高考数列求和专项训练及解答

高考数列求和专项训练及解答

高考数列求和专项训练及解答 一．选择题（共3小题）‎ ‎1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和Sn为（　　）‎ ‎ A．n2+1﹣ B．n2+2﹣ C．n2+1﹣ D．n2+2﹣‎ ‎2．已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是（　　）‎ ‎ A．9 B．10 C．11 D．13 ‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为Tn，若Tn=，则n=（　　）‎ ‎ A．19 B．20 C．21 D．22 ‎ ‎　‎ 二．解答题（共5小题）‎ ‎4．已知数列{an}的通项是an=2n﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的前n项和为Sn ‎（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎5．已知正项数列满足4Sn=an2+2an+1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎6．已知等比数列{an}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎7．在数列{an}中，a1=1，．‎ ‎（1）求a2，a3，a4，猜想an，无需证明；‎ ‎（2）若数列，求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2an+2n．‎ ‎（1）证明数列{}是等差数列，并求出an；‎ ‎（2）求Sn；‎ ‎（3）令bn=，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共3小题）‎ ‎1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和Sn为（　　）‎ ‎ A．n2+1﹣ B．n2+2﹣ C．n2+1﹣ D．n2+2﹣ ‎ ‎【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：Sn=1+3+5+…+（2n﹣1）++…+‎ ‎=+‎ ‎=n2+．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是（　　）‎ ‎ A．9 B．10 C．11 D．13 ‎ ‎【分析】利用项数为奇数的等差数列{an}共有n项，求出奇数项之和，偶数项之和，然后通过比值求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意，；‎ ‎；‎ ‎∴，‎ ‎∴n=11．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数列求和，数列的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为Tn，若Tn=，则n=（　　）‎ ‎ A．19 B．20 C．21 D．22 ‎ ‎【分析】等差数列{an}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项、公差，求得==﹣，由裂项相消求和可得前n项和Tn，解方程可得n的值．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn，S3=6，S5=15，‎ 可得3a1+3d=6，5a1+10d=15，‎ 解得a1=d=1，‎ 即an=1+n﹣1=n，‎ ‎==﹣，‎ 前n项和为Tn=1﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣，‎ 由Tn=，可得n=20，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二．解答题（共5小题）‎ ‎4．已知数列{an}的通项是an=2n﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的前n项和为Sn ‎（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解数列的和即可．‎ ‎（2）利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】（12分）‎ 解：（1）∵an=2n﹣1，∴a1=1，‎ ‎∴‎ ‎（2）①，‎ ‎②‎ ‎①减②得：‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎5．已知正项数列满足4Sn=an2+2an+1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）由，可知当n≥2时，，两式作差可得an﹣an﹣1=2（n≥‎ ‎2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）把数列{an}的通项公式代入bn=，再由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由，可知当n≥2时，，‎ 两式作差得an﹣an﹣1=2（n≥2），‎ 又，得a1=1，‎ ‎∴an=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；‎ ‎（2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（1）由a1a5=8a2得：a1q3=8，即a4=8，‎ 又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6=56，‎ 将a4=8代入得：a6=32．‎ 从而：a1=1，q=2．‎ ‎∴an=2n﹣1；‎ ‎（2）bn==2n•（）n﹣1，‎ Tn=2×（）0+4×（）1+6×（）2+…+2（n﹣1）•（）n﹣2+2n•（）n﹣1……………………①‎ Tn=2×（）1+4×（）2+6×（）3+…+2（n﹣1）•（）n﹣1+2n•（）n……………………②‎ ‎①﹣②得：Tn=2×[（）0+2（）1+（）2+…+（）n﹣1]﹣2n•（）n ‎=2+2×﹣2n•（）n=4﹣（n+2）•（）n﹣1．‎ ‎∴Tn=8﹣（n+2）•（）n﹣2．‎ ‎【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．在数列{an}中，a1=1，．‎ ‎（1）求a2，a3，a4，猜想an，无需证明；‎ ‎（2）若数列，求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件通过递推关系式求解a2，a3，a4，猜想an；‎ ‎（2）化简数列，利用裂项消项法求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）∵a1=1，an+1=，‎ ‎∴a2==，a3=═，a4=═．‎ 猜想：an=．‎ ‎（2）由（1）知：bn===2[﹣]，‎ 从而sn=b1+b2+…+bn ‎=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2[1﹣]=．‎ ‎【点评】本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2an+2n．‎ ‎（1）证明数列{}是等差数列，并求出an；‎ ‎（2）求Sn；‎ ‎（3）令bn=，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；‎ ‎（3）求得bn==（）n+（n﹣1）•（）n，讨论bn的单调性，求得最大值，可得m2﹣m﹣6＞0，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（1）证明：a1=1，an+1=2an+2n，‎ 可得=+，‎ 可得数列{}是首项和公差均为的等差数列，‎ 可得=n，即an=n•2n﹣1；‎ ‎（2）Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，‎ ‎2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，‎ 相减可得﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，‎ ‎=﹣n•2n，‎ 化简可得Sn=1+（n﹣1）•2n；‎ ‎（3）bn==（）n+（n﹣1）•（）n，‎ bn+1﹣bn=（）n+1+n•（）n+1﹣（）n﹣（n﹣1）•（）n=，‎ 当n=1时，b2﹣b1=；n=2时，b3﹣b2=；即b1＜b2＜b3，‎ 当n≥3时，bn+1﹣bn＜0，即b3＞b4＞b5＞…，‎ 则n=3时，bn的最大值为b3=，‎ 不等式bn＜恒成立，可得 ‎＜，即为m2﹣m﹣6＞0，‎ 解得m＞3或m＜﹣2．‎ 则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性的运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