高考物理曲线运动和万有引力典型问题剖析2
曲线运动、万有引力典型问题剖析
问题7：会求解在水平面内的圆周运动问题。
图12
例11、如图12所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）
A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了
图13
C、物体所受弹力和摩擦力都减小了
D、物体所受弹力增大，摩擦力不变
分析与解：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN、和筒壁对它的摩擦力F1（如图13所示）。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大小等于其重力。而根据向心力公式，，当角速度较大时也较大。故本题应选D。
A
B
C
D
a
b
c
d
V0
图14
例12、如图14所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定有一边长为0．4m光滑小方柱abcd。长为L=1m的细线，一端拴在a上，另一端拴住一个质量为m=0．5kg的小球。小球的初始位置在ad连线上a的一侧，把细线拉直，并给小球以V0=2m/s的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱abcd的存在，使线逐步缠在abcd上。若细线能承受的最大张力为7N（即绳所受的拉力大于或等于7N时绳立即断开），那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的哪一边飞离桌面?
分析与解：当绳长为L0时，绳将断裂。据向心力公式得：
T0=mV02/L0
所以L0=0.29m
绕a点转1/4周的时间t1=0.785S;
绕b点转1/4周的时间t2=0.471S;
绳接触c点后，小球做圆周运动的半径为r=0.2m,小于L0=0.29m,所以绳立即断裂。
所以从开始运动到绳断裂经过t=1.256S,小球从桌面的AD边飞离桌面
问题8：会求解在竖直平面内的圆周运动问题。
物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度 ，常称为临界速度，其物理意义在不同过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种．前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下．
当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=，得临界速度 ．当物体运动速度V
2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？
分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：
要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0,解得。
问题9：会讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况。
例15、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g,，则g/g,为
A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。
分析与解：因为g= G,g, = G,所以g/g,=1/16,即D选项正确。
问题10：会用万有引力定律求天体的质量。
通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。
例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.491011m, 公转的周期T=
3.16107s,求太阳的质量M。
分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：
G=mr(2π/T)2
M=4π2r3/GT2=1.96 1030kg.
例17、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有
x2+h2=L2
由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x，可得
（2x）2+h2=(L)2
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：
h=gt2
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
mg= G
联立以上各式解得M=。
问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。
通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半径R可以求出卫星的高度。
例18、已知地球半径约为R=6.4106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。
分析与解：因为mg= G，而G=mr(2π/T)2
所以，r= =4108m.
问题12：会用万有引力定律计算天体的平均密度。
通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。
例19、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?
分析与解：设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 G=mR, 所以，M=
而恒星的体积V=πR3，所以恒星的密度ρ==。
例20、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
分析与解：设球体质量为M，半径为R，设想有一质量为m的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则
G=mω02R, 所以，ω02=πGρ。
由于ω≤ω0得ω2≤πGρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。
问题13：会用万有引力定律推导恒量关系式。
例21、行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：T2是一个常量，即对任何行星都相同。
证明：因为行星的质量M=（R是行星的半径），行星的体积
V=R3，所以行星的平均密度==，
即T2=，是一个常量，对任何行星都相同。
例22、设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：是一个常数，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。
证明：由G= mr(2π/T)2得=，即对于同一天体的所有卫星来说，均相等。
问题14：会求解卫星运动与光学问题的综合题
例23、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
图17
太阳光
E
O
S
A
R
r
θ
分析与解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有
春分时，太阳光直射地球赤道，如图17所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图17可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有
S
P
ω
O
600
300
V
图18
A
B
M
d
由以上各式可解得
问题15：会用运动的合成与分解知识求解影子或光斑的速度问题。
例24、如图18所示，点光源S到平面镜M的距离为d。光屏AB与平面镜的初始位置平行。当平面镜M绕垂直于纸面过中心O的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过300时，垂直射向平面镜的光线SO在光屏上的光斑P的即时速度大小为 。
分析与解：当平面镜转过300时，反射光线转过600角，反射光线转动的角速度为平面镜转动角速度的2倍，即为2ω。将P点速度沿OP方向和垂直于OP的方向进行分解，可得：
Vcos600=2ω.op=4ωd,所以V=8ωd.
例25、如图19所示，S为频闪光源，每秒钟闪光30次，AB弧对O点的张角为600
，平面镜以O点为轴顺时针匀速转动，角速度ω=rad/s,问在AB弧上光点个数最多不超过多少？
S
O
M
B
A
600
图19
分析与解：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知，当平面镜以ω转动时，反射光线转动的角速度为2ω。因此，光线扫过AB弧的时间为t=0.5S,则在AB弧上光点个数最多不会超过15个。
