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文档介绍
2017高考导数压轴题终极解答
四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 1. (2008天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧) 已知函数,其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式; ⑵讨论函数的单调性; ⑶若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围. 解:⑴,由导数的几何意义得,于是. 由切点在直线上可得,解得. 所以函数的解析式为. ⑵. 当时,显然(),这时在,上内是增函数. 当时,令,解得. 当变化时,,的变化情况如下表: + 0 - - 0 + ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴在,内是增函数,在,内是减函数. ⑶由⑵知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立.从而得,所以满足条件的的取值范围是. 恒成立之分离常数 2. (分离常数) 已知函数 (1) 若在处的切线平行于直线,求函数的单调区间; (2) 若,且对时,恒成立,求实数的取值范围. 解: (1) 定义域为,直线的斜率为, ,,.所以 由; 由 所以函数的单调增区间为,减区间为. (2) ,且对时,恒成立 ,即. 设. 当时, , 当时, ,. 所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以 所以实数的取值范围为. (法二)讨论法 ,在上是减函数,在上是增函数. 当≤时,≥,解得,∴≤. 当时,,解得,∴. 综上. 1. (2011长春一模,恒成立,分离常数,二阶导数) 已知函数,(其中R,为自然对数的底数). (1)当时,求曲线在处的切线方程; (2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围. (改x≥0时,≥0恒成立.≤1) 解:(1)当时,,,, 切线方程为. (2)[方法一] ≥1,1 2 ) ( 2 - - - = ax x e x f x ≥a Û 0 ≤x x e x 1 2 2 - - , 设x x e x g x 1 2 ) ( 2 - - = ,则2 2 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x e x x g x + - - = , 设,则, 在上为增函数,≥, ,在上为增函数, ≥,≤. [方法二], , 设,, ≥0,≥0,在上为增函数, ≥. 又≥0恒成立,≥0,≤, ≥,, 在上为增函数, 此时≥≥0恒成立, ≤. (改x≥0时,≥0恒成立.≤1) 解:先证明在上是增函数,再由洛比达法则,∴,∴≤1.(正常的讨论进行不了,除非系数调到二次项上,分两种情况讨论可得≤1) 1. (两边取对数的技巧)设函数且) (1)求的单调区间; (2)求的取值范围; (3)已知对任意恒成立,求实数的取值范围。 解:(1) , 当时,即. 当时,即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是. (2)由时,即, 由(1)可知在上递增, 在递减,所以在区间(-1,0)上, 当时,取得极大值,即最大值为. 在区间上,. 函数的取值范围为.分 (3),两边取自然对数得 2. (分离常数) 已知函数 . (Ⅰ)若函数在区间其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围; (Ⅱ)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围; 解:(Ⅰ)因为, x >0,则, 当时,;当时,. 所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减, 所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间(其中)上存在极值, 所以 解得. (Ⅱ)不等式即为 记 所以 令,则, , 在上单调递增, ,从而, 故在上也单调递增, 所以,所以 . 1. (2010湖南,分离常数,构造函数) 已知函数 对任意的恒有. ⑴证明:当 ⑵若对满足题设条件的任意b、c,不等式恒成立,求M的最小值。 1. (第3问不常见,有特点,由特殊到一般,先猜后证)已知函数 (Ⅰ)求函数f (x)的定义域 (Ⅱ)确定函数f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论. (Ⅲ)若x>0时恒成立,求正整数k的最大值. 解:(1)定义域 (2)单调递减。 当,令, 故在(-1,0)上是减函数,即, 故此时 在(-1,0)和(0,+)上都是减函数 (3)当x>0时,恒成立,令 又k为正整数,∴k的最大值不大于3 下面证明当k=3时,恒成立 当x>0时 恒成立 令,则 ,,当 ∴当取得最小值 当x>0时, 恒成立,因此正整数k的最大值为3 1. (恒成立,分离常数,涉及整数、较难的处理) 已知函数 (Ⅰ)试判断函数上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若恒成立,求整数k的最大值;(较难的处理) (Ⅲ)求证:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3. 