黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷理科

黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷理科

‎2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x＞2}，则A∩B＝（　　）‎ A．∅ B．{﹣1} C．{﹣1，0} D．{0，1}‎ ‎3．（5分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5‎ ‎4．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），若e＝p，则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x ‎5．（5分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝3S2，a7＝15，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．（5分）运行如图程序，则输出的S的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2018 D．2017‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1＝1，∠AB1D＝，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）＝cosx﹣sinx在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥﹣1，则α的取值范围为（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]‎ ‎11．（5分）已知半圆C：x2+y2＝1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ＝，则t的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0）] B．[﹣，0）∪（0，] ‎ C．[﹣，0）∪（0，] D．[﹣，0）∪（0，]‎ ‎12．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（　　）‎ A． B．π C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）已知cosα＝﹣，则cos2α＝　 　．‎ ‎14．（5分）在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为　 　（用数字作答）．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（﹣2）＝1，则不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn满足，Sn＝3an﹣2，数列{nan}的前n项和为Tn，则满足Tn＞100的最小的n值为　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S＝bccosA，C＝．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）若c＝，求S的值．‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） ‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 ‎[0，10）‎ ‎[10，20）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．‎ ‎（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表； ‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，‎ ‎（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？‎ ‎（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d 临界值表 P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x∈（，2）上有2个零点，求实数a的取值范围．（注e3＞19）‎ ‎（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax2，若函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线C2于M，N两点，求|MN|．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）+f（2x+1）≥6；‎ ‎（Ⅱ）对a+b＝1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x﹣m）﹣（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎2．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x＞2}，则A∩B＝（　　）‎ A．∅ B．{﹣1} C．{﹣1，0} D．{0，1}‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．‎ ‎【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【解答】解：B＝{x|x＞1}；‎ ‎∴A∩B＝∅．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．‎ ‎3．（5分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．‎ ‎【解答】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，‎ 如图所示；‎ 平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）‎ 当目标函数过点A时，z取得最小值，‎ ‎∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．‎ ‎4．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），若e＝p，则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x ‎【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，‎ 又e＝p，所以e＝＝2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：b＝a ‎，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．‎ ‎5．（5分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，‎ 图标第三部分的面积为π×22＝4π，‎ 故此点取自图标第三部分的概率为，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．‎ ‎6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝3S2，a7＝15，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，分析可得4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得d的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，‎ 若S4＝3S2，a7＝15，则4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，‎ 解可得a1＝3，d＝2；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．‎ ‎7．（5分）运行如图程序，则输出的S的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2018 D．2017‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）的值，‎ 可得：S＝2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）＝2017．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；‎ ‎【解答】解：f （x）的定义域为（﹣1，+∞），‎ 因为f′（x）＝﹣a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，‎ 可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1＝1，∠AB1D＝，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AB＝a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），‎ ‎＝（﹣1，﹣a，﹣1），＝（0，﹣a，﹣1），‎ ‎∵∠AB1D＝，∴cos＝＝，‎ 解得a＝，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），‎ ‎＝（0，），＝（﹣1，0，1），‎ 设直线AB1与BC1所成角为θ，‎ 则cosθ＝＝＝．‎ ‎∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）＝cosx﹣sinx在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥﹣1，则α的取值范围为（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]‎ ‎【考点】H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥﹣，则 α+∈（，]，由此可得α的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝cosx﹣sinx＝2cos（x+） 在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．