- 2021-05-14 发布 |
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文档介绍
高考数学数形结合思想论文
数形结合思想论文（11篇） 目录 Ⅰ、新课程高一数学教学中的“数”与“形” Ⅱ、运用数形结合思想处理一类对称问题 Ⅲ、联想为媒----- 催化数形之结合 Ⅳ、数形结合的思想方法的解题应用技巧 Ⅴ、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施 Ⅵ、浅谈数学教学中的数形结合思想 Ⅶ、浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用 Ⅷ、数形结合在不等式中的应用 Ⅸ、数形结合的思想方法--应用篇 Ⅹ、数形结合的思想方法---高考题选讲 Ⅺ、2010届新课标数学考点预测：数形结合的思想方法 Ⅰ、新课程高一数学教学中的“数”与“形” 潘晔晨 嘉兴市第三中学 摘要： 以往的“数形结合”大多出现在教师的习题课中，以灌输为主，这并不完全符合新课程理念。应寻找一种办法，能使学生在上“数形结合”的习题课之前就自主地发现数形结合的存在，并自然地使用数形结合的方法解题。 关键词： 新课程 高一 数形结合 一、“数形结合”的重要性 “数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。 “数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。 二、新课程背景下的“数形结合” 如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中，笔者发现近年来关于“数形结合”的论文也是数不胜数，但其内容大多是一些可以用数形结合巧解的例题。笔者认为在讲解练习时强化“数形结合”固然是一种常用的有效的方法，但是也有缺点，就是学生是否能在老师提示之前自己想到“数形结合”的解法，如果不能，需要靠老师的提示完成，那么下次学生在碰到可以用“数形结合”巧解的题目时，是否还能想到要用“数形结合”来解。如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲“数形结合”？如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好“数形结合”的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得“数形结合”这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构。 “为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，作为一个高中数学教师，笔者对此的理解是：以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。所以，对于上面提到的问题，笔者认为：1、数形结合必须要讲，高一开始就要讲。2、应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解“数形结合”。这样做的目的就是让学生在老师提示用“数形结合”的解法前就自己想到用“数形结合”解题。 三、 关注细节，让学生主动“数形结合” 笔者在去年所教的2008届毕业班学生中，发现一个普遍的问题：一些能用“数形结合”巧解的题目，在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。笔者认为，学生出现这样的问题，老师肯定是有责任的。 问题应该是出在前面两年打基础的时候。所以这次教新高一时，在平时上课中（包括新课和习题课），有目的地强化了一些细节，具体做法如下： 第一步，在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。例如： 在必修1第一章“集合”内容中，除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用。韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便。 在必修1第二章“函数”内容中，在解释指数函数和对数函数这对反函数时，除了像书本上那样讲之外，再增加一种“形” 上的解释。即把一张画了指数函数图像的薄纸翻转过来从反面去观察，从而发现对数函数。在这一过程中（如图1所示），学生感受到了轴和轴的对调，以及互为反函数的两函数图像关于直线对称的性质，更好地理解了反函数的形成。 正面 翻转 背面 （图1） 在必修4第一章“三角函数”内容中，多多强调函数图像的作用，例如在三角函数值比较大小、求三角函数最值等题目中，尽量多用画图的方法解决。 在必修4第二章“平面向量”内容中，由于向量同时具有“形”和“数”两个特点，是数形结合的桥梁，所以向量的题目往往有“数”和“形”两种解法。讲解例题时尽量讲两种解法，让学生理解：1、向量的有向线段表示法（即作图法）就是用平面几何知识解决向量问题，2、向量的坐标表示（即线性运算和数量积）可以把几何问题算出来。 在必修5第二章“数列”内容中，用函数图像表示出等差等比数列的通项公式，这样学生就能很容易地分辨出等差数列和等比数列的通项公式。把等差数列的前项和公式画成函数图像，就能帮助学生理解等差数列的的最值问题。 在必修5第三章“不等式”内容中，在解一元二次不等式时，结合二次函数图像，着重分析其几何意义，从图象上找出题目的答案。 在必修2第二章“立体几何”内容中，在时间允许且学生学有余力的情况下，适当介绍建立空间直角坐标系后用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行运算的方法，让学生体会到将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算的妙处。 一句话总结，就是在学习偏“数”的内容时别让学生忘记“形”，在学习偏“形”的内容时别让学生忘记“数”。为以后做题时学生的主动“数形结合”打好基础。 第二步，习题课中让“数”“形”之妙体现出来。 在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。 还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案。对于这类题目，笔者认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等。（板书结构如图2所示） 这些做法目的很明确，就是要培养学生的“主动数形结合”能力。经过一年时间的培养，笔者找出去年教高三时保留的几份试卷中的5道可用数形结合解的题目，对今年所教班级的学生进行测试分析，得到对比数据如下： 题号 1 2 3 4 5 去年学生人数 112 112 112 112 112 用到“数形结合”人数 67 32 85 11 54 比例（去年） 59.8% 28.5% 75.8% 9.8% 48.2% 今年学生人数 157 157 157 157 157 用到“数形结合”人数 125 60 132 29 85 比例（今年） 79.6% 38.2% 84% 18.4% 54.1% 这次的尝试对于提高学生的解题能力是有明显效果的，但笔者认为这样做的好处更多的是把“数形结合”作为一种数学思想，去培养学生的数学分析能力，而不只是一种解题方法。 参考文献： [1] 王君芬. 例谈数学教学中的数形结合[J]. 黑龙江科技信息, 2009, (14) [2] 蔡东兴. 数形结合思想方法的应用[J]. 高中数学教与学, 2009, (02) [3] 贾宏伟. 新课标下高中数学学习的几种思想方法[J]. 新西部, 2008, (11) [4] 刘军刚. 新数形结合的应用浅析[J]. 