甘肃省兰州市高考实战数学试卷理科解析版

甘肃省兰州市高考实战数学试卷理科解析版

‎2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁uB）=（　　）‎ A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}‎ ‎2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（　　）‎ A．14 B．6 C． D．‎ ‎5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（　　）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（　　）‎ A．110 B．100 C．90 D．80‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（　　）‎ A． B． C．3π D．3‎ ‎8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）‎ A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1‎ ‎9．，，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知命题：‎ ‎①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；‎ ‎②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；‎ ‎③当n=0或n=1时，幂函数y=xn的图象都是一条直线；‎ ‎④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[15，+∞） B．[6，+∞） C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=　　　　　　．‎ ‎14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为　　　　　　．‎ ‎15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=　　　　　　．‎ ‎16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．等差数列{an}中，已知an＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{bn}的前三项．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．‎ 分数（分数段）‎ 频数（人数）‎ 频率 ‎[60，70）‎ ‎9‎ x ‎[70，80）‎ y ‎0.38‎ ‎[80，90）‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎[90，100）‎ z s 合计 p ‎1‎ ‎（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；‎ ‎（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．‎ ‎（1）求证：OC⊥PD；‎ ‎（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）‎ ‎（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁uB）=（　　）‎ A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，∁RB．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁uB）．‎ ‎【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．‎ ‎∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），‎ ‎∴∁RB=（﹣∞，2]．‎ 则A∩（∁uB）=（﹣∞，2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：由足z（1﹣i）=（1+2i），得 ‎，‎ ‎∴z对应的点的坐标为（），位于第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：设与的夹角为θ．‎ 若与共线，则cosθ=±1．‎ ‎∴|•|=|||||cosθ|=||||，‎ 反之也成立．‎ ‎∴命题p是命题q成立的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（　　）‎ A．14 B．6 C． D．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，‎ ‎∴ab=3cb，可得a=3c，‎ ‎∵a=3，∴c=1．‎ ‎∴==，‎ 解得b=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（　　）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得：‎ ‎①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，‎ MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；‎ ‎②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，‎ MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，‎ MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，‎ MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，‎ MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；‎ ‎③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；‎ ‎④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，‎ MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，‎ MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（　　）‎ A．110 B．100 C．90 D．80‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可 ‎【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，‎ ‎∴从中抽取一个容量为20的样本，‎ 则抽取的C组数为×20=2，‎ 设C组总数为m，‎ 则甲、乙二人均被抽到的概率为==，‎ 即m（m﹣1）=90，‎ 解得 m=10．‎ 设总体中员工总数为x，则由==，‎ 可得x=100，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（　　）‎ A． B． C．3π D．3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．‎ ‎【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．‎ 其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．‎ 设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．‎ ‎∴该几何体外接球的体积==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）‎ A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，‎ 再利用点到直线的距离公式可得=，‎ ‎∴a=±1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．，，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．‎ ‎【解答】解：∵，，‎ ‎∴sinαcosα=，‎ ‎∵sin2α+cos2α=1‎ ‎∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，‎ ‎=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．已知命题：‎ ‎①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；‎ ‎②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；‎ ‎③当n=0或n=1时，幂函数y=xn的图象都是一条直线；‎ ‎④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．‎ ‎②根据三角函数的图象关系进行判断．‎ ‎③根据幂函数的定义和性质进行判断．‎ ‎④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．‎ ‎【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，‎ ‎②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，‎ ‎③当n=0时，y=x0=1，（x≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故③错误，‎ ‎④作出函数f（x）的图象如图，‎ ‎∴f（x）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减，‎ 又∵a，b，c互不相等，‎ ‎∴a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，‎ 不妨设a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），‎ 则log2a+log2b=0，‎ 即ab=1，‎ 则abc的取值范围是c的取值范围，‎ ‎∵由﹣x+2=0，得x=4，‎ 则2＜c＜4，‎ 则2＜abc＜4，‎ 即abc的取值范围是（2，4）．故④正确，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，‎ 设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，‎ 则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，‎ 则A（，），|OA|=||，‎ P点到OA的距离是：，‎ ‎∵|OA|•d=1，∴||•.=1，‎ ‎∵，∴a=2，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[15，+∞） B．[6，+∞） C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可．