2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第二章2-9函数模型及其应用
1.几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
性质
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，
在[－，0)和(0，]上单调递减.
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )
(2)幂函数增长比直线增长更快.( × )
(3)不存在x0，使<1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )
1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元.
答案 2 250
解析 设每台原价是a元，则a(1＋40%)·80%
＝a＋270，解得a＝2 250.
2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________.
答案 y＝22－x(0≤x≤200)
解析 流速为＝，x分钟可流x，
则y＝22－x(0≤x≤200).
3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________.
答案 －1
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.
4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0.
又＝＝＝≈13.14，
且x∈N*，所以xmin＝14.
故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下.
命题点3 构造分段函数模型
例5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)
解 (1)由题意可知当0≤x<20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.
(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/
mL，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营的天数是________.
答案 (1)5 (2)300
解析 (1)设经过x小时才能开车.
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.
(2)由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以x＝300时，ymax＝25 000，
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000，
综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.
2.函数应用问题
典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”
函数的最值的结论.
规范解答
解 (1)当040时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－－16x＋7 360.
所以W＝ [5分]
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值为5 760. [12分]
综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万美元. [14分]
解函数应用题的一般程序
第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；
第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p，且年销售量将减少p万件.则每年征收的税金y关于税率p的函数关系为________.
答案 y＝60(80－p)p
解析 征收附加税后年销售为(80－p)万件，故每年征收的税金y＝60(80－p)p.
2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________.
答案 ①
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.
3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.
答案 9
解析 出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.
4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10
m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为________ m3.
答案 13
解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，
解得x＝13.
5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0a)以及实数x(00，
当5t(10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.