新课程研究(基础教育), 2008, (04) Ⅱ、运用数形结合思想处理一类对称问题 牡丹江市第一高级中学 梁玉俊 圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题，已经有许多文章进行了论述。通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。即引进新参量，建立函数关系式，转化为函数值域或构造关于参量的不等式，寻求参量的范围。通过教学实践，笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解决，也可以用数形结合思想解决。设想寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围，下面举几例加以说明。 例1：已知椭圆C：，确定m的取值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线L：y=4x+m对称。 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0) 则有 (1) (2) (1)-(2)得 A、B关于L对称 KAB = y0 = 6x0 于是以为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段，不包括端点。 与联立得两交点A1(),B1()， 问题转化为L与线段 有交点问题。 由图形知，当L过A1点时，m最大值为 ，当L过B1点时，m最小值为 -， 例1的解法提供了一种解决此类问题的新思路，而且运算过程简单，从图形上可以直观地看出结果，真正体现了数形结合思想的作用。那么此种想法是否适合其它曲线呢？回答是肯定的。 例2：曲线C：x-y2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m对称两点A、B，求m的取值范围。 解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0)，则有 --2=0 ① --2=0 ② ①-②得 (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 由题意知 x1-x2¹0，上式两端同除x1-x2，得 A，B关于L对称 KAB = ，y0 = ,x0 = - m 于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y = 在抛物线内部的一条射线，不包括端点。 将y =代入抛物线方程得交点P(,)， 问题转化为L与射线y =(x>)有交点。 将P点坐标代入L方程得m =，由图形知，m取值范围为 由例1、例2可以看出，若直线L斜率已知，则可以转化为L与平行弦中点轨迹相交问题处理，关键是寻求与已知直线垂直的平行弦中点轨迹，然后再利用数形结合求参量范围。那么，这种解法可信度如何呢？我们看看上两例，例1中当L与A1B1有交点时，此交点恰是与L垂直的弦中点，就保证了该弦两端点关于L对称。所以只要L与平行弦中点轨迹有交点时，就能保证曲线上存在两点关于L对称。 例3、已知椭圆C：，确定k的范围，使C上存在不同的两点A、B关于直线L：对称。 解：设，，， 当k=0时，不符题意，所以， 将A、B坐标代入椭圆方程得 (1) (2) (1)-(2)得 即 ，有 ，又M在L上， ，， 于是以为斜率的弦中点轨迹为在椭圆内部的一段A1B1，如图， 将代入椭圆方程得， 问题转化为L与线段A1B1有交点，由图形知 例4、已知L：能垂直平分曲线C：某一弦AB，求k范围。 解：由抛物线对称性，当k=0时，C上不存在A、B关于L对称，所以， 设，，， 将A、B坐标代入抛物线方程得 (1) (2) (1)-(2)得 ， ，，， 又在L上， ， 于是，，消k得 斜率为的弦中点轨迹为在抛物线内部一段且过(1,1)点，如图， 而L过定点(1,1)。当L与相切时得k=-2，由图形知 例5、曲线C：上存在关于L：对称的两点A、B，求k的范围。 解：当k=0时，L为x轴，由双曲线对称性知 k=0不符合题意， 当时，设，，， 将A、B坐标代入双曲线方程得 (1) (2) (1)-(2)得， ，， 又，， 以为斜率的弦中点轨迹方程为x=-2， 直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1，B1，C1，D1， 由双曲线对称性可以看出，以为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1，D1为端点的两条射线（在x=-2上）， L过定点C(-4 ，0) 由图形知，时，L与弦中点轨迹有交点，即C上存在两点A、B关于L对称。 所以 通过以上几例可以看出，运用数形结合思想解决这类问题，可以使运算过程简化，并具有很强的直观性，处理此类问题思路简单。最后笔者想说的是，数学思想无处不在，只要我们注重挖掘，并能将其运用于解题实践，这样将会给我们带来无穷的乐趣。 Ⅲ、联想为媒----- 催化数形之结合 浙江省上虞市春晖中学 王启东 数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢？即怎样催化数与形的结合呢？最好的方法就是运用数形结合的催化剂——联想，运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。本文就如何以联想为媒，介绍一些常用的联想策略。 一、联想图形的交点 例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的方程的解的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！如能联想图形的交点进行数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。 的对称轴为 即 又 从而作出的图象，可知方程有3个解。 例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程 有7个不同实数解的充要条件是（ ） 分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（C） 二、联想绝对值的几何意义 例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。 分析：由 的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。 ：不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即 而：函数在上单调递减，即 由题意可得： 三、联想一次函数 例4、已知，求证： 分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成变元，看成常数，构造一次函数 而 又 又 （2）令 同理可得 从而 即 四、联想二次函数 例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。 设。又为偶函数，由图可知 五、联想反函数的性质 例6、方程的实根分别为，则= 分析：本题 不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解 令 互为反函数，其图象关于对称，设 即 六、联想函数的单调性 例7、已知实数（为自然对数的底），证明： 分析：本题直接证较难，，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证 考虑函数在上的单调性 即在上单调递减， 七、联想函数奇偶性 例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 分析：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称， 则奇函数可得：，则又由对称性知： 同理： 0 八、联想斜率公式 例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 分析：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。 