北京市顺义区高考数学二模试卷文科解析版

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北京市顺义区高考数学二模试卷文科解析版

‎2017年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.设集合A={x|x<1或x>2},B={x|3x﹣4>0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣,1) B.(,2) C.(1,) D.(2,+∞)‎ ‎2.下列函数中为奇函数的是(  )‎ A.y=x2+2x B.y=ln|x| C.y=()x D.y=xcosx ‎3.过原点且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线的倾斜角为(  )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎4.执行如图所示的程序框图,则输出的s值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β垂直”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.已知向量=(1,),=(﹣1,),则∠BAC=(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为(  )‎ A.8 B.8+4 C.4+2 D.2+‎ ‎8.某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(  )‎ A.y=[] B.y=[] C.y=[] D.y=[]‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.复数z=(1﹣i)(2+i)的实部为   .‎ ‎10.在△ABC中,a=7,b=8,c=5,则∠A=   .‎ ‎11.3﹣2,21.5,log23三个数中最大的数是   .‎ ‎12.若抛物线y2=8x上的点P到焦点的距离为6,则P到y轴的距离是   .‎ ‎13.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在x轴上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=   .‎ ‎14.若直线l与曲线M(x0,y0)满足下列两个条件:‎ ‎(1)直线l在点M(x0,y0)处与曲线C相切;‎ ‎(2)曲线C在点M附近位于直线l的两侧,则称直线l在点M处“内切”曲线C.‎ 下列命题正确的是   (写出所有正确命题的编号)‎ ‎①直线l:y=0在点M(0,0)处“内切”曲线C:y=x3‎ ‎②直线l:y=x在点M(0,0)处“内切”曲线C:y=sinx ‎③直线l:y=x﹣1在点M(1,0)处“内切”曲线C:y=lnx.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎15.已知函数f(x)=sinxcosx+cos(π﹣x)cosx ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎16.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,数列{bn}满足:b1=3,b4=11,且{an+bn}为等差数列.‎ ‎(I) 求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(II) 求数列{bn}的前n项和.‎ ‎17.某高中学校为了解学生体质情况,从高一和高二两个年级分别随机抽取了40名男同学进行“引体向上”项目测试.样本的测试成绩均在0至30个之间,按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]的分组分别作出频率分布直方图.记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为s12,高二年级的“引体向上”成绩的方差为s22.‎ ‎(Ⅰ)已知该学校高二年级男同学有500人,估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数;‎ ‎(Ⅱ)从样本中高一年级的成绩不小于20个男同学中随机抽取2人,求至少有1人成绩在[25,30]中的概率.‎ ‎(Ⅲ)比较s12与s22的大小(只需写出结果).‎ ‎18.如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中点,N是CE的中点.‎ ‎(I)求证:EM⊥AD;‎ ‎(II)求证:MN∥平面ADE;‎ ‎(III)求点A到平面BCE的距离.‎ ‎19.已知函数f(x)=1+lnx﹣aex ‎(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求实数a的值;‎ ‎(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)经过点(1,),离心率e=.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程,‎ ‎(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆C相切,切点为T,且直线l与直线x=4相交于点S.试问:在坐标平面内是否存在一定点,使得以ST为直径的圆恒过该定点?若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.设集合A={x|x<1或x>2},B={x|3x﹣4>0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣,1) B.(,2) C.(1,) D.(2,+∞)‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.