‎ 又f（α）≥﹣1，即 cos（α+）≥﹣，则 α+∈（，]，∴α∈（0，]，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．‎ ‎11．（5分）已知半圆C：x2+y2＝1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ＝，则t的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0）] B．[﹣，0）∪（0，] ‎ C．[﹣，0）∪（0，] D．[﹣，0）∪（0，]‎ ‎【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．‎ ‎【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|＝|PB|＝|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，‎ 由于BP与x轴垂直，且∠BPQ＝，则在Rt△PBT中，‎ ‎|BT|＝|PB|＝|t|，‎ 当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，‎ 当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值﹣，则t取得最小值﹣，‎ t＝0时，P与B重合，不符合题意，‎ 则t的取值范围为[﹣，0）]；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎12．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC 对折，使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（　　）‎ A． B．π C． D．‎ ‎【考点】LR：球内接多面体．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4A：数学模型法；5U：球．‎ ‎【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．‎ ‎【解答】解：如下图所示，‎ 易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．‎ 所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．‎ 因为在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND＝，‎ 则BD＝2．‎ 故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径．‎ 因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）已知cosα＝﹣，则cos2α＝　　．‎ ‎【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．‎ ‎【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵cosα＝﹣，‎ ‎∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（﹣）2﹣1＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．‎ ‎14．（5分）在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为　120　（用数字作答）．‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5P：二项式定理．‎ ‎【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．‎ ‎【解答】解：（2+x）5的展开式的通项是 ‎，‎ 所以在（1+x）（2+x）5＝（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，‎ 含x3的项为，‎ 所以x3的系数为120．‎ 故答案为：120．‎ ‎【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（﹣2）＝1，则不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为　[0，2]　．‎ ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；4M：构造法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤1‎ 设g（x）＝f（x）﹣x，‎ 又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），‎ 即函数g（x）为R上的奇函数，‎ 则有g（0）＝0；‎ 又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，‎ 则＝＝﹣1，‎ ‎∵＜1，‎ ‎∴＝﹣1＜0，‎ 即g（x）在[0，+∞）上为减函数，‎ ‎∵g（x）是奇函数，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，‎ ‎∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；‎ g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，‎ 则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），‎ ‎∵g（x）是减函数，‎ ‎∴0≤x≤2，‎ 即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn满足，Sn＝3an﹣2，数列{nan}的前n项和为Tn，则满足Tn＞100的最小的n值为　7　．‎ ‎【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据题意，将Sn＝3an﹣2变形可得Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，两式相减变形可得2an＝3an﹣1，令n＝1求出a1的值，即可得数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，即可得数列{an}的通项公式，进而可得Tn＝1+2×+3×（）2+……+n×（）n﹣1，由错位相减法分析求出Tn的值，若Tn＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，数列{an}满足Sn＝3an﹣2，①‎ 当n≥2时，有Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，②，‎ ‎①﹣②可得：an＝3an﹣3an﹣1，变形可得2an＝3an﹣1，‎ 当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，‎ 则数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则an＝（）n﹣1，‎ 数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1+2×+3×（）2+……+n×（）n﹣1，③‎ 则有Tn＝+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④‎ ‎③﹣④可得：﹣Tn＝1+（）+（）2+……×（）n﹣1﹣n×（）n＝﹣2（1﹣）﹣n×（）n，‎ 变形可得：Tn＝4+（2n﹣4）×（）n，‎ 若Tn＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，‎ 分析可得：n≥7，故满足Tn＞100的最小的n值为7；‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{an}的通项公式，属于基础题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S＝bccosA，C＝．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）若c＝，求S的值．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tanA＝2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．‎ ‎（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵S＝bcsinA＝bccosA，‎ ‎∴sinA＝2cosA，可得：tanA＝2，‎ ‎∵△ABC中，A为锐角，‎ 又∵sin2A+cos2A＝1，‎ ‎∴可得：sinA＝，cosA＝，‎ 又∵C＝，‎ ‎∴cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinAsinC＝．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，sinB＝＝，‎ 由正弦定理，可得：b＝＝3，‎ ‎∴S＝bccosA＝3．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5G：空间角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD＝，PA＝PD＝CD＝BC＝1，‎ ‎∴BD＝，∠ABC＝，，∴，‎ ‎∵AB＝2，∴AD＝，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，‎ ‎∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．