令，则由已知有得到 这个二元一次不等式组的解为内的点的集合 由的几何意义为过点和点的直线的斜率 由此可以看出：即的取值范围是。 例10、计算： 分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。 本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为 则 九、联想两点间的距离公式 例11、设，求证： 分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。 不妨设，构造如图的，其中 则 在中，有 十、联想点到直线的距离公式 例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。 分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。 要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动 点距离最小即可 即点到直线的距离， 而 例13、方程表示的曲线是 分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。 原方程可化为： 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等 方程表示的曲线是抛物线 十一、联想直线的截距 例14、已知，求的取值范围。 分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。 可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知： 即 注：本题也可用三角换元。 例15、求函数的最值。 分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。 令， 则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点 又 十二、联想定比分点坐标公式 例16、已知是定义在上的单调函数，实数，，，若，则（ ）（05年辽宁高考） A. B. C. D. 分析：本题如何探求，不知道，直接求解困难。 若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。 不妨设，易知为有向线段的分点， 又是定义在上的单调函数及 可知为有向线段的外分点，。故选（A） Ⅳ、数形结合的思想方法的解题应用技巧 修水一中 徐永忠 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。 数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。 在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。 其基本模型有： 1、 距离函数 2、 斜率函数 3、Ax＋By 截距函数 4、 5、 6、 双曲线 例题分析 『例1』 函数y＝－xcosx的部分图像是（ ） 分析：这是一道以数解形的题，显然y=－xcosx为奇函数，可排除A、C，取x＝0.1，y＝－0.1cos0.1<0，图象在x轴下方，排除B. 故选D. x y o 9 1 『例2』已知数列满足最大时，n＝ 。 分析 考虑函数：的图像，注意到 有n＝9时，最大。 『例3』已知满足不等式;试求f（－2）的取值范围。 错解：由得： ①; ② ①+②得： ；∴ ③ （－1）×②+①得：④ 由③、④得： 错因：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题： 错解：约束条件： 目标函数： z＝4a－2b 正解：约束条件： 目标函数： z＝4a－2b ∴，即 1.5 3 0 X 4a－2b＝0 4a－2b＝3 4a－2b＝12 Y 1.5 错解 4a－2b＝10 0 Y 1.5 1.5 3 X 4a－2b＝0 4a－2b＝5 正解 从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。 y x 0 C D A B 『例4』已知那么下列命题正确的是（ ） A、若、 是第一象限角，则 B、若、 是第二象限角，则 C、若、 是第三象限角，则 D、若、 是第四象限角，则 分析 考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角、的终边，∵OC为的余弦线，OD为的余弦线，则有知A错，依1 1 A C B 0 y x 次判断知选D。 『例5』设、分别是方程 的根，则＋＝ 。 分析 依题意，分别作出函数①y＝x－4 ② 及③的图像，如图，曲线①与③、①与②的交点B、A的横坐标即为、 ，可知B、A关于直线y＝x对称，由方程组得点C的坐标为（2,2），∴＋＝4 P 0 y X C 『例6』如果实数x、y满足等式，那么的最大值为（ ） A、 B、 C、 D、 分析 初看此题，形式上是一道代数题，站在代数的角度看，令人茫然无措，对关系式化为，很自然地与圆的方程联系起来，而恰为点（x，y）与原点连线的斜率，这便把问题与“形”结合起来。问题相当于如下的几何问题：动点P（x，y）在圆C上运动，求直线OP的斜率的最大值。观察图形易得：当P在第一象限，并且OP与圆C相切时，OP的斜率最大，这时， X A 0 y XA -5 即OP的斜率的最大值为。 『例7』不等式解集为 。 分析 若把不等式转化为不等式组： 分别解这两个不等式组，这运算量较大，且费时，但是运用数形结合法，问题较易解决，分别作出:y=x与y＝得图像。 y 2 0 4 x 结合图形易见：当时，，因此只需求出方程的根即可，解方程得，故原不等式的解集为。 『例8』函数的值域是 。 分析 此题用一般得方法很难求出u的范围。由于右端根号内同为一次函数，故可令消去t得：所给函数化为含参数u的直线系y＝－x＋u，它与椭圆（在第一象限的部分，包括端点）右公共点。如图知，当直线与椭圆相切于第一象限时u取最大值，此时 由方程组，由 因直线过第一象限， 故所求函数的值域为。 『例9』关于x的方程在（－1,1）内恰有一个实根，则k的范围是 。 分析 该问题直接用二次函数的根的分布 相关知识解题，学生不易把握其等价的 充要条件且运算量偏大；若采用数形结 合法，则问题可转化为抛物线 与直线y＝k的交点个数问题，作出这两个函数的图像，则可得 y 5/2 0 －9/16 -1 -1/2 x 1 『例10』解方程 『例11』过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线，分别交抛物线的准线于C、D两点，又过C、D分别作抛物线轴的平行线，分别交抛物线于A、B．求证：A、F、B共线． 分析 本题若用解析法，须求出A、B的坐标，再证kFA=kFB，这会引起复杂的计算． 现用几何法证明：设角度如图13－16所示．由抛物线定义有：AF=AC，BF=BD坝∠1=∠3，∠2=∠4．又AC∥OF，BD∥OF，则∠3=∠5，∠4=∠6．由此得∠1=∠5，∠2=∠6．又因为CF⊥ 证得A、F、B三点共线． 『例12』若a＋1≠0．求证： 分析 由不等式左边联想到两点间距离的平方．建立平面直角坐标系如图所示． 构造直线l：x+y+1=0，则A(a2，b2+1)、 由于｜AB｜≥d(d为点A到直线l的距离)， 『例13』 在△ABC中，巳知AB＜AC，AD是中线，AE是角A的平分线，求证： 分析 此题用三角法证明较难寻找解题途径，用解析法则非常巧妙．