‎2017年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）‎

‎2017年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）‎

‎2017年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1} B．{1，2} C．{0，3} D．{﹣1，1，2，3}‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）已知平面向量=（k，3），=（1，4），若⊥，则实数k为（　　）‎ A．﹣12 B．12 C． D．‎ ‎4．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎5．（5分）已知△ABC中，A=，B=，a=1，则b等于（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎6．（5分）在区间（0，4）上任取一实数x，则2x＜2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．16π D．32π ‎8．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎9．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．36+6 B．36+3 C．54 D．27‎ ‎10．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（　　）‎ A．21 B．22 C．23 D．24‎ ‎11．（5分）已知f（x）=2sin2x+2sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调减区间分别为（　　）‎ A．2π，[，] B．π，[，] C．2π，[﹣，] D．π，[﹣，]‎ ‎12．（5分）已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1）的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）双曲线的离心率为　 　．‎ ‎14．（5分）已知变量x，y满足约束任务，则z=x+2y的最小值是　 　．‎ ‎15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}是等差数列，满足a1=2，a4=8，数列{bn}是等比数列，满足b2=4，b5=32．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2016年8月某日起连续x天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：‎ 空气质量指数（μg/m3）‎ ‎0﹣50‎ ‎51﹣100‎ ‎101﹣150‎ ‎151﹣200‎ ‎201﹣250‎ 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎20‎ ‎40‎ y ‎10‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x、y的值，并完成频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．‎ ‎19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C1﹣ABC的体积．‎ ‎20．（12分）函数f（x）=ax+xlnx在x=1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若y=f（x）﹣m﹣1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F1，F2，离心率，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． ‎ ‎（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣x，（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1} B．{1，2} C．{0，3} D．{﹣1，1，2，3}‎ ‎【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，‎ B={﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={1，2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解：z==，‎ 则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣2，﹣1），位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 ‎　‎ ‎3．（5分）已知平面向量=（k，3），=（1，4），若⊥，则实数k为（　　）‎ A．﹣12 B．12 C． D．‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得λ的值．‎ ‎【解答】解：∵平面向量=（k，3），=（1，4），⊥，‎ ‎∴•=k+12=0，‎ 解得k=﹣12，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，进而可得焦点到准线的距离，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：x2=4y，‎ 其焦点坐标为（0，1），准线方程y=﹣1，‎ 则其焦点到准线的距离为2；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是利用标准方程求出抛物线的焦点坐标以及准线方程．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知△ABC中，A=，B=，a=1，则b等于（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵A=，B=，a=1，‎ ‎∴由正弦定理，可得：b===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）在区间（0，4）上任取一实数x，则2x＜2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由2x＜2得x＜1，‎ 则在区间（0，4）上任取一数x，则2x＜2的概率P==，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的表面积为（　　）‎ A．4π B．8π C．16π D．32π ‎【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径R的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵平面α截球O的球面所得圆的半径为1，该平面与球心的距离d=，‎ ‎∴球半径R==2‎ 根据球的表面积公式，得S=4πR2=16π 故选C．‎ ‎【点评】本题给出球小圆半径，并且已知小圆所在平面到球心距离的情况下求球表面积，着重考查了球的截面圆性质和球表面积公式等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，‎ 在令x取特殊值，选出答案．‎ ‎【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，‎ ‎∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，‎ 综上只有A符合．‎ 故选：A ‎【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．36+6 B．