‎ ‎【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.‎ ‎【解答】解:B={x|3x﹣4>0}={x|x>},‎ 则A∩B={x|x>2},‎ 故选:D ‎ ‎ ‎2.下列函数中为奇函数的是(  )‎ A.y=x2+2x B.y=ln|x| C.y=()x D.y=xcosx ‎【考点】3K:函数奇偶性的判断.‎ ‎【分析】直接利用基本函数的奇偶性判断选项即可.‎ ‎【解答】解:A.函数y=x2+2x为非奇非偶函数,故本选项错误;‎ B.函数y=ln|x|定义域不关于原点对称,非奇非偶函数,故本选项错误;‎ C.函数y=()x不满足f(﹣x)=﹣f(x)不是奇函数,故本选项错误;‎ D.f(﹣x)=﹣xcos(﹣x)=﹣xcosx=﹣f(x),则f(x)为奇函数,故本选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.过原点且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线的倾斜角为(  )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【考点】I2:直线的倾斜角.‎ ‎【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和圆的半径,设出直线l的方程,由圆心到l的距离等于半径求得斜率,则直线l的倾斜角可求.‎ ‎【解答】解:由x2+y2﹣4x+3=0,得(x﹣2)2+y2=1,‎ ‎∴圆的圆心为(2,0),半径为1,‎ 设直线l的方程为kx﹣y=0,‎ 由圆与直线相切得: =1,‎ 解得k=.‎ 设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π),‎ 由tanθ=±,得θ=或.‎ ‎∴直线l的倾斜角为或.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,则输出的s值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】EF:程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的s,k的值,当k=4时不满足条件k<4,退出循环,输出S的值即可得解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得 s=1,k=1‎ 满足条件k<4,执行循环体,k=2,s=1+‎ 满足条件k<4,执行循环体,k=3,s=1++‎ 满足条件k<4,执行循环体,k=4,s=1+++‎ 不满足条件k<4,退出循环,输出s的值为s=1+++=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β垂直”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据直线垂直和面面垂直的判定条件分别进行判断即可.‎ ‎【解答】解:当a⊥b时,满足条件,但此时α∥β,即充分性不成立,‎ 当平面α和平面β垂直时,直线a和b平行,则直线a和直线b垂直不一定成立,‎ 故必要性不成立,‎ 则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β垂直”‎ 的既不充分也不必要条件,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎6.已知向量=(1,),=(﹣1,),则∠BAC=(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ ‎【考点】9R:平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】方法一:判断△ABC为等边三角形,问题得以解决,‎ 方法二:根据向量的夹角公式计算即可 ‎【解答】解:方法一:∵ =(1,),=(﹣1,),‎ ‎∴||=2,||=2, =﹣=(﹣2,0),‎ ‎∴||=2,‎ ‎∴△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°,‎ 方法二::∵ =(1,),=(﹣1,),‎ ‎∴||=2,||=2, •=1×(﹣1)+×=2,‎ ‎∴cos∠BAC==,‎ ‎∵0°≤∠BAC≤180°,‎ ‎∴∠BAC=60°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为(  )‎ A.8 B.8+4 C.4+2 D.2+‎ ‎【考点】L!:由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】首先由三视图还原几何体,根据图中数据计算侧面斜高,进一步计算侧面积.‎ ‎【解答】解:由三视图得到几何体的直观图如图:四棱锥P﹣ABCD,其中OP=3,AB=CD=4,AD=BC=2,‎ 所以PE=,PF=,‎ 所以侧面积为2(S△PAB+S△PBC)=;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(  )‎ A.y=[] B.y=[] C.y=[] D.y=[]‎ ‎【考点】36:函数解析式的求解及常用方法.‎ ‎【分析】由题意,根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表,即余数分别为8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加2.进而得到解析式.‎ ‎【解答】由题意,根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表,即余数分别为8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加2.因此利用取整函数可表示为y=[];‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.复数z=(1﹣i)(2+i)的实部为 3 .