- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考数学三角函数典型综合题型题库含详解
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在 中,已 知内角 ,边 .设内角 ,面积为 . (1)求函数 的解析式和定义域; (2)求 的最大值. 解:(1) 的内角和 (2) 当 即 时,y 取得最大值 ………………………14 分 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),其 中 0< < < . (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的长度相等,求 - 的值(k 为非零的常数). 解:(1)由题意得:a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β) a-b=(cos α-cos β, sin α-sin β) ∴(a+b)·(a-b)=(cos α+cos β)(cos α-cos β)+(sin α+sin β)(sin α-sin β) =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0 ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2) 方法一:ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β, sin α-ksin β) | ka+b |= ,| a-kb |= 由题意,得 4cos (β-α)=0,因为 0<α<β<π ,所以β-α= . 方法二:由| ka+b |=| a-kb |得:| ka+b |2=| a-kb |2 即(ka+b )2=( a-kb )2,k2| a |2+2ka⋅b+| b |2=| a |2-2ka⋅b+k2| b |2 由于| a |=1,| b |=1 ∴k2+2ka⋅b+1=1-2ka⋅b+k2,故 a⋅b=0, ABC∆ 3A π= 2 3BC = B x= y ( )y f x= y ABC∆ A B C π+ + = 3A π= 20 3B π∴ < < sin 4sinsin BCAC B xA = = 1 2sin 4 3sin sin( )2 3y AB AC A x x π∴ = ⋅ = − 2(0 )3x π< < y = 2 3 14 3sin sin( ) 4 3sin ( cos sin )3 2 2x x x x x π − = + 26sin cos 2 3sinx x x= + 72 3sin(2 ) 3,( 2 )6 6 6 6x x π π π π= − + − < − < 2 6 2x π π− = 3x π= 3 3 α α β β α β π β α 1)cos(22 +−+ αβkk 1)cos(22 +−− αβkk 2 π 即(cos ,sin )⋅ (cos ,sin )=0 10 分 ⇒ 因为 0<α<β<π ,所以β-α= . 3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知 3sin2 +cos2 =2, (cosA•cosB≠0), 求 tanAtanB 的值。 答案: 1 2 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数 . (Ⅰ)求 的最大值,并求出此时 x 的值; (Ⅱ)写出 的单调递增区间. 解:(Ⅰ) ………………………(6 分) 当 ,即 时, 取得最大值 . ……………………(8 分) (Ⅱ)当 ,即 时, 所以函数 的单调递增区间是 .………(12 分) 5、(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知 中, , , , 记 , (1)求 关于 的表达式; (2)求 的值域; 解:(1)由正弦定理有: ; ∴ , ; α α β β 0)cos(0sinsincoscos =−⇒=+ αββαβα 2 π 2 BA + 2 BA − xxxxxf 22 sinsincos2cos3)( ++= )(xf )(xf xxxxxf 22 sinsincos2cos3)( ++= 2 2cos12sin2 2cos13 xxx −+++= xx 2cos2sin2 ++= 2)42sin(2 ++= π x πππ kx 2242 +=+ 8 ππ += kx )( Zk ∈ )(xf 22 + πππππ kxk 224222 +≤+≤+− 88 3 ππππ +≤≤− kxk )( Zk ∈ )(xf ]8,8 3[ ππππ +− kk )( Zk ∈ ABC∆ 1|| =AC 0120=∠ABC θ=∠BAC →→ •= BCABf )(θ )(θf θ )(θf )60sin( || 120sin 1 sin || 00 θθ −== ABBC θsin120sin 1|| 0 =BC 0 0 120sin )60sin(|| θ−=AB A B C 120° θ ∴ (2)由 ; ∴ ;∴ 6 、 ( 江 西 省 五 校 2008 届 高 三 开 学 联 考 ) 已 知 向 量 ,函数 . (I)若 ,求函数 的值; (II)将函数 的图象按向量 c= 平移,使得平移后的图象关于 原点对称,求向量 c. 