36+3 C．54 D．27‎ ‎【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，‎ 其底面积为×（2+4）×3=9，‎ 底面周长为：2+4+2=6+2，‎ 高h=3，‎ 故棱柱的表面积S=2×9+（6+2）×3=36+6，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（　　）‎ A．21 B．22 C．23 D．24‎ ‎【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，‎ 在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知f（x）=2sin2x+2sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调减区间分别为（　　）‎ A．2π，[，] B．π，[，] C．2π，[﹣，] D．π，[﹣，]‎ ‎【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：由f（x）=2sin2x+2sinxcosx=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1‎ ‎∴f（x）的最小正周期T=，‎ 由单调递减，‎ 解得：，（k∈Z）‎ 当k=0时，得f（x）的一个单调减区间[，]．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1）的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）‎ ‎【分析】f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（﹣x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2‎ f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x）．‎ 对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），‎ ‎∴xf′（x）+2f（x）＞0，‎ ‎∵g（x）=x2f（x），‎ ‎∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．‎ ‎∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，0）递减；‎ 若不等式g（x）＜g（1），‎ 则|x|＜1，x≠0，‎ 解得：0＜x＜1或﹣1＜x＜0，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）双曲线的离心率为　　．‎ ‎【分析】根据事务性的方程可得a，b，c的数值，进而求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：因为双曲线的方程为，‎ 所以a2=4，a=2，b2=5，‎ 所以c2=9，c=3，‎ 所以离心率e=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的有关数值之间的关系，以及离心率的公式．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知变量x，y满足约束任务，则z=x+2y的最小值是　3　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，得A（1，1），‎ 化目标函数z=x+2y为y=﹣，‎ 由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+2×1=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为　　．‎ ‎【分析】根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；可求f（）的值 ‎【解答】解：：（1）由题设图象知，A=2，周期T=（﹣），解得：T=π．‎ ‎∴ω==2．‎ ‎∵点（，2）在函数图象上，‎ ‎∴2sin（2×+φ）=2，即sin（+φ）=1．‎ ‎∵0＜φ＜π，‎ ‎∴φ=．‎ 故得f（x）=2sin（2x），‎ 那么f（）=2sin（2×）=‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则=　9　．‎ ‎【分析】由题意f（x）=|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），即﹣log3m=log3n，可得mn=1．对[m2，n]范围最大值的可能性进行讨论．可求m，n的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴﹣log3m=log3n，∴mn=1．‎ ‎∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，‎ ‎∴﹣log3m2=2，或log3n=2．‎ 若﹣log3m2=2是最大值，得m=，则n=3，此时log3n=1，满足题意条件．那么：‎ 同理：若log3n=2是最大值，得n=9，则m=，此时﹣log3m2=4，不满足题意条件．‎ 综合可得 m=，n=3，故，‎ 故答案为9．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，考虑最值的讨论思想．属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}是等差数列，满足a1=2，a4=8，数列{bn}是等比数列，满足b2=4，b5=32．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列与等比数列 的通项公式即可得出．‎ ‎（II）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得，…（1分）‎ 所以an=a1+（n﹣1）•d=2+（n﹣1）×2=2n…（2分）‎ 设等比数列{bn}的公比为q，由题意得，解得q=2…（3分）‎ 因为，所以…（6分）‎ ‎（Ⅱ）=n2+n+2n+1﹣2…（12分）．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2016年8月某日起连续x天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：‎ 空气质量指数（μg/m3）‎ ‎0﹣50‎ ‎51﹣100‎ ‎101﹣150‎ ‎151﹣200‎ ‎201﹣250‎ 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎20‎ ‎40‎ y ‎10‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x、y的值，并完成频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由所给统计表和频率分布直方图中的信息能求出x、y的值，并完成频率分布直方图．‎ ‎（Ⅱ）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a，b，c，d；将空气污染指数为151﹣200的1天记为e，由此利用列举法能求出事件A“两天空气都为良”发生的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，∴x=100…（1分）‎ ‎∵20+40+y+10+5=100，∴y=25…（2分）‎ 完成频率分布直方图，如下图：‎ ‎…（5分）‎ ‎（Ⅱ）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，‎ 在所抽取的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a，b，c，d；‎ 将空气污染指数为151﹣200的1天记为e，…（6分）‎ 从中任取2天的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），‎ ‎（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种，…（8分）‎ 其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，…（10分）‎ 所以事件A“两天都为良”发生的概率是P（A）==．