如图所示，建立直角坐标系，以A为原点，角平分线AE 『例14』 已知实数x、y满足不等式组 思路分析 由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2=4的右半圆（含边界），可改写为y＋3=z（x＋1），把z看作参数，则此方程表示过定点P(-1，-3)，斜率为z的直线族．则所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与点P(-1，-3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P和点A（0,2）的直线斜率最大，．过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B(a，b)，则过B点的切线方程为ax＋by=4．又B在半圆周上，P在切线上，则有 解得因此。 综上可知函数的值域为。 『例15』 设f(x)是定义在R上的周期为2的周期偶函数，已知当x∈［2，3］时，f(x)=x．求x∈［-2，0］时f(x)的解析式． 分析 先画出x∈［2，3］时f(x)的图象；再由周期性可画出f(x)在［0，1］和［-2，-1］上的图象，再由偶函数图象关于y轴对称的性质，可画出x∈［-3，-2］和x∈［-1，0］的图象．由图象不难求出 因此当x∈［－2，0］时，f(x)=3-｜x＋1｜． 『例16』 已知n为自然数，实数a＞1．解关于x的不等式 logax-4loga2x＋12loga3x＋…＋n(-2)n-1loganx 分析 此题直接求解非常困难，可创设函数，再利用函数的图象求解不等式．由数列求和公式可知，原不等式可变形为 当n为奇数时，不等式①等价于logax＞loga(x2-a)；当n为偶数 y2=loga(x2-a)，并作出它们的示意图(图13－26)．由x2-a=x，解 形数结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法，它能沟通数与形的内在联系．在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合，直观又入微，提高形数联想的灵活性，有助于思维素质的发展，有利于提高解题能力． Ⅴ、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。 1．“数”“形”结合是推动数学发展的动力 （1）“数”产生于各种“形”的计算, “数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。 例如解析几何中几何问题的代数化，就是用代数方法解决几何问题，如关于直线斜率、关于距离、关于线段定比分点等等。“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合，而正是这种结合开创了数学的新局面。 (2)对“形”的相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是无理数的发现：正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段，即不存在一条线段,用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式 2．数形结合在教学中的运用 “数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在初一代数教学中就要有意识地渗透数形结合的思想和方法。 在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。 （1）利用图象，创造学习负数情境。初一学生通过温度计引出数轴概念，能够具体、直观地掌握负数的意义。利用数轴把点与数的对应关系揭示出来，这样数量关系常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。 （2）相反数 在数轴上,相反数就是在原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是它本身即原点。如图： （3） 绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。 （4） 倒数在数轴上表示a与1的位置关系。可以结合数轴来加以分析，把0、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。 观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征。例如，利用数轴可以比较两个有理数大小，学生在学习两个负数比较大小时，常常转不过符号关，利用数轴学生可以准确、快速地确定结论。相反数概念的引入、理解，都依赖“数轴”，特别是教材第一次出现字母表示数：数的相反数是时，学生会出现思维难点，利用数轴可以帮助学生理解：可以是正数、0、负数。 数、形在一定的条件下的相互转化是数学中最常见的规律之一，在高中数学教学的内容中，把数和形结合起来研究的方法贯穿始终。在介绍函数概念时,介绍集合-用文氏图表示集合的关系；用数轴的全体或部分来表示定义域、值域,也是几何形象；函数关系与图象--用平面点集组成的曲线来描述函数的性质:奇偶性--关于原点或坐标轴的对称性,单调性--图象的走势升降,最大值-最高点,最小值-最低点,有界性--是否存在平行线或直线,周期性--图象能否有规律地重复出现或叠合等等。在代数的核心内容函数教学中,充满了几何语言、几何形象的描述及其对我们理解应用的帮助。 三角函数、复数、微积分与立体几何等内容中，都可以利用数形结合，帮助我们更快、更好地解决问题。在中学数学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。 3．数形结合在解题中的运用 作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。 （1） “数”中思“形” 例1. 如果实数满足等式，那么的最大值是什么？ 解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与⊙相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =，所以 ==，所以 = =。 例2. 解不等式： 解: 设 ，即 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。 （2）“形”中觅“数” 例3.求方程的解的个数。 分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。 因为, 所以 在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。 例4.已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。 分析：作出双曲线 的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为 。 所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。 例5.设复数满足=π ,求的最大值。 解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图 ∵满足=π ∴复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为 ==,故的最大值是=。 在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点： 1. 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。 2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。 