千锤百炼高考数学个热点问题——第炼数学归纳法

千锤百炼高考数学个热点问题——第炼数学归纳法

www.ks5u.com 第58炼 数学归纳法 一、基础知识：‎ ‎1、数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明 ‎2、第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下：‎ ‎（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 ‎（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 ‎（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立 ‎3、第一归纳法要注意的地方：‎ ‎（1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始 ‎（2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性 ‎（3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系 ‎4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：‎ ‎（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立 ‎（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立 ‎（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立 二、典型例题 例1：已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证： ‎ 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：，时，不等式为；当时，所证不等式为，可明显看到与中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明 证明：，所证不等式为：‎ ‎，下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）验证：时，左边右边，不等式成立 ‎（2）假设时，不等式成立，则时，‎ 所以时，不等式成立 ‎，均有 小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证与条件之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用 例2（2015，和平模拟）：已知数列满足，其前项和，且 ‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）设，并记为数列的前项和，求证：‎ ‎ ‎ 解：（1） ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得：‎ ‎ 所以两边同除以可得：‎ 是公差为的等差数列 ‎，在中令可得：‎ ‎（舍）或 ‎（2）思路：利用（1）可求出和，从而简化不等式可得：，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。而如果选择数学归纳法证明，则目标相对明确，难度较小。‎ 解：由（1）可得：‎ 所证不等式为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，不等式为成立 假设当时成立，则时，‎ ‎ ‎ 所以只需证：即可，尝试进行等价变形：‎ ‎，所证不等式为：‎ 例3：设数列的前项和为，满足，且 ‎ ‎（1）求 ‎ ‎（2）求数列的通项公式 ‎ 解：（1）在中， 时，有 时，，另有 ‎，解得：‎ ‎（2）思路：由可得：，两式相减可得：，从递推公式很难直接求出通项公式。观察，可猜想，从而考虑“先猜再证”利用数学归纳法证明：‎ 证明：由猜想，下面用数学归纳法进行证明：‎ ‎（1）验证当时，符合题意 ‎（2）假设时，，则时 ‎，‎ 则 所以，满足通项公式 例4：在数列中，已知，且，求证： ‎ 证明：用数学归纳法证明：‎ 当时，，命题成立 假设时，命题成立，即，则时 考虑 ‎ ，即 时，均有 例5：已知数列满足，当时， ‎ 求证：数列的第项能被3整除 证明：（数学归纳法）‎ ‎（1）当时，，能被3整除 ‎（2）假设当时，能被3整除，那么当时 ‎ ‎ 能被3整除，能被3整除 能被3整除 即时，命题成立 对一切的，均能被3整除 例6：设正整数数列满足：，且对于任何，由 ‎ ‎（1）求 ‎ ‎（2）求数列的通项公式 解：（1）思路：虽然所给条件为不等式，但因为为正整数，所以依然可由不等式确定的值，可先解出范围，再求出满足的整数即可。‎ 由已知不等式得：‎ 当时，即 解得：，则 当时，即 解得：，则 综上：‎ ‎（2）思路：由可猜想，且条件为递推的不等式，刚好能体现与的联系。所以考虑利用数学归纳法证明 证明：由，猜想，下面用数学归纳法证明的情况：‎ 验证：时，符合通项公式 假设时，，则时，‎ 而 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为时，， （均在时，取到1）‎ 所以时，‎ ‎，命题成立 ‎ 而均符合通项公式 小炼有话说：（1）利用整数的离散性，在求整数的值时，不仅可用等式（方程）去解，也可用不等式先求出范围，再取范围内的整数，同样可以达到求值的目的 ‎（2）为什么对开始进行数学归纳法而不是从开始？因为在，中时，不能满足条件。所以也许一开始入手是从开始证明，但在证明过程中发现条件的对变量取值有所限制，则要进行适当的调整。‎ 例7：已知数列满足，其中常数 ‎（1）若，求的取值范围 ‎（2）若，求证：对任意的，都有 解：（1）由已知可得：时 ‎ ‎ ‎ ‎ 或 ‎（2）思路：条件给出递推公式，故考虑利用的范围去推出的范围，可尝试数学归纳法 解：（数学归纳法）‎ 当时，成立 假设时，命题成立，即，则当时，‎ ‎ ‎ ‎，即时，命题成立 所以时，均有 例8：已知数列的前项和为，且 ‎（1）求 ‎（2）设满足：且，求证：‎ 解：（1） ①‎ ‎ ②‎ ‎①②‎ ‎ ‎ 从第二项开始成等差数列 令 则，代入可得：‎ 时，‎ ‎（2）解：由（1）可得所证不等式为：，考虑使用数学归纳法：‎ 当时，‎ 假设时，命题成立，即，则时 而 ‎ ‎ ‎ 所以时，命题成立 时，‎ 例9：已知的三边长为有理数 ‎（1）求证：是有理数 ‎（2）求证：对任意的正整数，是有理数 证明：（1） 又 ‎ ‎，即是有理数 ‎（2）思路：题目条件很少，无法直接入手，所以考虑利用数学归纳法制造条件并找到与条件的联系，假设，则，可知为有理数，但未知，且题目中再无可用条件。所以要想证明，则需将制造条件加强，设，代价就是在证明时也要证明成立。只需，是可证明的 证明：使用数学归纳法证明与均为有理数 当时，由（1）可得，且 ‎ 假设时，命题成立，即，则时 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，由假设可得 ‎ ‎ 综上所述：时，命题成立 时，为有理数 小炼有话说：‎ ‎（1）涉及到关于的命题，若所给条件过少，则可通过数学归纳法制造条件，以便于证明题目 ‎（2）本题在利用数学归纳法证明时，对所证问题做了一个加强，即对于同一个，有两个命题同时成立，这样做的好处在于在归纳假设时会再多一个条件进行使用，但是代价就是归纳证明时也要多证明一个结论。有时针对条件较少的题目还是值得的 例10：（2014，安徽）设实数，整数 ‎ ‎（1）证明：当且时， ‎ ‎（2）数列满足，求证：‎ 解：（1）思路：所证不等式含有两个变量，若以为核心变量，则为大于1的正整数，且在不等式左边位于指数的位置，在证明不等式时可以考虑利用数学归纳法，从而证明时，左边，与取得联系。‎ 证明：用数学归纳法证明：‎ 当时，，原不等式成立 假设时，不等式成立，即，则时，‎ ‎ ‎ 所以时，不等式成立 时，‎ ‎（2）思路：本题证明易想到对两边同时除以与1进行比较：，进而要证明，所以只能先证后面的不等式，由递推公式可想到利用数学归纳法证明。‎ 证明：用数学归纳法证明 当时，‎ 假设，命题成立，即，则时，‎ ‎ ‎ 由（1）可得：‎ 即 ‎ 时，命题成立 时，‎ 下面证明：‎ 考虑 ‎ 小炼有话说：在第一问中如果以为研究对象，也可以利用导数去解决：设，则，因为，所以可得：时，，时，。所以在单调递减，在单调递增。从而 ‎