解:由题意,得 ………………………………………………………………5 分 (1) , …………………………………7 分 (2)由图象变换得,平移后的函数为 , 而平移后的图象关于原点对称, ,………………9 分 即 , 即 . 7 、 ( 四 川 省 巴 蜀 联 盟 2008 届 高 三 年 级 第 二 次 联 考 ) 已 知 函 数 , (1)求函数 的最小正周期; (2)求函数 的单调减区间; →→ •= BCABf )(θ 2 1)60sin(sin3 4 0 ⋅−⋅= θθ θθθ sin)sin2 1cos2 3(3 2 −= )30(6 1)62sin(3 1 πθπθ <<−+= 6 5 62630 ππθππθ <+<⇒<< 1)62sin(2 1 ≤+< πθ )(θf ]6 1,0(∈ ],2[),2cos),122(cos(),2cos),122(sin( ππππ ∈−+=+= xxxbxxa baxf ⋅=)( 5 3cos −=x )(xf )(xf )0)(,( π<< mnm 2cos)122cos()122sin()( 2 xxxxf −++= ππ 2 1)cos2 1sin2 3(2 1 2 1cos4 1sin4 3 )cos1(2 1)6sin(2 1 −−=−−= +−+= xxxx xx π .2 1)6sin(2 1 −−= π x 5 4sin,5 3cos],,2[ =∴−=∈ xxx ππ .20 7 5 3 2 1cos4 1sin4 3)( −=−−=∴ xxxf 2 1)6sin(2 1)( −+−−= nmxxg π 02 10)0( =−=∴ ng 且 πππ 6 5,0,2 10)6sin( =∴<<==+ mmnm 且 )2 1,6 5( π=c 2( ) 1 2 3sin cos 2cosf x x x x= − + + )(xf )(xf 2 (3)画出函 数 的图象,由图象研究并写出 的对称轴和对称中心. 解:(1) , (2)由 得 , 所以,减区间为 (3) 无对称轴,对称中心为( ) 8、(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边 分别是 a,b,c,且 (1)求 的值; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1) 由余弦定理:conB= 1 4 sin +cos2B= - 1 4 (2)由 ∵b=2, + = 1 2ac+4≥2ac,得 ac≤ ,S△ABC= 1 2acsinB≤ (a=c 时取等号) ]12 5,12 7[),()( ππ−∈= xxfxg )(xg ( ) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x x x x π= + = + 2 2T π π= = 32 2 2 ( )2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 6 3k x k π ππ π+ ≤ ≤ + 2[ , ]( )6 3k k k Z π ππ π+ + ∈ ( )g x ,012 π− .2 1222 acbca =−+ BCA 2cos2sin 2 ++ 2 2 A B+ .4 15sin,4 1cos == BB 得 a2 c2 3 8 3 15 12 7π− 12 5π− 4 π− 12 π− x 0 -2 1 -1 12 π 4 π 12 5π 故 S△ABC 的最大值为 9、(四川省成都市一诊)在 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 , ,且 。 (I)求锐角 B 的大小; (II)如果 ,求 的面积 的最大值。 (1)解:m∥n ⇒ 2sinB(2cos2B 2-1)=- 3cos2B ⇒2sinBcosB=- 3cos2B ⇒ tan2B=- 3 ……4 分 ∵0<2B<π,∴2B= 2π 3 ,∴锐角 B= π 3 ……2 分 (2)由 tan2B=- 3 ⇒ B= π 3 或 5π 6 ①当 B= π 3 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ……3 分 ∵△ABC 的面积 S△ABC= 1 2 acsinB= 3 4 ac≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1 分 ②当 B= 5π 6 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) ……1 分 ∵△ABC 的面积 S△ABC= 1 2 acsinB= 1 4ac≤2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3 ……1 分 注:没有指明等号成立条件的不扣分. 