3. 切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。 4．多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁 对于一些较复杂、抽象、需有一定想象能力、老师光用嘴和笔说不清的问题，借助于多媒体将数学实验引入课堂教学，可以活跃课堂气氛，减轻教学负担，激发学生的探究欲望，培养学生观察、归纳、猜想、发现的能力。多媒体技术使数学的实验手段丰富起来。计算机强大的计算、图形、图像、动画等能力，能为抽象思维提供直观模型，使数学关系的静态结构表现为时空中的动态过程。数学实验能使学生加深对数学概念的理解，通过相应的技术手段，为数学的学习提供了绝好的工具和途径。学生通过实验，能探索数学规律，发现数学命题，提高创新能力。 例如，利用《几何画板》画图后，马上就可以测算出数值，并能把图形变化过程中的数量关系的变化（哪怕是微小的变化）直观地显示出来，数与形的变化同时进行，数形结合，为数学的学习提供了绝好的试验工具，这在传统数学教学中根本无法办到，《几何画板》是帮助学生学通数学的有效工具。 例如，利用计算机做下列数学实验，学生一人一机，机内装有显示一般正弦函数y=Asin(ωx+φ)的图象的应用软件（操作界面见图2）。启动该软件后，学生可用鼠标任意改变画面中的点C、点J、点F的位置，亦即改变参数A、ω、φ的值，使图象产生相应的变化。学生手、眼、脑并用，通过考察函数式y=Asin(ωx+φ)中三个参数A、ω、φ对函数图象的影响，对图象的振幅变换、周期变换、相位变换产生感性认识。整个过程直观、形象，充分显现数与形相互依赖的变化过程，对于学生更好的理解和掌握正弦函数的图象和性质，从理论上探究相关的数学规律打下坚实的基础。 下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实验”的做法。如图3，在△ABC中，E是OB边上的任意一点，以E为顶点作△ABC的内接矩形EFGH，使矩形的一边EH在OB上，使点E在OB上运动，矩形面积随之变化。设OE为x，建立x与矩形面积间的函数关系，让学生观察，当x变化时，矩形面积的变化特点及是否有最大值。然后显示当E点运动时，对应的动点K(x，S)(S为矩形面积)的运动轨迹(其轨迹为开口向下的一段抛物线)。最后改变△ABC的形状，研究△ABC的底边BC或BC边上的高变化时，对抛物线形状有什么影响。 计算机强大的图形、图像功能，把“数”与“形”紧紧结合在一起，使抽象的数学变得形象、生动、有趣，大大激发了学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥。 总之，教师可以通过各种形式有意识的使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用“数形结合”观点去分析问题，解决问题。但如何进一步提高数形结合法解题的能力，必须积累解题的经验,才能享受到成功的喜悦。 Ⅵ、浅谈数学教学中的数形结合思想 摘 要：数形结合思想是重要的数学思想方法之一，“数”和“形”是事物本质的两个表现形式，理解并领悟这点是数学学习的重要方面，并常极有利于解决问题；要注意正确地应用它，才能达到应有的目的。 关键词：数学教学；数形结合 引言 “数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立辩证统一的关系。数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。 一、 数形结合思想的实质、地位 所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“书缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。集体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决的思想称为数形结合思想。 事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化成数量关系来解决。利用数形结合，能够有效地讲解有关基本概念、定理，培养学生的能力，解题中运用它能够使复杂的问题“形象”、明了化，提高学生分析，解决问题的能力等。 二、 数形结合的原则 数形结合一般遵循以下三个原则： 1、等价原则 等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。 例题 方程的实数根的个数为（） A、3个 B、5个 C、7个 D、9个 错解：图象法，作函数与的草图。由于两个函数均为奇函数，故只需要作的部分，又因为x>8时，>2。故图形只需取[]就行了（如图1）。除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C。 图1 图2 分析：当时，。因此在内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示。 2、双向性原则 双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索。 3、简单性原则 简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了。 一、 数形结合的途径 数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径 1、由数到形的转换途径 （1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。 （2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。 （3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。 （4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。 2、由形到数的转换途径 （1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 （2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。 （3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。 四、数形结合在数学教学中的应用 1、与不等式有关的问题 应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义。 例题1设变量、、在区间中取值， 试证： 分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量、、在区间中取值构造一个边长为1的正三角形。将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。 解：如图，正三角形边长为1，设点、、分别在边、和上，且有，，，则，， ，， ++ ∴ 即，结论得证 B 2、与方程的根有关的问题 应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。 例题2、方程的实根个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 分析：这道题若直观通过解1个3次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出 与的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。