内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷文科解析

内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷文科解析

‎2016年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁UM）∩N=（　　）‎ A．{2} B．{﹣1} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣1，1}‎ ‎2．已知复数z=，则（　　）‎ A．z的实部为 B．z的虚部为﹣i C．|z|= D．z的共轭复数为+i ‎3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（　　）‎ A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆 C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线 ‎4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：‎ x ‎ 11‎ ‎ 10.5‎ ‎ 10‎ ‎ 9.5‎ ‎ 9‎ y ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 10‎ ‎10‎ 根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2， =﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（　　）‎ A．16个 B．20个 C．24个 D．28个 ‎6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）‎ A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1‎ ‎7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎8．设Sn是公差d=﹣1的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则an=（　　）‎ A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n ‎9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．100cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3‎ ‎10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）‎ A．y=g（x）是奇函数 B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称 C．y=g（x）的图象关于直线x=对称 D．y=g（x）的周期为π ‎11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知sin（α+）=，且，则cosα=　　　　　　．‎ ‎14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于　　　　　　．‎ ‎15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为　　　　　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．设数列{an}的前n项之和为Sn，且满足Sn=1﹣an，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是 正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．‎ ‎（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求该几何体的体积．‎ ‎19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：‎ ‎ 编号 ‎ 分组 ‎ 频数 ‎1‎ ‎[0，2）‎ ‎ 12‎ ‎2‎ ‎[2，4）‎ ‎ 16‎ ‎3‎ ‎[4，6）‎ ‎ 34‎ ‎4‎ ‎[6，8）‎ ‎ 44‎ ‎5‎ ‎[8，10）‎ ‎ 50‎ ‎6‎ ‎[10，12）‎ ‎ 24‎ ‎7‎ ‎[12，14）‎ ‎ 12‎ ‎8‎ ‎[14，16）‎ ‎ 4‎ ‎9‎ ‎[16，18）‎ ‎ 4‎ 合计 ‎200‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．‎ ‎20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．‎ ‎21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣ax（a＞0，a≠1）．‎ ‎（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；‎ ‎（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．‎ ‎（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；‎ ‎（2）若∠PAB=35°，求证： =．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．‎ ‎（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．‎ ‎（1）求a+b+c的值；‎ ‎（2）求证：a2+b2+c2．‎ ‎　‎ ‎2016年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁UM）∩N=（　　）‎ A．{2} B．{﹣1} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣1，1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】直接由全集U，集合M求出∁UM，则N∩（∁UM）的答案可求．‎ ‎【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，‎ ‎∴∁UM={﹣2，2}．‎ 则N∩（∁UM）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=，则（　　）‎ A．z的实部为 B．z的虚部为﹣i C．|z|= D．z的共轭复数为+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．‎ ‎【解答】解：∵z===﹣﹣i，‎ 故|z|=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（　　）‎ A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆 C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线 ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．‎ ‎【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；‎ 当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；‎ 当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；‎ 对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．‎ ‎【解答】解： =（1，2），=（﹣2，4），‎ 可得•=﹣2+8=6，||==2，‎ 由k+与垂直，可得（k+）•=0，‎ k•+2=0，即有6k+20=0，‎ 解得k=﹣．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：‎ x ‎ 11‎ ‎ 10.5‎ ‎ 10‎ ‎ 9.5‎ ‎ 9‎ y ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 10‎ ‎10‎ 根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2， =﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（　　）‎ A．16个 B．20个 C．24个 D．28个 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．‎ ‎【解答】解： =， =．‎ ‎∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．‎ ‎∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．‎ 当x=5时， =﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）‎ A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，‎ ‎△=4﹣4m＜0，‎ 解得m＞1；‎ 所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；‎ m＞2是不等式成立的充分不必要条件；‎ ‎0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；‎ m＞0是不等式成立的必要不充分条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．‎ ‎【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．‎ ‎【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；‎ 第二次循环得z=3，x=2，y=3；‎ 第三次循环得z=5，x=3，y=5；‎ 第四次循环得z=8，x=5，y=8；‎ 第五次循环得z=13，x=8，y=13；‎ 第六次循环得z=21，x=13，y=21；‎ 第七次循环得z=34，x=21，y=34；‎ 第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，‎ 故选B ‎　‎ ‎8．设Sn是公差d=﹣1的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则an=（　　）‎ A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即 （2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．‎ ‎【解答】解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn==，‎ 再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即 （2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），‎ 解得 a1=﹣，‎ ‎∴an=﹣+1﹣n=﹣n，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．100cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．‎ ‎∴该几何体的体积V=6×6×3﹣‎ ‎=100cm3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）‎ A．y=g（x）是奇函数 B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称 C．y=g（x）的图象关于直线x=对称 D．y=g（x）的周期为π ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，‎ ‎∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，‎ 则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，‎ 即f（x）=cos（x+φ），‎ ‎①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，‎ 则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），‎ 将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，‎ 即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，‎ 此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，‎ g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，‎ g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，‎ y=g（x）的周期为2π，故D错误，‎ ‎②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，‎ 则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，‎ ‎∵|φ|＜，∴此时φ不存在．‎ 综上故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．‎ ‎【解答】解：约束条件的可行域如下图示：‎ 画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，‎ 三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），‎ 因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，‎ 故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，‎ 就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度 ‎．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），‎ 可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，‎ 过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，‎ 国灰r2=14，故|AB|=2=4，‎ 所以线段AB的最小值为4．‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．‎ ‎【解答】解：依题意，作图如下：‎ 由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，‎ 设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，‎ x=y﹣a，‎ 由PF1⊥PF2，‎ ‎∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2‎ ‎=（y﹣a）2+y2﹣c2，‎ 令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，‎ 则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，‎ 由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，‎ ‎∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，‎ 整理得： =c2，又b2=a2﹣c2，e2=，‎ ‎∴e4﹣3e2+1=0，‎ ‎∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），‎ ‎∴e2==（）2，‎ 可得e=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．已知sin（α+）=，且，则cosα=　﹣　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由，可得： ＜π， =﹣．利用cosα=，展开即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，∴＜π，‎ ‎∴=﹣=﹣．‎ ‎∴cosα==+‎ ‎=+‎ ‎=．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于　180　．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．‎ ‎【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．‎ ‎∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，‎ ‎∴n=10‎ ‎∴展开式的通项为=‎ 令=0，可得r=2‎ ‎∴展开式中的常数项等于=180‎ 故答案为：180‎ ‎　‎ ‎15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为　　．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．‎ ‎【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，‎ ‎∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，‎ ‎∴球的半径为=，‎ ‎∴球心到截面的距离为=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为　（1，2+）　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f（x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，‎ f′（x）=，‎ ‎∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，‎ 当＜x＜1，f′（x）＞0；‎ 当1＜x＜e，f′（x）＜0，‎ 故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，‎ f（）=a﹣2﹣，‎ f（e）=a+2﹣e2，‎ 则f（e）＜f（），‎ f（x）在[，e]上有两个零点的条件，‎ ‎，解得1＜a＜2+，‎ 故实数a的取值范围（1，2+]．‎ 故答案为：（1，2+]．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．设数列{an}的前n项之和为Sn，且满足Sn=1﹣an，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）通过Sn=1﹣an与Sn﹣1=1﹣an﹣1作差可知an=an﹣1，进而计算可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知bn=（n+1），进而利用错位相减法计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵Sn=1﹣an，Sn﹣1=1﹣an﹣1，‎ ‎∴an=an﹣1﹣an，即an=an﹣1，‎ 又∵S1=1﹣a1，即a1=，‎ ‎∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列，‎ ‎∴其通项公式an=；‎ ‎（2）由（1）可知bn=（n+1）an=（n+1），‎ ‎∴Tn=2•+3•+4•+…+（n+1），‎ Tn=2•+3•+…+n•+（n+1），‎ 两式相减得： Tn=2•+++…+﹣（n+1）‎ ‎=+﹣（n+1）‎ ‎=﹣，‎ ‎∴Tn=3﹣．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是 正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．‎ ‎（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求该几何体的体积．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC⊥面ABC．‎ ‎（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，‎ ‎△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴A1A⊥AC，‎ 又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，‎ ‎∴面A1AC⊥面ABC．‎ ‎（Ⅱ）解：依题意得：‎ 而，‎ ‎，‎ 故：．‎ ‎　‎ ‎19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：‎ ‎ 编号 ‎ 分组 ‎ 频数 ‎1‎ ‎[0，2）‎ ‎ 12‎ ‎2‎ ‎[2，4）‎ ‎ 16‎ ‎3‎ ‎[4，6）‎ ‎ 34‎ ‎4‎ ‎[6，8）‎ ‎ 44‎ ‎5‎ ‎[8，10）‎ ‎ 50‎ ‎6‎ ‎[10，12）‎ ‎ 24‎ ‎7‎ ‎[12，14）‎ ‎ 12‎ ‎8‎ ‎[14，16）‎ ‎ 4‎ ‎9‎ ‎[16，18）‎ ‎ 4‎ 合计 ‎200‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；‎ ‎（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；‎ ‎（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，‎ ‎∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；‎ ‎（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；‎ 数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；‎ ‎（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），‎ ‎∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，‎ 可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 即有=2，又a2﹣b2=16，‎ 解得a=4，b=4，‎ 则椭圆方程为+=1；‎ ‎（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，‎ 代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0‎ y1+y2=﹣，y1y2=﹣，‎ ‎|y1﹣y2|===，‎ S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•‎ ‎=16•≤16•=8，‎ 当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣ax（a＞0，a≠1）．‎ ‎（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；‎ ‎（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣ex的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；‎ ‎（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣ex的导数为f′（x）=1﹣2x﹣ex，‎ 可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，‎ 切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；‎ ‎（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，‎ 而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，‎ 则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，‎ f（x）=xlna﹣x2﹣ax的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣axlna，‎ 又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 增函数 极大值 减函数 所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，‎ 所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，‎ f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．‎ 因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，‎ 令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，‎ 所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．‎ 而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；‎ 当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），‎ 所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，‎ 而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，‎ 可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；‎ 当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，‎ 函数y=+lna的导数为y′=﹣=，‎ 可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．‎ 综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．‎ ‎（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；‎ ‎（2）若∠PAB=35°，求证： =．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．‎ ‎【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD内接于⊙O，能求出∠D．‎ ‎（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，‎ 又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，‎ ‎∴∠D=112°．‎ ‎（2）证明：∵∠DAE=35°，‎ ‎∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，‎ ‎∴△ADC∽△ABP，‎ ‎∴=，∠DBA=∠BDA，‎ ‎∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．‎ ‎（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．‎ ‎（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 化为，‎ 消去t可得直线l的普通方程： x+y﹣4=0．‎ 曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），‎ 解得ρ=4．‎ 可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．‎ ‎（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．‎ ‎∴cos==，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠AOB=，‎ 可得∠AOB=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．‎ ‎（1）求a+b+c的值；‎ ‎（2）求证：a2+b2+c2．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，‎ 当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，‎ 故a+b+c=1；‎ ‎（2）3（a2+b2+c2）﹣12‎ ‎=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2‎ ‎=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ‎=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，‎ ‎∴a2+b2+c2．‎ ‎　‎ ‎2016年8月27日