高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线含详解

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高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线含详解

高考数学压轴题突破训练:圆锥曲线 A D M B N l2‎ l1‎ ‎1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A,点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M是该平面上的一个动点,M在l1上的射影点是N,且|BN|=2|DM|.w.w.w.k.s.5.u.c.o.‎ ‎(Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M的轨迹C的方程.‎ ‎(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点;另外平面上的点G、H满足:‎ 求点G的横坐标的取值范围.‎ 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程.‎ ‎3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别 是A、B;双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;‎ ‎(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若. 求证:‎ ‎4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为a.‎ ‎ (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tg;‎ ‎ (2)若20,b>0)的右准线一条渐近线交于两点P、Q,F是双曲线的右焦点。‎ ‎(I)求证:PF⊥;‎ ‎(II)若△PQF为等边三角形,且直线y=x+b交双曲线于A,B两点,且,求双曲线的方程;‎ ‎(III)延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N,若M为PN的中点,求双曲线的离心率e。‎ ‎22. 已知又曲线 在左右顶点分别是A,B,点P是其右准线上的一点,若点A关于点P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,且M、N都在此双曲线上。 (I)求此双曲线的方程; (II)求直线MN的倾斜角。‎ ‎23. 如图,在直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)()。设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ,若。‎ ‎ (I)求点P的轨迹G的方程;‎ ‎ (II)设过点C(0,-1)的直线与轨迹G交于不同两点M、N。问在x轴上是否存在一点,使△MNE为正三角形。若存在求出值;若不存在说明理由。‎ 23‎ ‎24. 设椭圆过点,且焦点为。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时,在线段上取点,‎ 满足,证明:点总在某定直线上。‎ ‎25. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,‎ ‎-2),点C满足、‎ ‎ (1)求点C的轨迹方程;‎ ‎(2)设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:.‎ ‎26. 设,、分别为轴、轴上的点,且,动点满足:.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、,问在轴上是否存在一定点,使得直线、的倾斜角互补?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由 C B D A ‎27. 如图,直角梯形ABCD中,∠,AD∥BC,AB=2,AD=,BC=‎ 椭圆F以A、B为焦点,且经过点D, ‎ ‎(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆F的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线与两点,且线段,若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎28. 如图所示,B(– c,0),C(c,0),AH⊥BC,垂足为H,且.‎ ‎ (1)若= 0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率;‎ ‎ (2)D分有向线段的比为,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,‎ 当 ―5≤≤ 时,求椭圆的离心率e的取值范围.‎ ‎29. 在直角坐标平面中,的两个顶点的坐标分别为,,平面内两点同时满足下列条件:‎ ‎①;②;③∥‎ ‎(1)求的顶点的轨迹方程;‎ 23‎ ‎(2)过点的直线与(1)中轨迹交于两点,求的取值范围 答案:‎ ‎1.解:(Ⅰ) 以A点为坐标原点,l1为x轴,建立如图所示的坐标系,则D(1,0),B(4,0),设M(x,y),‎ 则N(x,0). ‎ ‎∵|BN|=2|DM|,‎ ‎∴|4-x|=2,‎ 整理得3x2+4y2=12,‎ ‎∴动点M的轨迹 方程为. ‎ ‎(Ⅱ)∵‎ ‎∴A、D、G三点共线,即点G在x轴上;又∵∴H点为线段EF的中点;又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。 ‎ 设l:y=k(x-1)(k≠0),代入3x2+4y2=12得 ‎(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于l过点D(1,0)是椭圆的焦点,‎ ‎∴l与椭圆必有两个交点,‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点H的坐标为(x0,y0),‎ ‎∴x1+x2= ,x1x2= , ‎ x0= = ,y0=k(x0-1)= , ‎ ‎∴线段EF的垂直平分线为 y- y0 =- (x-x0),令y=0得,‎ 点G的横坐标xG = ky0+x0 = + = ‎= -,‎ ‎∵k≠0,∴k2>0,∴3+4k2>3,0<<,∴-<-<0,‎ ‎∴xG= -(0,)‎ ‎∴点G的横坐标的取值范围为(0,). ‎ ‎2.解:∵,∴ ‎ ‎ 由得 ‎ ‎ ∴设椭圆的方程为()‎ 即()‎ 设是椭圆上任意一点,则 ‎ ()‎ 若即,则当时,‎ ‎ 由已知有,得; ‎ 若即,则当时,‎ ‎ 由已知有,得(舍去). ‎ 综上所述,,. ‎ 所以,椭圆的方程为. ‎ 23‎ ‎3.