‎ ‎【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，‎ 所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，‎ 因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，‎ 所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，‎ 所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，‎ 因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，‎ 所以实数a的取值范围为[15，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=　1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x﹣alnx的导数为f′（x）=1﹣，‎ 由在点（1，1）处的切线方程为y=1，‎ 可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为　4　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．‎ ‎【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z．‎ 由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．‎ 解方程组，得B（1，2）．‎ ‎∴z的最大值为z=2×1+2=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．‎ ‎【解答】解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，‎ 由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，‎ 所以=（）|=；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是　①或③　．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论．‎ ‎【解答】解：①因为AC⊥α，且EF⊂α，所以AC⊥EF．‎ 又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB．‎ 因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，‎ 因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．‎ 所以①可以成为增加的条件．‎ ‎②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．‎ 所以②不可以成为增加的条件．‎ ‎③AC与CD在β内的射影在同一条直线上 因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．‎ 所以EF与CD在β内的射影垂直，‎ AC与CD在β内的射影在同一条直线上 所以EF⊥AC，‎ 因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，‎ 因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．‎ 所以③可以成为增加的条件．‎ ‎④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．‎ 所以④不可以成为增加的条件．‎ 故答案为：①③．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．等差数列{an}中，已知an＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{bn}的前三项．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得an．再利用等比数列的通项公式即可得出bn．‎ ‎（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d，则由已知得：a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，‎ 又（5﹣d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=﹣13（舍），‎ a1=a2﹣d=3，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）×d=2n+1，‎ 又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，‎ ‎∴q=2‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 则．‎ ‎　‎ ‎18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．‎ 分数（分数段）‎ 频数（人数）‎ 频率 ‎[60，70）‎ ‎9‎ x ‎[70，80）‎ y ‎0.38‎ ‎[80，90）‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎[90，100）‎ z s 合计 p ‎1‎ ‎（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；‎ ‎（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．‎ ‎（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人，‎ ‎∴x==0.18，‎ y=50×0.38=19，z=50﹣9﹣19﹣16=6．‎ s=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，…‎ 随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 因为，‎ 所以随机变量X的数学期望为l．…‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．‎ ‎（1）求证：OC⊥PD；‎ ‎（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．‎ ‎（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，‎ ‎∴OP⊥OD，OP⊥OC，‎ ‎∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，‎ ‎∴OD⊥OC，…‎ 又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，‎ ‎∴OC⊥PD． …‎ 解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2．‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，‎ ‎∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角 ‎∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，‎ ‎∴DP=CP=2，∴△PDC为等边三角形，…‎ 设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC 在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角．‎ 由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ND2=3+1=4，‎ ‎∴，‎ 即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣．…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．‎ ‎∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，‎ 将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，‎ 故所求椭圆方程为．…‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，‎ 判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r0，‎ 则有，，‎ ‎∴=，‎ 而 ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴，解得t2=1，‎ ‎∵所求圆与直线l相切，∴半径=，‎ ‎∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．‎ ‎（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．‎ ‎（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣‎ ‎∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴时函数t=的最小值为，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ） 当a=2时， ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，‎ 解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0‎ ‎∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得 整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，‎ 实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，‎ 则∠BED+∠EDB=90°，‎ ‎∵BC⊥DE，‎ ‎∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，‎ ‎∵AB切⊙O于点B，‎ ‎∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，‎ 则=3，‎ ‎∵BC=，‎ ‎∴AB=3，AC=，‎ 则AD=3，‎ 由切割线定理得AB2=AD•AE，‎ 即AE=，‎ 故DE=AE﹣AD=3，‎ 即可⊙O的直径为3．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0‎ 设t1，t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）‎ ‎（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；‎ ‎（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于 ‎，，或，或．‎ 解得：x≤0或 x≥5．‎ 故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或 x≥5}． …‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）‎ 所以：f（x）min=|a﹣1|．…‎ 由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5． …‎ ‎　‎ ‎2016年9月4日