 5,0 C 9,2 D 6,1 11. 已知定义在 ,0 上的函数 )(xf 满足 )2(3)( xfxf ，当 2,0x 时， xxxf 2)( 2 。设 )(xf 在 nn 2,22 上的最大值为 na （ *Nn ），且 na 的前 n项和为 nS ，则 nn Slim （ ） A 3 B 2 5 C 2 D 2 3 12. 在集合 5,4,3,2,1 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 ba, ，从所有得到的以 原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形。记所有作成的平行四边形的个数为 n，其中面 积不超过．．．4的平行四边形的个数为 m，则 n m （ ） A 15 4 B 3 1 C 5 2 D 3 2 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13. 计算 2 1 10025lg 4 1lg 14. 双曲线 1 3664 22 yx 上一点 P到双曲线右焦点的距离是 4，那么点 P 到左准线的距离是 15. 如图，半径为 R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是， 求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 16. 函数 )(xf 的定义域为 A，若 Axx 21 , 且 )()( 21 xfxf 时总有 21 xx ，则称 )(xf 为单函数。例如， 函数 12)( xxf （ Rx ）是单函数。下列命题： ①函数 2)( xxf （ Rx ）是单函数； ②若 )(xf 为单函数， Axx 21 , 且 21 xx ，则 )()( 21 xfxf ； ③若 BAf : 为单函数，则对于任意 Bb ，它至多有一个原象； ④函数 )(xf 在某区间上具有单调性，则 )(xf 一定是单函数 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题共 12分）已知函数 4 3cos 4 7sin)( xxxf （ Rx ） ⑴求 )(xf 的最小正周期和最小值； ⑵已知 5 4cos ， 5 4cos ，（ 2 0 ），求证： 02)( 2 f 18. （本小题共 12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费 标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为 2元（不足 1小时的部分按 1小时计算）。 有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 4 1 、 2 1 ；两小 时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 1 、 4 1 ；两人租车时间都不会超过四小时。 ⑴求出甲、乙所付租车费用相同的概率； ⑵求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E ； 19. （本小题共 12分）如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中， 090BAC ， 11 AAACAB ，D是 棱 1CC 上的一点， P是 AD的延长线与 11CA 的延长线的交点，且 //1PB 平面 BDA ⑴求证： DCCD 1 ； ⑵求二面角 BDAA 1 的平面角的余弦值； ⑶求点C到平面 DPB1 的距离． 20.（本小题共 12分）设 d 为非零实数， nn n nn nnnn dnCdCndCdC n a 11221 )1(21 （ *Nn ） ⑴写出 1a ， 2a ， 3a ，并判断 na 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； ⑵设 nn ndab （ *Nn ），求数列 nb 的前 n项和 nS 21. （本小题共 12分）椭圆有两顶点 0,1A 、 0,1B ，过其焦点 1,0F 的直线 l与椭圆交于C、D两点， 并与 x轴交于点 P，直线 AC与直线 BD交于点Q ⑴当 2 2 3 CD 时，求直线 l的方程； ⑵当点 P异于 A、B两点时，求证： OQOP 为定值。 22. （本小题共 14分）已知函数 2 1 3 2)( xxf ， xxh )( ⑴设函数 )()()( xhxfxF ，求 )(xF 的单调区间与极值； ⑵设 Ra ，解关于 x的方程 )4(log)(log 4 3)1( 2 3log 224 xhxahxf ⑶试比较 100 1 )()100()100( k khhf 与 6 1 的大小 2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文史类） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．若全集 5,4,3,2,1M ， 4,2N ，则 NCM （ ） A B 5,3,1 C 4,2 D 5,4,3,2,1 2．有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下： 2.515,.511 4.519,.515 9.523,.519 18.527,3.52 11.531,7.52 12.535,1.53 7.539,5.53 3.543,9.53 根据样本的频率分布估计，大于或等于 31.5的数据约占（ ） A 11 2 B 3 1 C 2 1 D 3 2 3．圆 06422 yxyx 的圆心坐标是（ ） A 3,2 B 3,2 C 3,2 D 3,2 4．函数 1 2 1 x y 的图象关于直线 xy 对称的图象像大致是（ ） A B C D 5．“ 3x ”是“ 92 x ”的（ ） A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 6． 1l ， 2l ， 3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A 21 ll ， 32 ll 31 // ll B 21 ll ， 32 // ll 31 ll C 321 //// lll 1l ， 2l ， 3l 共面 D 1l ， 2l ， 3l 共点 1l ， 2l ， 3l 共面 7．