解:(I) 上递减. (II) 则上单调递增, 又 存在唯一实根a,且满足 当 ∴ 故正整数k的最大值是3 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ∴ 令,则 ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] ∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3 2. (分离常数,双参,较难)已知函数,. (1)若函数依次在处取到极值. ①求的取值范围;②若,求的值. (2)若存在实数,使对任意的,不等式 恒成立.求正整数的最大值. 解:(1)① ② . (2)不等式 ,即,即. 转化为存在实数,使对任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。 即不等式在上恒成立。 设,则。 设,则,因为,有。 故在区间上是减函数。 又 故存在,使得。 当时,有,当时,有。 从而在区间上递增,在区间上递减。 又 所以当时,恒有;当时,恒有; 故使命题成立的正整数的最大值为5. 1. (2008湖南理22,分离常数,复合的超范围) 已知函数 ⑴求函数的单调区间; ⑵若不等式对任意的都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值.(分离常数) 解: ⑴函数的定义域是, 设则 令则 当时, 在(-1,0)上为增函数, 当x>0时,在上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以, 函数g(x)在上为减函数. 于是当时,当x>0时, 所以,当时,在(-1,0)上为增函数. 当x>0时,在上为减函数. 故函数的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为. ⑵不等式等价于不等式 由知,>0,∴上式变形得 设,则则 由⑴结论知,(≤)即 所以于是G(x)在上为减函数. 故函数在上的最小值为 所以a的最大值为 1. (变形,分离常数) 已知函数(a为实常数). (1)若,求证:函数在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值; (3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围. 解:⑴当时,,当,, 故函数在上是增函数. ⑵,当,. 若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在 上是增函数,此时. 若,当时,;当时,,此时 是减函数;当时,,此时是增函数. 故. 若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数 在上是减函数,此时. ⑶不等式,可化为. ∵, ∴且等号不能同时取,所以,即, 因而() 令(),又, 当时,,, 从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数, 故的最小值为,所以a的取值范围是. 1. (分离常数,转换变量,有技巧) 设函数. ⑴若函数在处与直线相切: ①求实数的值;②求函数在上的最大值; ⑵当时,若不等式≥对所有的都成立,求实数的取值范围. 解:(1)①。 ∵函数在处与直线相切解得 . ② 当时,令得;令,得,上单调递增,在[1,e]上单调递减,. (2)当b=0时,若不等式对所有的 都成立,则对所有的都成立, 即对所有的都成立, 令为一次函数, . 上单调递增,, 对所有的都成立. .. (注:也可令所有的都成立,分类讨论得对所有的都成立,,请根据过程酌情给分) 恒成立之讨论字母范围 1. 设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x). (Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值; (Ⅱ)当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离; (Ⅲ):若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围. 解:(Ⅰ)F(x)= ex+sinx-ax,. 因为x=0是F(x)的极值点,所以. 又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, . ∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意. (Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以. 令当x>0时恒成立. ∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1. (Ⅲ)令 则. 因为当x≥0时恒成立, 所以函数S(x)在上单调递增, ∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立. 当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即. 故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立. 1. (用到二阶导数,二次) 设函数. ⑴若,求的最小值; ⑵若当时,求实数的取值范围. 解:(1)时,,. 当时,;当时,. 所以在上单调减小,在上单调增加 故的最小值为 (2), 当时,,所以在上递增, 而,所以,所以在上递增, 而,于是当时, . 当时,由得 当时,,所以在上递减, 而,于是当时,,所以在上递减, 而,所以当时,. 综上得的取值范围为. 2. (第3问设计很好,2问是单独的,可以拿掉)已知函数,斜率为的直线与相切于点. (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)当实数时,讨论的极值点。 (Ⅲ)证明:. 解:(Ⅰ)由题意知: ………………………………2分 解得:; 解得: 所以在上单调递增,在上单调递减………………4分 (Ⅱ)= 得:. 若即, + - + 极大值 极小值 此时的极小值点为,极大值点………………………………7分 若即,,则, 在上单调递增,无极值点. 若即,, + - + 极大值 极小值 此时的极大值点为,极小值点. 综上述: 当时,的极小值点为,极大值点; 当时,无极值点; 当时,的极大值点为,极小值点. 1. (2011全国I文21,恒成立,一次,提出一部分再处理的技巧) 设函数. ⑴若a =,求的单调区间; ⑵若当≥0时≥0,求a的取值范围. 解:⑴时,,. 当时;当时,; 当时,. 故在,单调增加,在(-1,0)单调减少. ⑵.令,则. ①若,则当时,,为减函数,而, 从而当x≥0时≥0,即≥0,符合题意. ②若,则当时,,为减函数,而, 从而当时<0,即<0,不合题意. 综合得的取值范围为 2. (2011全国新理21,恒成立,反比例,提出公因式再处理的技巧,本题的创新之处是将一般的过定点(0,0)变为过定点(1,0),如果第2问范围变为则更间单) 已知函数在点处的切线方程为. ⑴求、的值; ⑵如果当,且时,,求的取值范围。 解:⑴, 依意意且,即,,解得,. ⑵由⑴知,所以. 设,则. (注意h(x)恒过点(1,0),由上面求导的表达式发现讨论点0和1) ① 当,由,(变形难想,法二) 当时,.而,故 当时,,可得; 当x(1,+)时,<0,可得>0, 从而当x>0,且x1时,-(+)>0,即>+. 法二:的分子≤<0,∴. ②当0< k <1,由于当x(1,)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故>0,而 =0,故当x(1,)时,>0,可得<0,不合题意. ③当k≥1,此时>0,则x(1,+)时,递增,,∴<0,不合题意. 综上,k的取值范围为(-,0] 1. (2010新课程理21,恒成立,讨论,二次,用到结论) 设函数. ⑴若,求的单调区间; ⑵若当时,求的取值范围. 解:命题意图:本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力. ⑴时,,. 当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加. ⑵①当≤时,, 由⑴结论知≥,则, 故,从而当,即时,, 而,于是当时,,符合题意. ②时,由可得.(太难想,法二) , 故当时,,而,于是当时,. 综合得的取值范围为. 法二:设,则, 令,得. 当,,在此区间上是增函数,∴≤, ∴在此区间上递增,∴≤,不合题意. 1. (恒成立,2010全国卷2理数,利用⑴结论,较难的变形讨论) 设函数. ⑴证明:当时,; ⑵设当时,,求a的取值范围. 解:本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在. 1. 已知函数,且函数是上的增函数。 (1)求的取值范围; (2)若对任意的,都有(e是自然对数的底),求满足条件的最大整数的值。 解析:(1)设,所以,得到.所以的取值范围为………2分 (2)令,因为是上的增函数,且,所以是上的增函数。…………………………4分 由条件得到(两边取自然对数),猜测最大整数,现在证明对任意恒成立。…………6分 等价于,………………8分 设, 当时,,当时,, 所以对任意的都有,即对任意恒成立, 所以整数的最大值为2.……………………………………………………14分 2. (2008山东卷21) 已知函数其中n∈N*,a为常数. ⑴当n=2时,求函数f(x)的极值; ⑵当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1. 解:⑴由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}, 当n=2时, 所以 ①当a>0时,由f(x)=0得>1,<1, 此时=. 当x∈(1,x1)时,<0,f(x)单调递减; 当x∈(x1+∞)时,>0, f(x)单调递增. ②当a≤0时,<0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时, 当a>0时,f(x)在处取得极小值,极小值为 当a≤0时,f(x)无极值. ⑵证法一:因为a=1,所以 ①当n为偶数时,令 则)=1+>0(x≥2). 所以当x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又g(2)=0,因此≥g(2)=0恒成立, 所以f(x)≤x-1成立. ②当n为奇数时,要证≤x-1,由于<0,所以只需证ln(x-1) ≤x-1, 令h(x)=x-1-ln(x-1),则=1-≥0(x≥2), 所以,当x∈[2,+∞]时,单调递增,又h(2)=1>0, 所以当x≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当a=1时, 当x≤2,时,对任意的正整数n,恒有≤1, 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1. 令 则 当x≥2时,≥0,故h(x)在上单调递增, 因此,当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故当x≥2时,有≤x-1. 即f(x)≤x-1. 1. 已知函数, (Ⅰ)若,求的单调区间; (Ⅱ)对于任意的,比较与的大小,并说明理由. 解:(Ⅰ),,-----1分 ①当时,在上恒成立,的递增区间为;------2分 ②当时,的递增区间为;--------------3分 ③当时,的递增区间为,递减区间为;--------4分 (Ⅱ)令, , 令,在上恒成立, 当时,成立,在上恒成立, 在上单调递增,当时,恒成立, 当时,恒成立, 对于任意的时,, 又,, ,即. 2. (恒成立,思路不常见) 已知函数,其中为实数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)是否存在实数,使得对任意,恒成立? 