故选A 3、与函数有关的问题 例题3、求二元函数的最小值 分析：可将的表达式看作是两点、之间距离的平方且 ，，所以可将、分别看作圆与双曲线上一点 易知 ∴ 4、与复数有关的问题 例题4、的2次方程中，均为复数且，设这个方程的两个根为和，满足，求的最大值、最小值 分析：由韦达定理，得 结合已知得 ，即复数在以为圆心，7为半径的圆上 ∵ ∴原点在上述圆内，连接延长交圆于点与点 则， 5、在解析几何上的应用 例题5、设 、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上有点使 ∠且，则双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 分析：利用双曲线的图形来反映数量之间的关系 解：由已知 根据双曲线的定义：，得 在中，由勾股定理得 即双曲线的离心率 6、在解决实际问题方面的应用 在现实生活中我们常会遇到一些关于数学方面的问题，此时若能对数学知识理解掌握好，巧用数形结合的思想，在现实生活中有些问题便迎刃而解。 例6、某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元，2 千元。甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？ 解：设加工甲产品x件，加工乙产品y件 目标函数， 线性约束条件为 作出可行域，如右图所示阴影部分 把变形为平行直线系 由图可知 经过可行域上点时， 截距当最大 解方程组 得（200，100） 即 ∴当生产甲产品200件，乙产品100件时，可使收入最大，最大为80万。 综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长补短”。 五、正确使用数形结合思想，有可能出现的问题 “数”与“形”作为数学研究的两个基本对象，既是统一又是对立。运用数形结合思想时，要注意“数”与“形”的等价原则。下面仅举例分析最常见的错误。 画图不准确，忽视考虑图形的整体性，如等价性原则中的例题所示。 在使用数形结合思想解题时，出现的问题不局限做草图，所以在应用数形结合法解题时应注意三个问题： 1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系 2、通过坐标系做好“数”与“形”之间的转化 3、正确确定变量的取值范围 通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平。 主要参考文献： [1] 欧阳维诚,张垚,肖果能等．数学思想方法选讲编著长沙.：湖南教育出版社，2000. [2] 张雄，李得虎. 数学方法与解题研究. 等教育出版社. [3] 王繁. 浅谈初等数学教学中的数形结合思想. 成都教育学院学报2006，6. [4] 张宏良. 浅谈数学教学中的数形结合思想, 衡水学院学报2005，3. [5] 傅梦生. 数形结合的应用策略研究, 科技咨询导报2007. [6] 张连延. 谈数形结合思想在解题过程中的巧用, 学科探究. [7] 任庆娥，张萍. 数形结合思想在解题中的应用, 渭南师范学院学报. [8] 康小玲等. 数形结合法[J]数学教学通讯，2002（05）. [9] 袁小明. 数学思想史导论[M] 南宁：广西教育出版社，1991. Ⅶ、浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷. 所谓数形结合，就是根据数与形 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 数与形是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面。本文试从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用. 一、利用数形结合思想解决集合的问题． 1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题． 一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题．例如： 例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？ 分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆 的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有： 即： ∴，即同时参加数理化小组的有1人． C（化） A（数） B（理） 图1 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．如： 当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观，例如： 例2、已知集合 ⑴若，求的范围.⑵若，求的范围． 分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:,这时的值不可能存在（图2①） 要使，当a >0时集合A应该覆盖集合B,应有成立 ，。 当时,,显然成立.故时的取值范围为：（图2 ②） 。 。 －１ ３ ② 。 。 －１ 3 ① 图2 二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题． 1、利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题． 利用二次函数 的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根，根据二次函数与x轴的交点情况就可以确定方程f(x)=0的实根的情况，即通过的相互转化，利用函数y=f(x)的图像可以直观解决问题。例如： 例3、为何值时，方程的两根在之内？ 分析：显然,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图（图3），从图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个 交点在之间,必须满足条件:即 0 X Y 1 －1 从而可解得的取值范围为且 图3 例4、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式． 0 X Y 分析：我们可联想对应的二次函数, 的草图（图4）． 这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：．故可求出与应满足的关系式为:． 图4 2、利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题． 对于一些不规则的方程，通过构造两个函数，然后，把方程的根转化为两个函数的交点问题。例如： 例5、解方程 分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数,做出这两个函 数的图像（图5）,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为． 2 0 0.4 X Y y=3x 2 1 y=2-x 图5 例6、设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况． 分析：我们可把这个问题转化为确定函数与图像（图6）交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出 ： ①当时， 与没有交点，这时原方程无解; ②当时， 与有两个交点,原方程有两个不同的解; ③当时， 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； －1 －1 0 X 1 1 ④当时， 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个； ⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个． 