高考数学阶段复习试卷三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题 1. 在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边长，已知： ， （其中 ） (1)当 时，证明： ； (2)若 ，求边长 的最小值. 2. 已知函数 （1）求函数 在区间 上的值域； （2）在 中，角 所对的边分别是 若角 为锐角， ，且 ，求 面积的最大值。 3. 已知函数 (Ⅰ)若方程 在 上有解，求 的取值范围；(Ⅱ)在 中， 分别是 所对 的边，当(Ⅰ)中的 取最大值，且 ， 时，求 的最小值 4. 在 中， ． 求角 的值； 如果 ，求 面积的最大值． 5. 如图，扇形 ，圆心角 等于 ，半径为 ，在弧 上有一动点 ，过 引平行于 的 直线和 交于点 ，设 ，求 面积的最大值及此时 的值. ABC∆ a b c A B C 3C π= a b cλ+ = 1λ > 2λ = a b c= = 3AC BC λ⋅ =  c ( ) 4cos sin( ) 33f x x x π= − + ( )f x [ , ]4 2 π π ABC∆ , ,A B C , ,a b c C ( ) 3f C = 2c = ABC∆ 2( ) 3sin 2 2cosf x x x m= + − ( ) 0f x = [0, ]2x π∈ m ABC∆ , ,a b c , ,A B C m ( ) 1f A = − 2b c+ = a ABC∆ sin 3 cosA B a b = (1) B (2) 2b = ABC∆ AOB AOB 60o 2 AB P P OB OA C AOP θ∠ = POC∆ θ 6. 如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径．一种是从 沿直线步行到 ，另一种是 先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ．现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速 步行，速度为 / ．在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再从匀速步行 到 ．假设缆车匀速直线运动的速度为 / ，山路 长为 ，经测量， ， ． 求索道 的长； 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 7. 如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 在线段 上． 若 ，求 的长； 若点 在线段 上，且 ，问：当 取何值时， 的面积最小？并求出面 积的最小值． A C A C A B B C A AC 50m min 2min A B B 1min C 130m min AC 1260m 12cos 13A = 3cos 5C = (1) AB (2) (3) C 3 OPQ∆ 90POQ °∠ = 2 2OP = M P Q (1) 5OM = PM (2) N MQ 30MON °∠ = POM∠ OMN∆ 试卷答案 1. 答案： 见解析 见解析 分析： ∵ ，由正弦定理得， ， ，化简得： ，∴ 为正三角形， . 由余弦定理得； ， 又由 知： 再由 可得： ，设 ，下面求 的最值.求导函数 ，当 时，解得 ，其中 舍去.由于当 时， ； 当 时 ，故 在 上时减函数，在 上是增函数，因此当 时， 取极小值， 又在 上 有且只有一个极值点，所以当 时， 取到最小值. ， 于是在 中边长 存在最小值，不存在最大值，其最小值为 . 2. 答案：答案见解析 分析：（ ） ， 由 ，有 ，得函数 的值域为 . (1) (2) (1) a b cλ+ = sin sin sin 3A B Cλ+ = = 2sin sin( ) 33B Bπ∴ + − = sin( ) 1,6 3B B π π+ = ∴ = ABC∆ a b c∴ = = (2) 2 2 2 2 2 22 cos ( ) 3c a b ab C a b ab a b ab= + − = + − = + − 3AC BC λ⋅ =  32 ,ab λ= a b cλ+ = 3 2 2 2 3 2 2 66 1c c c λλ λ λ= − ⇒ = − 3 2 6( ) ( 1)1f λλ λλ= >− ( )f λ 2 2 2 6 ( 3)( 3)( ) ( 1)f λ λ λλ λ + −′ = − ( ) 0f λ′ = 3λ = 0, 3λ λ= = − 1 3λ< < ( ) 0f λ′ < 3λ > ( ) 0f λ′ > ( )f λ (1, 3) ( 3, )+∞ 3λ = ( )f λ (1, )+∞ ( )f λ 3λ = ( )f λ min( ) ( 3) 9 3f fλ = = ABC∆ c 4 min min( ) 3 3c f λ= = 1 ( ) 2cos (sin 3 cos ) 3 sin 2 3 cos2 2sin(2 )3f x x x x x x x π= − + = − = − 4 2x π π   226 3 3x π π π−  ( )f x [ ]1,2 （ ）由 ，有 ，又角 为锐角，则 ， 从而 ，得 由余弦定理得： ，又 ，故 。 从而 ，故当 ，即 为正三角形时， 的面积有最大值 . 3. 答案：答案见解析 分析：（1） ， 在 内有 （2） ， 或 ， 当且仅当 时 有最大值 有最小值 ，此时 4. 