‎ 解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO＝，‎ 由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，‎ 以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，‎ 直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A（，0），B（，0），C（﹣，0），P（0，0，），‎ ‎＝（﹣1，0，0），＝（﹣，），‎ 设平面PBC的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取z＝，得＝（0，，），‎ ‎∵＝（，﹣），‎ ‎∴cos＜＞＝＝﹣，‎ ‎∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） ‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 ‎[0，10）‎ ‎[10，20）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．‎ ‎（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表； ‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，‎ ‎（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？‎ ‎（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d 临界值表 P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】BL：独立性检验；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】49：综合法；5I：概率与统计；5O：排列组合．‎ ‎【分析】（I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．‎ ‎（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．‎ ‎【解答】解：（I）列出列联表，‎ ‎ ‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎ 60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2＝＝≈6.061＞5.021．‎ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（6分）‎ ‎（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，‎ 用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．‎ ‎（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．‎ 则P（（X＝0）＝＝，P（（X＝1）＝＝，P（（X＝2）＝＝，‎ 可得X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 可得数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝．‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得＝3，以及直线y＝﹣与椭圆C相切，可得b＝，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得y＝±，‎ ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∵直线y＝﹣与椭圆C相切，‎ ‎∴b＝，‎ ‎∴a＝2‎ ‎∴a2＝4，b2＝3．‎ 故椭圆C的方程为+＝1；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线l的方程为y＝k（x+1），‎ 联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，‎ 则△＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0，‎ ‎∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，‎ ‎∴y1y2＝k2（x1+1）（x2+1）＝﹣，‎ ‎∵（）＜1，‎ ‎∴•＜1，‎ ‎∴（x2﹣1，y2）（x1﹣1，y1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜1，‎ 即++1﹣＜1，‎ 整理可得k2＜4，‎ 解得﹣2＜k＜2，‎ ‎∴直线l存在，且k的取值范围为（﹣2，2）．‎ ‎【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x∈（，2）上有2个零点，求实数a的取值范围．（注e3＞19）‎ ‎（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax2，若函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2证明：．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）问题转化为a＝，令h（x）＝，x∈（，2），根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（Ⅱ）求出2a＝，问题转化为证（x1﹣x2）﹣+1＞0，令x1﹣x2‎ ‎＝t（t＜0），即证不等式t﹣et+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）＝t﹣et+1，则h′（t）＝﹣[﹣（+1）]，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝0，得a＝，‎ 令h（x）＝，x∈（，2），‎ h′（x）＝，‎ 故h（x）在（，1）递减，在（1，2）递增，‎ 又h（）＝2，h（2）＝，h（1）＝e，‎ 故h（2）＞h（），‎ 故a∈（e，2）；‎ ‎（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣ax2＝ex﹣ax﹣ax2，‎ 故g′（x）＝ex﹣2ax﹣a，‎ ‎∵x1，x2是函数g（x）的两个不同的极值点（不妨设x1＜x2），‎ 易知a＞0（若a≤0，则函数f（x）没有或只有1个极值点，与已知矛盾），‎ 且g′（x1）＝0，g′（x2）＝0，故﹣2ax1﹣a＝0，﹣2ax2﹣a＝0，‎ 两式相减得2a＝，‎ 于是要证明＜ln（2a），即证明＜，‎ 两边同除以，即证（x1﹣x2）＞﹣1，‎ 即证（x1﹣x2）﹣+1＞0，‎ 令x1﹣x2＝t（t＜0），‎ 即证不等式t﹣et+1＞0，当t＜0时恒成立，‎ 设h（t）＝t﹣et+1，则h′（t）＝﹣[﹣（+1）]，‎ 设k（t）＝﹣（+1），则k′（t）＝（﹣1），‎ 当t＜0时，k′（t）＜0，k（t）递减，‎ 故k（t）＞k（0）＝0，‎ 即﹣（+1）＞0，故h′（t）＜0，‎ 故h（t）在t＜0时递减，h（t）在t＝0处取最小值h（0）＝0，‎ 故h（t）＞0得证，‎ 故．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线C2于M，N两点，求|MN|．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α＝1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；‎ ‎（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α＝1消去α可得（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，‎ 设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x﹣3）2+（y﹣1）2＝4．‎ ‎（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y﹣x＝1，‎ ‎∴联立y﹣x＝1与（2x﹣3）2+（y﹣1）2＝4得 x＝，∴|MN|＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）+f（2x+1）≥6；‎ ‎（Ⅱ）对a+b＝1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x﹣m）﹣（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】3R：函数恒成立问题；R6：不等式的证明．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5T：不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．‎ ‎（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）＝|x﹣2|+|2x﹣1|＝‎ 当x＜时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；‎ 当≤x≤2时，x+1≥6不成立；‎ 当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．‎ 所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）∵a+b＝1（a，b＞0），‎ ‎∴（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，‎ ‎∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，‎ 即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9‎ ‎∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|＝|﹣4﹣m|‎ ‎∴﹣9≤m+4≤9，‎ ‎∴﹣13≤m≤5．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/17 7:49:09；用户：qgjyuser10372；邮箱：qgjyuser10372.21957750；学号：21985379‎