‎ ‎【考点】A2:复数的基本概念.‎ ‎【分析】直接把两个复数采用多项式乘多项式运算即可.‎ ‎【解答】解:z=(1一i)(2+i)=1×2+i﹣2i﹣i2=3﹣i,‎ 所以复数z的实部是3.‎ 故答案为3.‎ ‎ ‎ ‎10.在△ABC中,a=7,b=8,c=5,则∠A=  .‎ ‎【考点】HR:余弦定理.‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求cosA的值,结合A的范围即可得解.‎ ‎【解答】解:∵a=7,b=8,c=5,‎ ‎∴cosA===,‎ ‎∴由A∈(0,π),可得A=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.3﹣2,21.5,log23三个数中最大的数是 21.5 .‎ ‎【考点】4M:对数值大小的比较.‎ ‎【分析】由于3﹣2=,21.5>2,log23<2,即可判断 ‎【解答】解:3﹣2=,21.5>2,log23<2,‎ ‎∴3﹣2,21.5,log23三个数中最大的数是21.5,‎ 故答案为:21.5‎ ‎ ‎ ‎12.若抛物线y2=8x上的点P到焦点的距离为6,则P到y轴的距离是 4 .‎ ‎【考点】K8:抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】根据抛物线的焦半径公式,求得x+=6,即可求得x的值,求得P到y轴的距离.‎ ‎【解答】解:∵抛物线y2=8x,则p=4,则焦点F(2,0),设P(x,y)‎ 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,‎ ‎∴|MF|=6=x+2=6,‎ ‎∴x=4,‎ P到y轴的距离4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎13.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在x轴上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= 3 .‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用投影的定义,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分),‎ 区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段A′B′,‎ 由得A(﹣1,)‎ 由得B(2,﹣2),‎ 则|AB|=|2+1|=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎14.若直线l与曲线M(x0,y0)满足下列两个条件:‎ ‎(1)直线l在点M(x0,y0)处与曲线C相切;‎ ‎(2)曲线C在点M附近位于直线l的两侧,则称直线l在点M处“内切”曲线C.‎ 下列命题正确的是 ①② (写出所有正确命题的编号)‎ ‎①直线l:y=0在点M(0,0)处“内切”曲线C:y=x3‎ ‎②直线l:y=x在点M(0,0)处“内切”曲线C:y=sinx ‎③直线l:y=x﹣1在点M(1,0)处“内切”曲线C:y=lnx.‎ ‎【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数,得到曲线在点M处的导数值,求出曲线在点M处的切线方程,再由曲线在点M两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足条件(2),则正确的选项可求.‎ ‎【解答】解:①,由y=x3,得y′=3x2,则y′|x=0=0,直线y=0是在点M(0,0)处的曲线C的切线,‎ 又当x>0时y>0,当x<0时y<0,满足曲线C在M(0,0)附近位于直线y=0两侧,故命题①正确;‎ ‎②,由y=sinx,得y′=cosx,则y′|x=0=1,直线y=x是在点M(0,0)处的曲线的切线,‎ 满足曲线C在M(0,0)附近位于直线y=x两侧,故命题②正确;‎ ‎③,由y=lnx,得y′=,则y′|x=1=1,曲线在M(1,0)处的切线为y=x﹣1,‎ 由g(x)=x﹣1﹣lnx,得g′(x)=1﹣,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,‎ g′(x)>0.则g(x)在(0,+∞)上有极小值也是最小值,为g(1)=0.‎ 即y=x﹣1恒在y=lnx的上方,不满足曲线C在点M附近位于直线l的两侧,故命题③错误.‎ 故答案为:①②.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎15.已知函数f(x)=sinxcosx+cos(π﹣x)cosx ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)x∈[0,]上时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,即得f(x)的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=sinxcosx+cos(π﹣x)cosx 化简可得:f(x)=sin2x﹣cos2x=sin2xcos2x﹣=sin(2x﹣)‎ ‎(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=‎ ‎(Ⅱ)∵x∈[0,]上,‎ ‎∴2x﹣∈[,]‎ 当2x﹣=,即x=0时,函数f(x)取得最小值为.‎ 当2x﹣=,即x=时,函数f(x)取得最大值为1﹣.‎ ‎∴f(x)在区间[0,]上的最大值为1﹣,最小值为.‎ ‎ ‎ ‎16.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an,数列{bn}满足:b1=3,b4=11,且{an+bn}为等差数列.‎ ‎(I) 求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(II) 求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和.