解:(I)由已知 ‎∴椭圆的方程为,双曲线的方程.‎ 又 ∴双曲线的离心率 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)A(-5,0),B(5,0) 设M得M为AP的中点 ‎∴P点坐标为 将M、p坐标代入c1、c2方程得 消去y0得 解之得 由此可得P(10,‎ 当P为(10, 时 PB: 即 代入 ‎ MN⊥x轴 即 ‎4.解:(1)由题意可知所以椭圆方程为 ‎ 设,将其代入椭圆方程相减,将 代入 可化得 ‎ ‎(2)若2|CA|=2,于是点 Q的轨迹是以点C,A为焦点,半焦距c=1,长半轴a=的椭圆,短半轴 点Q的轨迹E方程是:. ‎ ‎ (2)设F(x1,y1)H(x2,y2),则由,‎ ‎ 消去y得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又点O到直线FH的距离d=1,‎ ‎ ‎ ‎18.解:(1)以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-c,0),B(c,0)‎ 依题意:‎ ‎∴点P的轨迹为以A、B为焦点,实半轴为a,虚半轴为的双曲线右支 ‎∴轨迹方程为:。‎ ‎(2)法一:设M(,),N(,)‎ 依题意知曲线E的方程为 ‎,l的方程为 设直线m的方程为 由方程组,消去y得 23‎ ‎ ①‎ ‎∴‎ ‎∵直线与双曲线右支交于不同的两点 ‎∴及,从而 由①得 解得且 当x=2时,直线m垂直于x轴,符合条件,∴‎ 又设M到l的距离为d,则 ‎∵‎ ‎∴‎ 设,‎ 由于函数与均为区间的增函数 ‎∴在单调递减 ‎∴的最大值=‎ 又∵‎ 而M的横坐标,∴‎ 法二:为一条渐近线 ‎①m位于时,m在无穷远,此时 ‎②m位于时,,d较大 由 点M ‎ 23‎ ‎∴‎ 故 ‎ ‎19.解:(1) 曲线表示以为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得 ‎ ‎(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为 ‎,.‎ 将直线与圆的方程联立得 由解得.‎ ‎.‎ 又以PQ为直径的圆过O点 解得 故所求直线方程为 ‎20.解:(1)∵,且, ∴动点到两个定点的距离的和为4,‎ ‎∴轨迹是以为焦点的椭圆,方程为 ‎ ‎(2)设,直线的方程为,代入, 消去得 ,‎ ‎ 由得 , 且, ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 设点,由可得 ‎ ‎∵点在上,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴,‎ 又因为的任意性,∴, ‎ ‎∴,又, 得 ,‎ 23‎ ‎ 代入检验,满足条件,故的值是。‎ ‎21.解:(1) 不妨设.‎ ‎, F.(c,0)‎ 设 k2= ∴k1k2=-1.‎ 即PF⊥. ‎ ‎(2)由题 ‎. x2-bx-b2=0, ‎ ‎∴a=1, ∴双曲线方程为 ‎(3) y=- M(- ‎ ‎ ∴N(-).‎ 又N在双曲线上。∴‎ ‎∴e= ‎ ‎22.解:(I)点A、B的坐标为A(-3,0),B(3,0),设点P、M、N的坐标依次为    则有          ② 4-①得 ,解得c=5    故所求方程是     (II)由②得,     ‎ 23‎ ‎   所以,M、N的坐标为       所以MN的倾斜角是 ‎ ‎23.解:(I)由已知,当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,,也满足方程<1>‎ ‎ ∴所求轨迹G方程为 ‎ (II)假设存在点,使为正△‎ ‎ 设直线方程:代入 ‎ 得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴MN中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在正△EMN中,‎ ‎ ‎ 23‎ ‎ ‎ ‎ 与矛盾 ‎ ∴不存在这样的点使△MNE为正△‎ ‎24.解:(1)由题意: ,解得,‎ 所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)解:设过P的直线方程为:,‎ 设,,‎ 则 ‎,‎ ‎∵,∴,即,‎ 化简得:,‎ ‎∴,‎ 去分母展开得:‎ 化简得:,解得:‎ 又∵Q在直线上,‎ ‎∴,∴‎ 即,‎ ‎∴Q恒在直线上。‎ ‎25.解:(1)解:设 即点C的轨迹方程为x+y=1 ‎ 23‎ ‎ ‎ ‎26.解:(1)设,则、,‎ 又,,即. ‎ ‎(2)设直线的方程为:,、‎ 假设存在点满足题意,则,‎ ‎,即,,‎ ‎,又 ‎, ‎ 由于,则 对不同的值恒成立,即对不同的值恒成立,‎ 则,即,故存在点符合题意.‎ ‎27.解:(Ⅰ)以AB中点为原点O,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,如图 ‎ 则A(-1,0) B(1,0) D(-1,) ‎ ‎ 设椭圆F的方程为 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 得 23‎ ‎ 所求椭圆F方程 ‎ ‎(Ⅱ)解:若存在这样的直线l,依题意,l不垂直x轴 ‎ 设 l方程 ‎ ‎ 代入 ‎ ‎ 设、 有 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ 又内部 故所求直线l方程 ‎ ‎(Ⅱ)解法2:若存在这样的直线l,设,‎ 有 ‎ 两式相减得 ‎ 有 ‎ 得 即l斜率为 ‎ 又,故所求直线l方程 ‎ ‎28.解:(1)因为,所以H ,又因为AH⊥BC,所以设A,由 得 即     3分  ‎ 所以|AB| = ,|AC | =‎ ‎ 椭圆长轴2a = |AB| + |AC| = (+ 1)c,    所以,. ‎ ‎(2)设D (x1,y1),因为D分有向线段的比为,所以,,  ‎ ‎ 设椭圆方程为= 1 (a > b > 0),将A、D点坐标代入椭圆方程得 .①‎ ‎ …………………………….. ②‎ 由①得,代入②并整理得,   ‎ 23‎ ‎ 因为 – 5≤≤,所以,又0 < e < 1,所以≤e≤.‎ ‎29.解:(1)设 ‎ , 点在线段的中垂线上 由已知;又∥,‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ,顶点的轨迹方程为 .‎ ‎(2)设直线方程为:,,‎ 由 消去得: ①‎ ‎ , ‎ 而 由方程①知 ><‎ ‎ ,<<, .‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23‎
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