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥‎ 底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C1﹣ABC的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，从而，由此能求出三棱锥C1﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点，‎ ‎∴A1O⊥AC，…（2分）‎ 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，‎ 平面AA1C1C∩平面ABC=AC…（4分）‎ 且A1O⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴A1O⊥平面ABC…（6分）‎ 解：（Ⅱ）∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴A1C1∥平面ABC，‎ 即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离…（8分）‎ 由（Ⅰ）知A1O⊥平面ABC且，…（9分）‎ ‎∴三棱锥C1﹣ABC的体积：‎ ‎…（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）函数f（x）=ax+xlnx在x=1处取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若y=f（x）﹣m﹣1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）问题转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，结合函数的图象求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=a+lnx+1，…（1分）‎ ‎∵f'（1）=a+1=0，解得a=﹣1，当a=﹣1时，f（x）=﹣x+xlnx，…（2分）‎ 即f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；…（3分）‎ 令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；…（4分）‎ ‎∴f（x）在x=1处取得极小值，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）…（6分）‎ ‎（Ⅱ）y=f（x）﹣m﹣1在（0，+∞）内有两个不同的零点，‎ 可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，‎ 也可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，…（7分）‎ 由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ f（x）min=f（1）=﹣1，…（8分）‎ 由题意得，m+1＞﹣1即m＞﹣2①…（10分）‎ 当0＜x＜1时，f（x）=x（﹣1+lnx）＜0；‎ 当x＞0且x→0时，f（x）→0；‎ 当x→+∞时，显然f（x）→+∞（或者举例：当x=e2，f（e2）=e2＞0）；‎ 由图象可知，m+1＜0，即m＜﹣1②…（11分）‎ 由①②可得﹣2＜m＜﹣1…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F1，F2，离心率，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意解得b，利用离心率以及a，b，c的关系求解a，b，即可得到椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时，求解三角形的面积；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理弦长公式求出|AB|，通过点O到直线kx﹣y﹣k=0的距离求出d，表示出三角形的面积．利用基本不等式求解最值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得2b=2，解得b=1，…（1分）‎ ‎∵，a2=b2+c2，∴，c=1，‎ 故椭圆的标准方程为．…（3分）‎ ‎（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取，，C（﹣1，），‎ 故：…（4分）‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），‎ 联立方程组，‎ 化简得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，…（5分）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），，，…（6分）==，…（8分）‎ 点O到直线kx﹣y﹣k=0的距离=‎ 因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d=，…（9分）∴‎ ‎=2…（11分）‎ 综上，△ABC面积的最大值为…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． ‎ ‎（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三种方程的互化方法，求直线l与圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求△CMN的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为（x+1）2+（y+2）2=1，极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0…（1分）‎ 直线l：y=x的极坐标方程为（ρ∈R），…（3分）‎ ‎（Ⅱ）圆心到直线的距离d==，∴|MN|=2=，‎ ‎∴△CMN的面积S==．‎ ‎【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣x，（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将a的值带入f（x），两边平方求出不等式的解集即可；‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原问题等价于|a|＜a2，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x﹣3|﹣x＜0，‎ 即|x﹣3|＜x，‎ 两边平方得：（x﹣3）2＜x2，‎ 解得：2＜x＜6，‎ 故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；‎ ‎（Ⅱ）f（x）﹣f（x+a）‎ ‎=|x﹣a|﹣x﹣|x|+（x+a）‎ ‎=|x﹣a|﹣|x|+，‎ 若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，‎ 即|x﹣a|﹣|x|+＜a2+对x∈R恒成立，‎ 即a2＞|x﹣a|﹣|x|，而|x﹣a|﹣|x|≤|（x﹣a）﹣x|=|a|，‎ 原问题等价于|a|＜a2，又a＞0，‎ ‎∴a＜a2，解得a＞1．‎ ‎【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