‎ ‎【解答】解:(I)因为在数列{an}中,a1=1,an+1=2an 所以, =2,n∈N*,‎ 即数列{an}是以首项为1,公比为2的等比数列.‎ 所以an=2n﹣1‎ 设等差数列{an+bn}的公差为d,‎ 由题意得:3d=(a4+b4)﹣(a1+b1 )=(23+11)﹣(1+3)=15‎ 解得d=5,‎ ‎∴an+bn=4+5(n﹣1)=5n﹣1,‎ ‎∴bn=5n﹣1﹣2n﹣1,‎ ‎(II) 由(I)知bn=5n﹣1﹣2n﹣1,‎ 数列{5n﹣1}的前n项和为4n+=n2+n.‎ 数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1,‎ 所以,数列{bn}的前n项和n2+n﹣2n+1.‎ ‎ ‎ ‎17.某高中学校为了解学生体质情况,从高一和高二两个年级分别随机抽取了40名男同学进行“引体向上”项目测试.样本的测试成绩均在0至30个之间,按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]的分组分别作出频率分布直方图.记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为s12,高二年级的“引体向上”成绩的方差为s22.‎ ‎(Ⅰ)已知该学校高二年级男同学有500人,估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数;‎ ‎(Ⅱ)从样本中高一年级的成绩不小于20个男同学中随机抽取2人,求至少有1人成绩在[25,30]中的概率.‎ ‎(Ⅲ)比较s12与s22的大小(只需写出结果).‎ ‎【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B8:频率分布直方图.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求出样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的频率,由此能估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数.‎ ‎(Ⅱ)记“从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中随机抽取2人,至少有1人成绩在[25,30]中”为事件M,样本中高一年级的成绩在[20,25)的人数为4人,记这4名同学为A1,A2,A2,A4,样本中高一年级的成绩在[25,30]的人数为2人,记这两名同学为B1,B2,由此利用列举法能求出至少有1人成绩在[25,30]中的概率.‎ ‎(Ⅲ)由频率分布直方图能比较,的大小.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的频率为(0.08+0.04+0.01)×5=0.65,‎ 所以估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数为:‎ ‎500×0.65=325人.‎ ‎(Ⅱ)记“从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中随机抽取2人,‎ 至少有1人成绩在[25,30]中”为事件M,‎ 样本中高一年级的成绩在[20,25)的人数为40×0.02×5=4人,‎ 记这4名同学为A1,A2,A2,A4,‎ 样本中高一年级的成绩在[25,30]的人数为40×0.01×5=2人,‎ 记这两名同学为B1,B2,‎ 则从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中,随机抽取2人,所有可能的结果有15种,分别为:‎ ‎(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),‎ ‎(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),‎ ‎(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),‎ 事件M包含的结果有9种,分别是:‎ ‎(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),‎ ‎(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),‎ 所以至少有1人成绩在[25,30]中的概率P(M)=.‎ ‎(Ⅲ)>.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中点,N是CE的中点.‎ ‎(I)求证:EM⊥AD;‎ ‎(II)求证:MN∥平面ADE;‎ ‎(III)求点A到平面BCE的距离.‎ ‎【考点】LS:直线与平面平行的判定;MK:点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】(Ⅰ)推导出EM⊥AB,从而EM⊥平面ABCD,由此能证明EM⊥AD.‎ ‎(Ⅱ)取DE的中点F,连接AF,NF,推导出四边形AMNF是平行四边形,从而MN∥AF,由此能证明MN∥平面ADE.‎ ‎(III)设点A到平面BCE的距离为d,由VA﹣BCE=VE﹣ABC,能求出点A到平面BCE的距离.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵EA=EB,M是AB的中点,∴EM⊥AB,‎ ‎∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,EM⊂平面ABE,‎ ‎∴EM⊥平面ABCD,‎ ‎∵AD⊂平面ABCD,∴EM⊥AD.‎ ‎(Ⅱ)取DE的中点F,连接AF,NF,‎ ‎∵N是CE的中点.,∴NFCD,‎ ‎∵M是AB的中点,∴AM,‎ ‎∴NFAM,∴四边形AMNF是平行四边形,‎ ‎∴MN∥AF,‎ ‎∵MN⊄平面ADE,AF⊂平面ADE,‎ ‎∴MN∥平面ADE.