10 、 ( 四 川 省 乐 山 市 2008 届 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知 向 量 , 集合 ,若函数 ,取得最大 值 3,最小值为-1,求实数 的值 答: ; 11 、 ( 四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高 2008 级 12 月 月 考 ) 已 知 函 数 3 15 ABC∆ ( )2sin , 3m B= − 2cos2 ,2cos 12 Bn B = − //m n 2b = ABC∆ ABCS∆ ( ) ( )3 cos2 , 1 , 1, sin2 , ,m a x n b a x a b R= = − ∈ { }2cos 2 ,2 2M x x x π π = − ∈ − ≥0, ( )f x m n x M= ∈ 在 时 ,a b ( )( ) 2 cos 2 ,6f x a x bπ= + + 54 1 4, ,3 3 3 3a b a b= = =− =或 2( ) [2sin( ) sin ]cos 3sin ,3f x x x x x x R π= + + − ∈ (1)求函数 的最小正周期; (2)若存在 ,使不等式 成立,求实数 m 的取值范围. 本题考查三角函数的基本性质及其运算,给定区间内不等式恒成立问题. 解析:(1) ……………………4 分 ∴ 函数 f(x)的最小正周期 ……………………6 分 (2)当 时, ∴ 当 ,即 时,f(x)取最小值-1 ………9 分 所以使题设成立的充要条件是 , 故 m 的取值范围是(-1,+∞) 12、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)设函数 f (x)=2cosx (cosx+ sinx)-1,x ∈R (1)求 f (x)的最小正周期 T; (2)求 f (x)的单调递增区间. 解: ………… 6 分 (1) . ………… 9 分 (2)由 2kπ – ≤ 2x + ≤ 2kπ + , 得:kπ – ≤ x ≤ kπ + (k ∈Z), f ( x ) 单调递增区间是[kπ – ,kπ + ](k ∈Z) 13 、 ( 安 徽 省 巢 湖 市 2008 届 高 三 第 二 次 教 学 质 量 检 测 ) 若 函 数 的图象与直线 相切,并且切点的横坐标依次成公差 ( )f x 0 5[0, ]12x π∈ 0( )f x m< 2( ) [2(sin cos cos sin ) sin ]cos 3sin3 3f x x x x x x π π= + + − 2 22sin cos 3 cos 3sinx x x x= + − sin 2 3 cos2x x= + 2sin(2 )3x π= + 2 2T π π= = 5[0, ]12x π∈ 72 [ , ]3 3 6x π π π+ ∈ 72 3 6x π π+ = 5 12x π= 5( )12f m π < 3 )62sin(22cos2sin3cossin322cos)( π+=+=+= xxxxxxxf ππ == 2 2T 2 π 6 π 2 π 3 π 6 π 3 π 6 π 2( ) sin sin cos ( 0)f x ax ax ax a= − > y m= 为 的等差数列。 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若点 是 图象的对称中心,且 ,求点 的坐标。 解:(Ⅰ) ……3 分 由题意知, 为 的最大值或最小值,所以 或 . ………………6 分 (Ⅱ)由题设知,函数 的周期为 ,∴ ……………………………………8 分 ∴ .令 ,得 ,∴ , 由 ,得 或 ,因此点 A 的坐标为 或 . 14 、 ( 北 京 市 朝 阳 区 2008 年 高 三 数 学 一 模 ) 已 知 , 向 量 , , . (Ⅰ)求函数 解析式,并求当 a>0 时, 的单调递增区间; (Ⅱ)当 时, 的最大值为 5,求 a 的值. 解:(Ⅰ) ………………………………2 分 ………………………………………………4 分 . ………………………………………………6 分 . ………………9 分 (Ⅱ) ,当 时, . 2 π m 0, 0( )A x y ( )y f x= 0 [0, ]2x π∈ A 2 1 cos2 1 2 1( ) sin sin cos sin 2 sin(2 )2 2 2 4 2 axf x ax ax ax ax ax π−= − = − = − + + m ( )f x 1 2 2m += 1 2 2m −= ( )f x 2 π 2a = 2 1( ) sin(4 )2 4 2f x x π= − + + sin(4 ) 04x π+ = 4 ( )4x k k Z π π+ = ∈ ( )4 16 kx k Z π π= − ∈ 0 ( )4 16 2 k k Z π π π≤ − ≤ ∈ 1k = 2k = 3 1( , )16 2 π 7 1( , )16 2 π x R∈ 2( cos ,1), (2, 3 sin 2 )OA a x OB a x a= = − ( )f x OA OB= ⋅ 0a ≠ )(xf )(xf ]2,0[ π∈x )(xf 2( ) 2 cos 3 sin 2f x a x a x a= + − 3 sin 2 cos2a x a x= + 2 sin(2 )6a x π= + 2 2 2 ( ) ,2 6 2 ( )3 6 k x k k k x k k 当 时 即 时 p p pp p p pp p - £ + £ + Î - £ £ + Î Z Z ( ) ( ) , ( )6f x f x k k k为增函数, 即 的增区间为 - 3 p pp pé ùê ú+ Îê úë û Z ( ) 2 sin(2 )6f x a x π= + ]2,0[ π∈x 72 [ , ]6 6 6x π π π+ ∈ 若 最大值为 ,则 . ………11 分 若 的最大值为 ,则 . 