高考数学第二次模拟考试试卷

高考数学第二次模拟考试试卷

‎2010届高考数学第二次模拟考试试卷（理科）‎ 命题人： 魏春新 校对人：刘利 总分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.实数、满足，集合，，则集合可表示为 ‎ ‎ ‎2.命题：，，则 ‎ ‎．是假命题，：　　　‎ ‎．是假命题，：　　　　‎ ‎．是真命题，：‎ ‎．是真命题，：‎ ‎3.若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同称这些函数为“同族函数”‎ 则函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 ‎7个 8 个 9个 4 个 ‎4.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是 ‎ ‎ .‎ ‎5.已知函数，在同一标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是 ‎ ‎.‎ ‎6.查找线路：在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了一个故障.这是一条长的线路，要把故障可能发生的范围缩小到左右（即某相邻两根电线杆附近），为确保能够检查出故障，维修线路的工人师傅至少需要检查的次数__________‎ ‎5 7 9 10 ‎ ‎7. 中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且、都是方程 的根,则 是直角三角形但不是等腰三角形 是等腰三角形但不是直角三角形 ‎ 是等腰直角三角形　 　　　　　　 不是等腰三角形,也不是直角三角形 ‎8.对于任意的不等式恒成立，则m的取值范围是 ‎ 或 ‎9. 已知=(cosπ, sinπ), , ，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积等于 ‎ ‎1 2 ‎ ‎10. 锐角三角形ABC中，若，则下列叙述正确的是 ‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎①② ②③ ③④ ②③④‎ ‎11．已知定义在上的函数是奇函数，，，，数列满足，当时，，则值为 ‎ -2 2 4‎ ‎12. 设方程 的两个根为，则 ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填写在答题纸相应位置上）‎ ‎13.的值为_________.‎ ‎14.若内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则 该的面积为_________.‎ ‎15.若不等式，对任意正实数、均成立，则实数的取值 范围__________.‎ ‎16.某工程车从公司取出17根水泥电线杆拉到‎1千米外的公路旁由近及远依次栽立.每隔‎0.1千米栽1根，汽车从公司出发至完成任务后返回到公司所行驶的路程称为汽车行驶的总路程，记为.由于汽车载重量有限，每趟最多只能载3根水泥杆，为使总路程尽可能小，汽车除第趟（为不大于6的正整数）载2根外，其余5趟均载3根，则与之间的函数关系为_________.‎ 三、解答题（本大题有6小题，共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎ 17.( 本小题满分10分) 若，，，在函数 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 18.( 本小题满分12分) 如图.是单位圆上的动点，且分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点，为正三角形. 若点的坐标为. 记．‎ O x y B A C ‎（Ⅰ）若点的坐标为,求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎19.( 本小题满分12分)对于三次函数.‎ 定义（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；‎ 定义（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数图象关于点对称.‎ 己知，请回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求函数的“拐点”的坐标；检验函数的图象是否关于“拐点”对称；‎ ‎（Ⅱ）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明），并写出一个三次函数，使得它的“拐点”横坐标为（不要过程）.‎ ‎20.( 本小题满分12分)商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件.“十一”期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件.‎ ‎（Ⅰ）每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？‎ ‎（Ⅱ）如果商场决定在这个节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？‎ ‎21.( 本小题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：.‎ ‎22.( 本小题满分12分)已知函数 ‎（Ⅰ）证明：函数在区间内有且只有一个零点，且；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内的零点为，证明：对于任意的正实数，不等式恒成立.‎ 东北育才学校高三年级第二次模拟考试 数学试卷（理科）答案与评分参考 一、选择题：每小题５分，满分６０分 ‎1．D　2．C　3．C　 4．D　 5．B　 6．B　‎ ‎7．A　8．B　9．A　10．B　 11.D 12．D 二、填空题：每小题5分，满分20分 ‎13．　　　　　　　　14．‎ ‎15. 　　　　　 16.‎ 三、解答题：满分70分 ‎17. （满分10分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎.…………………………2分 ‎∵的图象对称中心到对称轴的最小距离为，∴的周期为，得.∴.……………………………4分 又时，，∴，∴.∵，∴，，∴.………6分 ‎（Ⅱ）将函数y=sinx依次进行如下变换： 　（i）把函数y=sinx的图象向右平移个单位，得到函数的图象； 　（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； ‎ ‎　（iii）把得到的图象上各点纵坐标扩大到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象； 　（iv）把得到的图象向下平移个单位长度，得到函数的图象； ‎ 综上得到函数的图象.　　　　　　　………………10分 18．（满分12 分）‎ ‎（Ⅰ）解：因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知，‎ ‎，得，………………3分 所以＝.………………6分 ‎（Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以， ‎ 所以==………………7分 所以=.……8分 ‎ , ,‎ ‎,………………10分 ‎.………………12分 ‎19. （满分12 分）‎ ‎（Ⅰ）依题意，得： ， ‎ ‎.……………………2分 ‎ 由 ，即.∴，又 ，‎ ‎ ∴的“拐点”坐标是.……………………4分 ‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎ ==，‎ 由定义(2)知：关于点对称.……………………8分 ‎（Ⅱ）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.……………………………………10分 ‎（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分.‎ 或写出一个具体的函数,如或.…………12分 ‎20.（满分12 分）‎ ‎（Ⅰ）解:设每件售价元，每天销售利润元，依题意得：‎ ‎…………4分 当时，有最大值3750元. …………6分 ‎（Ⅱ）设每件售价元，每天销售利润元，依题意得：‎ ‎……………………8分 其中 解得：……………………10分 因为在区间内单调递增，所以时，有最大值11264元.‎ ‎………………………………12分 ‎21．（满分12 分）‎ ‎（Ⅰ）解：……………………1分 当时，，在上是减函数.‎ 当时，，在上是增函数.‎ 当时，‎ 若时，，在上是减函数.‎ 若时，，在上是增函数.‎ ‎……………………5分 综上：当时，在上是减函数.‎ 当时，在上是增函数.‎ 当时，在上是减函数，在上是增函数.‎ ‎………………………………………6分 ‎（Ⅱ）证明：‎ 时，；时，，‎ 当时，有最小值，即.‎ ‎( 当且仅当时取等号). ……………………8分 ‎ 累乘：.……………………12分 ‎22．（满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎………………………2分 当时，， 在上是增函数；‎ 当时，， 在上是减函数.‎ 而 故函数在区间内有且只有一个零点，且 ‎………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）证明：令 单调递增 当时，‎ 即恒成立. ……………………………………………9分 令 当变化时，变化如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 最小值 即 综上：.………………………………………………12分