答案：答案见解析 分析： 因为 ， ， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ， 所以 ， 2 ( ) 3f C = 3sin(2 )3 2C π− = C 223 3 3C π π π− < − < 2 3 3C π π− = 3C π= 2 2 4a b ab+ − = 2 2 2a b ab+  2 24 a b ab ab= + −  1 3sin 32 4ABCS ab C ab∆ = =  a b= ABC∆ ABC∆ 3 ( ) 2sin(2 ) 16f x x m π= + + − 2sin(2 ) 16m x π∴ = + + [0, ]2 π 70 ,2 6 6 6x x π π π π∴ +     0 2sin(2 ) 3, 0 36x m π∴ + ∴    3, ( ) 2sin(2 ) 2 16m f A A π= = + − = − 1sin(2 ) , 2 26 2 6 6A A k π π π π∴ + = ∴ + = + 52 2 ,( ) (0, ),6 6 3A k k Z A A π π ππ π+ = + ∈ ∈ ∴ = , 2 2 ,3A b c ab π= ∴ + =  b c= bc 1 2 2 2 22 cos ( ) 3 4 3a b c bc A b c bc bc= + − = + − = − a∴ 1 1b c= = (1) sin sin a b A B = sin 3 cosA B a b = sin 3 cos ,tan 3B B B= = (0, )B π∈ 3B π= (2) 3B π= 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 因为 ， 所以 ， 所以 （当且仅当 时，等号成立）， 所以 ， 所以 面积最大值为 ． 5. 答案： 6. 答案：见解析 分析： 如图作 于点 ，设 ， 则 ， 由 知： ． 设乙出发 分钟后到达点 ，此时甲到达 点，如图所示． 则： ， 由余弦定理得： ， 其中 ，当 时， 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． 由 知： ，甲到 用时： ． 若甲等乙 分钟，则乙到 用时： ，在 上用时： ． 此时乙的速度最小，且为： / ． 若乙等甲 分钟，则乙到 用时： ，在 上用时： ． 此时乙的速度最大，且为： / ， 故乙步行的速度应控制在 范围内． 2b = 2 2 4 2a c ac ac+ = + ≥ 4ac ≤ a c= 1 sin 32ABCS ac B∆ = ≤ ABC∆ 3 3 3 (1) BD CA⊥ D 20BD k= 25 , 48 , 52DC k AD k AB k= = = 63 1260AC k m= = 52 1040AB k m= = (2) x M N 130 , 50( 2)AM x AN x= = + 2 2 2 22 cos 7400 14000 10000MN AM AN AM AN A x x= + − ⋅ = − + 0 8x≤ ≤ 35 (min)37x = MN (3) (1) 500BC m= C ( )1260 126 min50 5 = 3 C ( )126 1413 min5 5 + = BC ( )86 min5 86 1250500 5 43 m÷ = min 3 C ( )126 1113 min5 5 − = BC ( )56 min5 56 625500 5 43 m÷ = min 1250 625[ , ]43 14 7. 答案： 或 分析： 在中 ， ， ， ， 由余弦定理得， ， 得 ，解得 或 ． 设 ， ， 在 中，由正弦定理，得 ， 所以 ， 同理 故 (1) 1MP = 3MP = (2) 8 4 3− (1) OMP∆ 45OPM °∠ = 5OM = 2 2OP = 2 2 2 2 cos45OM OP MP OP MP °= + − × × × 2 4 3 0MP MP− + = 1MP = 3MP = (2) POM α∠ = 0 60α° °≤ ≤ OMP∆ sin sin OM OP OPM OMP =∠ ∠ ( ) sin 45 sin 45 OPOM α ° ° = + ( ) sin 45 sin 75 OPON α ° ° = + 1 sin2OMNS OM ON MON∆ = × × × ∠ ( ) ( ) 2 21 sin 45 4 sin 45 sin 75 OP α α ° ° ° = × + + ( ) ( ) 1 sin 45 sin 45 30α α° ° ° = + + + ( ) ( ) ( ) 1 3 1sin 45 sin 45 cos 452 2 α α α° ° ° =  + + + +    ( ) ( ) ( )2 1 3 1sin 45 sin 45 cos 452 2 α α α° ° ° = + + + + ( ) ( ) 1 3 11 cos 90 2 sin 90 24 4 α α° ° =  − + + +  因为 ， ，所以当 时， 的最大值为 ，此时 的面积取到最小值． 即 时， 的面积的最小值为 ． 1 3 3 1sin 2 cos24 4 4 α α = + + ( ) 1 3 1 sin 2 304 2 α ° = + + 0 60α° °≤ ≤ 30 2 30 150α° ° °≤ + ≤ 30α °= ( )sin 2 30α °+ 1 OMN∆ 30POM °∠ = OMN∆ 8 4 3−