图6 3、利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集． 求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．例如： 例7、 分析：本题若用常规解法，要分两种情形： 比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下： ， 图7 4、利用三角函数的图像解不等式． 对于一些三角不等式，可灵活利用三角函数的图像，转化为两个三角函数的图像 的关系问题。例如： 例8、解不等式 分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数在上做出它们的图像（图8）,得到四个不同的交点,横坐标分别为:,而当在区间内时,的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：． 0 x Y 1 X 图8 三、利用数形结合思想比较函数值的大小． 一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．例如： 例9、试判断三个数间的大小顺序． 分析：这三个数我们可以看成三个函数: 在时， 0 Y 1 1 －1 0.3 • • • X 所对应的函数值．在同一坐标系内做出这三个函数的图像(图9)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置， 从而可得出结论：． 图9 四、利用数形结合思想解决三角面积问题 在一些含有一般三角形的题目中，若要求其面积，都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决；但若能利用三角函数的图像及数形结合思想，则可以简化计算过程。例如： 例10、在△ABC中，则△ABC的周长为( ). （A） （B） （C） （D） 分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长到,使（图10）,则 ,由正弦定理,即,由此,选(C) 图10 例11、设函数f (x)的图像与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f (x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝在[0，]上的面积为（n∈N*）， （！）y＝sin3x在[0,]上的面积为 ； （ii）y＝sin（3 x－）＋1在[，]上的面积为 . 分析：本题给出了y＝在[0，]上的面积为,需要由此类比y＝sin3x在[0,]上的面积及y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积,这需要寻求相似性,其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件,要注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是时一个周期的面积,第(2)问又是y＝sin3x经过平移和翻转后一个半周期的面积,画出y＝sin（3 x－）＋1在[，]上图像(图11),就可以容易地得出答案。 图11 五、 利用数形结合思想解决三角不等式问题． 在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可做出对应三角函数的图像．在题目中如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题,简便易行．例如： 例12、解不等式． 0 X Y P 分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于轴的有向线段来表示．我们先在轴上取一点P，使，恰好表示角的正弦线,过点P作轴的平行线交单位圆于点,在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为)．而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P向上平移至与单位圆交点处)．这样所扫过的范围即为所求的角(图12)．故原不等式的解集为：． 图12 六、利用数形结合思想解决等式、不等式证明以及最值问题。 1、利用点到直线的距离公式解决等式的证明问题。 在一些恒等式中，很多要转化为点到直线的距离公式 来求解，从而运用数形结合的思想方法，可以简化问题。例如： 例13、已知+=，， 求证 分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程， 进而由点A（,）与点B（, ）坐标特点知其在单位圆上，在平面直角坐标系中，点A （,sinα）与点B（, sinβ）是直线l: 与单位圆x2+y2=1的两个交点(图13) 从而 =2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l的距离 由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即 ∴ 图13 2、利用两点间距离公式解决不等式的证明以及最值问题。 在一些等式或代数式的题目中，其结构含有明显的几何意义，如含有根号的不等式、代数式，都有明显的几何意义，若能运用数形结合的思想方法，利用两点间距离公式，可以很快解决问题，例如： 例14、求证： （与c、b与d不同时相等） 分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式。在平面直角坐标系中设A（,b）,B(,),O(0,0).如图14 ｜AB｜＝， ｜AO｜＝ , ｜BO｜＝ 当A、B、O 三点共线时｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜. 当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜. 当A、B、O三点共线，且A、B在O 点侧时，或A、B之一与原点O 重合时，｜AB｜＝｜AO｜+｜BO｜ .综上可证. A（,) ) (a,b ) ) B (,) 图14 例15、求函数y=的最小值. 分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维 受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索 函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为 ＝ 令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在X轴上求一点P， 使｜PA｜+｜PB｜有最小值.如图15，由于AB在X轴同侧，故取A关于X轴的对称点，故（｜PA｜+｜PB｜）min= A B P C 图15 3、利用换元法解决含有根号的函数的最值问题。 在一些含有根号的代数式的题目中，其结构没有明显的几何意义，此时利用两点间距离公式可能做不出来，若能利用换元法，运用数形结合的思想方法，也可以很快解决问题，例如： 例16、 分析：由于函数右端根号内t同为t的一次式，若只做简单换元 无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到上面函数右边有两个根号，故可采用两步换元： ， 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图16） 相切于第一象限时，u取最大值 图16 4、利用复数的模的几何意义求复数的模的最值。 