15、(北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)已知向量 a=(tanx,1),b=(sinx,cosx), 其中 a·b. (I)求函数 的解析式及最大值; (II)若 的值. 解:(I)∵a=(tanx,1),b=(sinx,cosx), a·b= ……………………3 分 ∵ …………6 分 (II) ……………………9 分 16、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 (I)求 cosB 的值; (II)若 ,且 ,求 b 的值. 解:(I)由正弦定理得 , 因此 …………6 分 (II)解:由 , 0, 2 6 2a x p p> + =当 时, ( )f x 2 5a = 5 2a = )(,6 7 62,0 xfxa 时当 ππ =+< 5a− = 5a = − =∈ )(],3,0[ xfx π )(xf 1)4cos()4sin(2,4 5)( −+⋅−= xxxf ππ求 =∴ )(xf .cos 1cossintan xxxx =+⋅ .2 3cos 1)3()(,3],3,0[ ===∴∈ π πππ fxfxx 的最大值为时当 .5 4cos,4 5 cos 1,4 5)( ==∴= xxxf 则 .5 3sin],3,0[ =∴∈ xx π xxxxx 2sin)22cos(1)4(cos21)4cos()4sin(2 2 −=+=−+=−+⋅− ππππ .25 24cossin2 −=−= xx .coscos3cos BcBaCb −= 2=⋅ BCBA 22=b ca和 CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === ,0sin.cossin3sin ,cossin3)sin( ,cossin3cossincossin ,cossincossin3cossin ,cossin2cossin6cossin2 ≠= =+ =+ −= −= ABAA BACB BABCCB BCBACB BCRBARCBR 又可得 即 可得 故 则 .3 1cos =B 2cos,2 ==⋅ BaBCBA 可得 所以 a=c= 6 17、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)已知在△ABC 中, ,且 与 是方程 的两个根. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 AB ,求 BC 的长. 解:(Ⅰ)由所给条件,方程 的两根 . 2 分 ∴ 4 分 6 分 (Ⅱ)∵ ,∴ . 由(Ⅰ)知, , ∵ 为三角形的内角,∴ 8 分 ∵ , 为三角形的内角,∴ , 10 分 由正弦定理得: 11 分 ∴ . 18 、 ( 北 京 市 十 一 学 校 2008 届 高 三 数 学 练 习 题 ) 已 知 函 数 . (Ⅰ)若 ,求 的最大值和最小值; (Ⅱ)若 ,求 的值. ,,0)( ,12 ,cos2 ,6,3 1cos 2 22 222 caca ca Baccab acB ==− =+ −+= == 即所以 可得 由 故又 A B> Atan Btan 0652 =+− xx )tan( BA + 5= 0652 =+− xx tan 3, tan 2A B= = tan tantan( ) 1 tan tan A BA B A B ++ = − 2 3 11 2 3 += = −− × 180=++ CBA )(180 BAC +−= 1)tan(tan =+−= BAC C 2sin 2C = tan 3A = A 3sin 10 A = sin sin AB BC C A = 5 3 3 5 2 10 2 BC = × = ( ) 2 3sin 2cosf x x x= − [ ]0x π∈ , ( )f x ( ) 0f x = 22cos sin 12 2 sin 4 x x x π − − + 解:(Ⅰ) .…………………………3 分 又 , , , .