‎ 解:(III)设点A到平面BCE的距离为d,‎ 由(I)知ME⊥平面ABC,BC=BE=2,MC=ME=,‎ 则CE=,BN==,‎ ‎∴,‎ ‎=,‎ ‎∵VA﹣BCE=VE﹣ABC,即,‎ 解得d=,故点A到平面BCE的距离为.‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=1+lnx﹣aex ‎(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,求实数a的值;‎ ‎(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据导数和几何意义即可求出,‎ ‎(Ⅱ)分离参数,构造函数,利用导数,求出函数的最值,即可求出参数的取值范围 ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=1+lnx﹣aex,‎ ‎∴f′(x)=﹣aex,x∈(0,+∞).‎ 由于曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行,‎ ‎∴f′(1)=1﹣ae=0,‎ 解得,‎ ‎(Ⅱ)由条件知对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立,‎ 此命题等价于a≥对任意x∈(0,+∞)恒成立 令,x∈(0,+∞).‎ ‎∴=(﹣1﹣lnx),x∈(0,+∞).‎ 令g(x)=(﹣1﹣lnx),x∈(0,+∞).‎ 则g′(x)=﹣﹣<0.‎ ‎∴函数g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减.‎ 注意到g(1)=0,即x=1是g(x)的零点,‎ 而当x∈(0,1)时,g(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.‎ 又ex>0,所以当∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.‎ 则当x变化时,h′(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ h′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ h(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 因此,函数h(x)在x∈(0,+∞),取得最大值,所以实数a≥.‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)经过点(1,),离心率e=.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程,‎ ‎(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆C相切,切点为T,且直线l与直线x=4相交于点S.试问:在坐标平面内是否存在一定点,使得以ST为直径的圆恒过该定点?若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意可知:将点代入椭圆方程,利用椭圆的离心率公式即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,由△=0,求得4k2﹣m2+3=0,利用韦达定理及中点坐标公式,求得T点坐标,联立即可求得S点坐标,由•=0,根据向量数量积的坐标运算,可得,即可求得A点坐标,即可求得以ST为直径的圆恒过该定点(1,0).‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由点(1,)在椭圆上得,代入椭圆方程:,①‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 椭圆的离心率e==,则a=2c,a2=4c2,b2=3c2,②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3,‎ 故椭圆C的标准方程为;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎(Ⅱ)由,消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0;‎ 因为动直线l与椭圆C相切,即它们有且只有一个公共点T,可设T(x0,y0),‎ m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0,‎ ‎∴4k2﹣m2+3=0,③﹣﹣﹣﹣‎ 此时,x0==﹣=﹣,y0=kx0+m=,则T(﹣,).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由,得S(4,4k+m).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 假设平面内存在定点满足条件,不妨设为点A.‎ 由图形对称性知,点A必在x轴上.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设A(x1,0),则由已知条件知AS⊥AT,‎ 即•=0对满足③式的m,k恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由=(4﹣x1,4k+m),=(﹣﹣x1,),由•=0得:﹣ +‎ ‎﹣4x1+x12++3=0,‎ 整理得(4x1﹣4)+x12﹣4x1+3=0,④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由②式对满足①式的m,k恒成立,则,解得x1=1.‎ 故平面内存在定点(1,0),使得以ST为直径的圆恒过该定点.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎ ‎ ‎2017年6月15日
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