在求解一些关于复数的题目中，经常利用复数的模的几何意义来求解，如： 表示复数z对应的点Z到原点O的距离； 表示复数z和对应的点Z和两点的距离； =1表示单位圆 =表示复数和两点的连线的垂直平分线。 在关于复数的题目中，若能利用复数的模的几何意义来求解，可以达到意想不到的效果，例如： 例17、已知复数z满足，求z的模的最大值、最小值。 分析：由于=，有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数z对应的点Z，在以（2，2）为圆心，半径为的圆上（图17），而表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，取得最值， ∴复数z的模的最大值为，最小值为。 图17 5、利用斜率公式求函数的值域及线性规划问题。 在一些分子、分母都是三角函数或一次函数的代数式中，要求其值域，很多都转化为经过两点的直线的来求解，例如： 例18、 分析：很明显，函数 ， ， 图18 例19、已知点P（,y）在线性区域内， 求（1）U＝（2）V＝的值域 A B M 分析：由线性规划可知P（,y）在直角OAB内（包括边界），实质上是点M（4，3）到直线AB的距离；V的值域实质上是直线PM斜率的取值范围(图19). 图19 数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。 参考文献 [1]邱海泉，浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用，河北：河北理科教学研究 2005，03，40-43 [2]杨明，浅谈数学思想方法在解题中的应用，河北：河北理科教学研究 2008，03，39-40. Ⅷ、数形结合在不等式中的应用 在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用数形结合的方法进行求解。应用数形结合的典型问题有两大类： 第一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。同学们可能觉得直观的作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正确答案了。 大思路 知道这类题目的大思路对你非常重要，因为它可以让你清楚每一步该去做什么。 大思路是这样的： 第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表达式。 既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式左边写成y=f(x)，右边写成y=g(x)的形式 第二步：做出和的函数图像 第三步：根据不等式的条件判断满足不等式的区域，这个区域就是不等式的解集，我们要求的就是的图像在的上方时 x的取值范围 体验1：解不等式 体验过程： 第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表达式。 既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式两边的表达式都写成y=f(x)的形式，即： 第二步：做出和的函数图像 第三步：根据不等式，我们要求的就是的图像在的上方时 x的取值范围，所以这个不等式的解集为 小 结： 对于这类题目我们必须注意两个函数的取值范围，f(x)的取值范围是R，而g(x)的取值范围是x>0，所以函数图像如图所示，在x>0的区域都有f(x)>g(x)，所以x>0的区域就是不等式的解集。函数的取值范围是同学们容易忽略的地方，在作函数图像时我们一定要注意函数的取值范围。 第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据不等式组我们可以求出x,y的取值范围，在这个区域内让你求一个表达式的最值问题，这个要求的量又可以看成一个函数的参数，这个时候你只要把这个函数的图像作出来，然后就可以在这个给定的区域内求出这个参数的最值问题。 大思路 这类题目的大思路是这样的： 第一步：由给定的不等式条件求出x,y所在的区域 第二步：把要求的表达式转化成y=f(x)的形式，并把这个所求的量看成是一个参数 第三步：在这个区域内作出f(x)的图像 第四步：求出这个参数的最值 体验2：若x, y满足条件，则的最大值是多少？ 体验思路： 第一步：在根据已知的条件，我们知道x,y的范围是在y轴的右侧，根据 我们可知x,y应该在直线的下方，再由第三个条件知道x,y应该在直线的上方，由这三个已知条件我们可以求出x,y的区域，如图所示的阴影部分： 第二步：我们把要求的表达式：转化成y=f(x)的形式，即： ，这时候就是直线在y轴上的2倍截距，Z最大也就是直线的截距最大。 第三步：在阴影部分内作出函数的图像 第四步：当直线过直线与直线的交点A(1,1)时截距最大，最大值为2.5，所以Zmax=5。 小 结： 这类题目的关键步骤是先找出满足不等式组x,y的区域，然后把要求表达式转化成y=f(x)的形式，并在这个区域内作出函数图像，这样就可以求出表达式的最值问题了。 实践1：已知不等式在（0，）上恒成立，则a的取值范围是多少？ 实践2：若x,y满足条件，能使的最大值为12的k的值是多少？ 实践题答案 实践1 指点迷津 首先我们确定要做哪些函数图像，并写出这些函数表达式，然后作出函数图像，并根据不等式的关系求出满足不等式的区域。 实践略解 首先我们确定要做出和的图像。当x=1/2时， 若函数的图像也过（1/2，1/4），则， 所以 若,如绿线所示，也适合题意. 由于在定义域(0,1/2)内，，所以，因此我们就可以得到a的取值范围是：. 实践2 指点迷津 这个题目同体验1的题目非常类似，我们也用同样的方法进行求解 实践略解 首先我们做出各个函数图像，并找出x,y满足不等式组的区域，如图阴影部分所示：其中直线和直线的交点是 当直线x+3y=Z过A时，Z有最大值12，所以，. Ⅸ、数形结合的思想方法--应用篇 一、 知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 一、 解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 二、 数形结合的思想方法的应用 (一) 解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围. 解：直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为-. ∵ l与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大. 【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后，可看出交点M（0，-1）和斜率-.此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围. 2. 与距离有关的问题 【例2】求：y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（小）值. 【分析】可看成求两动点P（cosθ，sinθ）与Q（cosα-3，sinα+2）之间距离的最值问题. 解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图： 3. 与截距有关的问题 【例3】若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值范围. 解：曲线x=是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），k是直线y=x+k在y轴上的截距. 由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=- ，或-1查看更多