…………………………6 分 (II)由于 ,所以 解得 …………………………8 分 19 、 ( 北 京 市 西 城 区 2008 年 4 月 高 三 抽 样 测 试 ) 在 中 , , . (Ⅰ)求角 ; (Ⅱ)设 ,求 的面积. (Ⅰ)解:由 , , 得 , 所 以 ……… ( ) 2 3sin 2cosf x x x= − 3 14 sin cos2 2x x = − 4sin 6x π = − [ ]0x π∈∵ , π π 5π 6 6 6x −∴- ≤ ≤ π2 4sin 6x ∴− − ≤ ≤4 max min( ) 4 ( ) 2f x f x= = −∴ , ( ) 0f x = 2 3sin 2cosx x= 1tan 3 x = 22cos sin 1 cos sin2 2 22 sin 2 sin cos4 2 2 x x x x x x x π − − −= + + · · 11cos sin 1 tan 3 2 31cos sin 1 tan 1 3 x x x x x x −− −= = = = −+ + + ABC∆ 5cos 5A = 10cos 10B = C 2AB = ABC∆ 5cos 5A = 10cos 10B = 0 2A B π ∈ 、 , 2 3sin sin . 5 10 A B= =, ….. 3 分 因 为 , ………….. 6 分 且 , 故 ………….. 7 分 (Ⅱ)解: 根 据 正 弦 定 理 得 , ………….. 10 分 所以 的面积为 20、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 ,函数 ,且 。 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ,求 的最大值及相应的 值。 2cos cos[ ( )] cos( ) cos cos sin sin 2C A B A B A B A Bπ= − + = − + = − + = 0 C π< < .4C π= sin 6 sin sin sin 10 AB AC AB BACC B C ⋅= ⇒ = = ABC∆ 1 6sin .2 5AB AC A⋅ ⋅ = 0, 4 πϕ ∈ ( ) ( )2sinf xx ϕ= + 3 44 f π = ϕ 0, 2 x π ∈ ( )f x x 21、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)已知向量 m = , 向量n = (2, 0),且 m 与 n 所成角为 π 3 , 其中 A、B、C 是 的内角。 (1)求角 B 的大小; (2)求 的取值范围。 解:(1) m = ,且与向量 n = (2,0)所成角为 , 又 ( )BB cos1,sin − ABC∆ CA sinsin + ( )BB cos1,sin − 3 π ∴ 3sin cos1 =− B B ∴ 1cossin3 =+ BA ∴ 2 1)6sin( =+ π B π<< B0 ∴ 6 7 66 πππ <+< B ∴ 6 5 6 ππ =+B ……………………………………………………………..6 分 (2)由(1)知, , A+C= = = = , , 22、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知: (1)求 的值; (2)求 的值; (3)问:函数 的图像可以通过函数 的图像进行怎样的平已得 到? 解:(1) , ………………………………………………………..5 分 (2) ……..9 分 (3)函数 的图像可以通过函数 的图像向左平移 个单位得到 23、(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数 的定义 域为 ,值域为[−5,4].求 a 和 b. 解:f(x)=a(1-cos2x)- sin2x+b ∴ 3 2π=B 3 2π=B ∴ 3 π ∴ CA sinsin + )3sin(sin AA −+ π AA cos2 3sin2 1 + )3sin( A+π 30 π<< A ∴ 3 2 33 πππ <+< A ∴ )3sin( A+π ∈ 1,2 3 ∴ CA sinsin + ∈ 1,2 3 .4 3 4,5 3 4sin παππα <<= − − 4cos πα αsin −= 4cos π xy xy sin= παππα 4 3 4,5 3 4sin <<= − ∴ 240 ππα <−< ∴ 5 4 4cos = − πα 10 27 4sin4cos4cos4sin44sinsin = −+ −= +−= ππαππαππαα −= 4xcosy π sinxy = 4 π 2( ) 2 sin 2 3 sin cosf x a x a x x b= − ⋅ + [0, ]2 π 3a =-a(cos2x+ sin2x)+a+b =-2a sin(2x+ )+a+b . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ∵x∈ ,∴2x+ ,sin(2x+ )∈ . 显然 a=0 不合题意. (1) 当 a>0 时,值域为 ,即 (2) 当 a<0 时,值域为 ,即 24、(山东省博兴二中高三第三次月考)在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c, 已知向量 , (I)求 A 的大小; (II)求 的值. 解:(1)由 m//n 得 ……2 分 即 ………………4 分 舍去 ………………6 分 (2) 由正弦定理, ………………8 分 ………………10 分 25 、 ( 四 川 省 成 都 市 高 2008 届 毕 业 班 摸 底 测 试 ) 设 函 数 (Ⅰ)化简函数 的表达式,并求函数 的最小正周期; (Ⅱ)若 ,是否存在实数 m,使函数 的值域恰为 ?