若不存在,请说明理由,若存在,求出的值并加以证明. 解:⑴时,,, ,又,所以切线方程为. ⑵①当时,,则 令,, 再令, 当时,∴在上递减, ∴当时,, ∴,所以在上递增,,所以 ②时,,则 由①知当时,在上递增 当时,, 所以在上递增,∴,∴; 由①②得. 1. 已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)不等式在上恒成立,求实数的范围; (Ⅲ)方程有三个不同的实数解,求实数的范围. 解:(Ⅰ)(1) 当时,上为增函数 故 当上为减函数 故 即. . (Ⅱ)方程化为 ,令, ∵ ∴ 记∴ ∴ (Ⅲ)方程化为 , 令, 则方程化为 () ∵方程有三个不同的实数解, ∴由的图像知, 有两个根、, 且 或 , 记 则 或 ∴ 1. 已知函数, 设 (1)是否存在唯一实数,使得,若存在,求正整数m的值;若不存在,说明理由。 (2)当时,恒成立,求正整数n的最大值。 解:(1)由得 则因此在内单调递增。……………4分 因为,, 即存在唯一的根,于是 ……………6分 (2)由得,且恒成立,由第(1)题知存在唯一的实数,使得,且当时,,;当时,,因此当时,取得最小值 ……………9分 由,得 即 于是 又由,得,从而,故正整数n的最大值为3。………12分 1. (第3问难想)已知函数,其中e是自然数的底数,。 (1) 当时,解不等式; (2) 若在[-1,1]上是单调增函数,求的取值范围; (3) 当时,求整数k的所有值,使方程在[k,k+1]上有解。 ⑴因为,所以不等式即为, 又因为,所以不等式可化为, 所以不等式的解集为.………………………………………4分 ⑵, ①当时,,在上恒成立,当且仅当时 取等号,故符合要求;………………………………………………………6分 ②当时,令,因为, 所以有两个不相等的实数根,,不妨设, 因此有极大值又有极小值. 若,因为,所以在内有极值点, 故在上不单调.………………………………………………………8分 若,可知, 因为的图象开口向下,要使在上单调,因为, 必须满足即所以. 综上可知,的取值范围是.………………………………………10分 ⑶当时, 方程即为,由于,所以不是方程的解, 所以原方程等价于,令, 因为对于恒成立, 所以在和内是单调增函数,……………………………13分 又,,,, 所以方程有且只有两个实数根,且分别在区间和上, 所以整数的所有值为.………………………………………………………16分 1. (2010湖南文数,另类区间) 已知函数其中a<0,且a≠-1. (Ⅰ)讨论函数的单调性; (Ⅱ)设函数(e是自然数的底数)。是否存在a,使在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。 79. (2008辽宁理22,第2问无从下手,思路太难想) 设函数. ⑴求的单调区间和极值; ⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由. 说明:本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分14分. 解:⑴. 故当时,,时,. 所以在单调递增,在单调递减. 由此知在的极大值为,没有极小值. ⑵①当时,由于, 故关于的不等式的解集为. ②当时,由知,其中为正整数,且有. 又时,.且. 取整数满足,,且, 则, 即当时,关于的不等式的解集不是. 综合①②知,存在,使得关于的不等式的解集为,且的取值范围为. 81. 已知函数,,记 (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)当时,若,比较:与的大小; (Ⅲ)若的极值为,问是否存在实数,使方程有四个不同实数根?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由。 解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞), 又 , 当时,>0恒成立 ∴在(0,+∞)上单调递增; 令得 当时,若, ∴在(0,)上单调递减; 若,,∴在(,+∞)上单调递增 故时,增区间为; 时,增区间为,减区间为(0,)。 ……4分 (Ⅱ)令, 则,所以在[1,+∞) 上单调递增,∴,∴. (Ⅲ)由(Ⅰ)知仅当时,在=处取得极值 由可得=2,方程为 ,令,得... 由方程有四个不同的根,得方程有两个不同的正根, 令,当直线与曲线相切时,,得切点坐标(3,) ∴切线方程为,其在y轴上截距为;当直线在轴上截距时,和在y轴右侧有两个不同交点,所以k的取值范围为(,0). (注:也可用导数求解) 六、导数应用题 82. 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数,且2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件. (1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式; (2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值. 解:(1)设日销售量为,则=10,∴k=10 e40.则日销售量为, ∴日利润y=(x-30-t)·.∴y=,其中35≤x≤41. (2)y′=,令y′=0得x=31+t. ①当2≤t≤4时,33≤31+t≤35.∴当35≤x≤41时,y′≤0. ∴当x=35时,y取最大值,最大值为10(5-t)e5. ②当4查看更多
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