如图，正六边形 ABCDEF 中， EFCDBA （ ） A 0 B BE C AD D CF 8．在 ABC 中， CBCBA sinsinsinsinsin 222 ，则 A的取值范围是（ ） A 6 ,0 B , 6 C 3 ,0 D , 3 9．数列 na 的前 n项和为 nS ，若 11 a ， nn Sa 31 （ 1n ），则 6a （ ） A 443 B 143 4 C 44 D 144 10．某运输公司有 12名驾驶员和 19名工人，有 8辆载重量为 10吨的甲型卡车和 7辆载重量为 6吨的乙型 卡车．某天需运往 A地至少 72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需 配 2名工人，运送一次可得利润 450元；派用的每辆乙型卡车需配 1名工人，运送一次可得利润 350元， 该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ） A 4650元 B 4700元 C 4900元 D 5000元 11．在抛物线 52 axxy （ 0a ）上取横坐标为 41 x ， 22 x 的两点，过这两点引一条割线，有 平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 3655 22 yx 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） A 9,2 B 5,0 C 9,2 D 6,1 12．在集合 5,4,3,2,1 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 ba, ，从所有得到的 以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形。记所有作成的平行四边形的个数为 n，其中 面积等于 2的平行四边形的个数为 m，则 n m （ ） A 15 2 B 5 1 C 15 4 D 3 1 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分，把答案填在题中横线上） 13． 91x 的展开式中 3x 的系数是_________（用数字作答） 14．双曲线 1 3664 22 yx 上一点 P到双曲线右焦点的距离是 4， 那么 P到左准线的距离是____ 15．如图，半径为 4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时， 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________ 16．函数 )(xf 的定义域为 A，若 Axx 21 , 且 )()( 21 xfxf 时总有 21 xx ，则称 )(xf 为单函数。例如， 函数 12)( xxf （ Rx ）是单函数。下列命题： ①函数 2)( xxf （ Rx ）是单函数 ②指数函数 xxf 2)( （ Rx ）是单函数 ③若 )(xf 为单函数， Axx 21 , 且 21 xx ，则 )()( 21 xfxf ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是_________（写出所有真命题的编号） 三、解答题（共 6个小题，共 74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题共 12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费 标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2元(不足 1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车 的概率分别为 4 1 、 2 1 ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 1 、 4 1 ；两人租车时间都不会超 过四小时 ⑴分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率 ⑵求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6元的概率 18．（本小题共 12分）已知函数 4 3cos 4 7sin)( xxxf （ Rx ） ⑴求 )(xf 的最小正周期和最小值； ⑵已知 5 4cos ， 5 4cos ，（ 2 0 ），求证： 02)( 2 f 19．（本小题共 12分）如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中， 090BAC ， 11 AAACAB ，延长 11CA 至点 P，使 111 CAPC ，连接 AP交棱 1CC 于D ⑴求证： //1PB 平面 1BDA ⑵求二面角 BDAA 1 的平面角的余弦值 20．（本小题共 12分）已知 na 是以 a为首项， q为公比的等比数列， nS 为它的前 n项和． ⑴当 1S 、 3S 、 4S 成等差数列时，求 q的值 ⑵当 mS 、 nS 、 lS 成等差数列时，求证：对任意自然数 k， kma 、 kna 、 kla 也成等差数列 21．（本小题共 12分）过点 1,0C 的椭圆 12 2 2 2 b y a x （ 0 ba ）的离心率为 2 3 ，椭圆与 x轴交于两 点 0,aA 、 0,aB ，过点C的直线 l与椭圆交于另一点D，并与 x轴交于点 P，直线 AC与直线 BD 交于点Q ⑴当直线 l过椭圆右焦点时，求线段CD的长 ⑵当点 P异于点B时，求证： OQOP 为定值 22．（本小题共 14分）已知函数 2 1 3 2)( xxf ， xxh )( ⑴设函数 22 )()(18)( xhxxfxF ，求 )(xF 的单调区间与极值 ⑵设 Ra ，解关于 x的方程 )4(lg2)(lg2 4 3)1( 2 3lg xhxahxf ⑶设 *Nn ，证明： 6 1)()2()1()()( nhhhnhnf 查看更多