若存在,请求 出 m 的取值;若不存在,请说明理由。 解:(Ⅰ)∵ …………4 分 ∴函数 的最小正周期 ………………2 分 (Ⅱ)假设存在实数 m 符合题意, , 3 6 π [0, ]2 π 7[ , ]6 6 6 π π π= 6 π 1[ ,1]2 − ], 2b a b a − + 5, 3, 2 4, 2. b a a b a b − = − = ∴ + = = − [ ]2 ,b a b a+ − 4, 3, 2 5, 1. b a a b a b − = = − ∴ + = − = (1,2sin )m A= (sin ,1 cos ), // , 3 .n A A m n b c a= + + = 满足 )sin( 6 π+B 0cos1sin2 2 =−− AA 01coscos2 2 =−+ AA 1cos2 1cos −==∴ AA 或 1cos, −=∆ AABCA 的内角是 3 π=∴ A acb 3=+ 2 3sin3sinsin ==+ ACB π 3 2=+ CB 2 3)3 2sin(sin =−+∴ BB π 2 3)6sin(2 3sin2 3cos2 3 =+=+∴ π BBB 即 )(cossin32cos2)( 2 Rxmxxxxf ∈++= )(xf )(xf ]2,0[ π∈x )(xf ]2 7,2 1[ mxxxxf ++= cossin32cos2)( 2 1)62sin(22sin32cos1 +++=+++= mxmxx π )(xf π=T ]2,0[ π∈x ∴ …………2 分 ∴ …………2 分 又∵ ,解得 ∴存在实数 ,使函数 的值域恰为 26、(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,C=2A, , (1)求 的值; (2)若 ,求边 AC 的长。 本小题考查和角倍角公式以及正弦、余弦定理 解:(1) (2) ① 又 ② 由①②解得 a=4,c=6 ,即 AC 边的长为 5. 27、(东北三校 2008 年高三第一次联考)已知向量 (1)当 时,求 的值; (2)求 在 上的值域. 解:(1) ,∴ ,∴ (5 分) ]1,2 1[)62sin(6 7 626 −∈+≤+≤ ππππ xx ,则 ]3,[1)62sin(2)( mmmxxf +∈+++= π ]2 7,2 1[)( ∈xf 2 1=m 2 1=m )(xf ]2 7,2 1[ 4 3cos =A BC cos,cos 2 27=⋅ BCBA 8 1116 921cos22coscos 2 =−×=−== AAC 4 7sin,4 3cos;8 73sin,8 1cos ==== AACC 得由得由 ( ) 16 9 8 1 4 3 8 73 4 7coscossinsincoscos =×−×=−=+−=∴ CACACAB 24,2 27cos,2 27 =∴=∴=⋅ acBacBCBA aAacACC c A a 2 3cos2,2,sinsin ==∴== 2516 9483616cos2222 =×−+=−+=∴ Baccab 5=∴b 3(sin , ), (cos , 1).2a x b x= = − //a b 22cos sin 2x x− bbaxf ⋅+= )()( ,02 π − ||a b 3 cos sin 02 x x+ = 3tan 2x = − .13 20 tan1 tan22 cossin cossin2cos22sincos2 222 2 2 =+ −=+ −=− x x xx xxxxx (2) ∵ ,∴ ,∴ ∴ ∴函数 28、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)在△ 中,角 所对的边分别为 , . I.试判断△ 的形状; II.若△ 的周长为 16,求面积的最大值. 解:Ⅰ、 ,所以此三角形为直角三角形. Ⅱ . , 当 且仅 当 时取等号, 此时面积的最大值为 . 29、(本题 12 分) 已知 , . (1)求 的解析式及周期 ; (2)当 时, ,求 的值. 解: (1) ……3 分 ……………………………………………5 分 (2) 时, ……………………………………6 分 ………………………………8 分 ………… ………………………………10 分 30、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)已知 的面积为 , 1(sin cos , )2a b x x+ = + 2( ) ( ) sin(2 )2 4f x a b b x π= + ⋅ = + 02 x π− ≤ ≤ 3 24 4 4x π π π− ≤ + ≤ 21 sin(2 )4 2x π− ≤ + ≤ 2 1( )2 2f x− ≤ ≤ − 2 1,2 2)( 的值域为xf ABC CBA ,, cba ,, 22sin2sin =++ CBA ABC ABC )42sin(22sin2cos2sin2sin ππ +=+=+− CCCCC 2242 πππ ==+∴ CC 即 ababbaba 2216 22 +≥+++= 2)22(64 −≤∴ab ba = ( )24632 − (cos ,sin ), (cos 3sin , 3cos sin )a x x b x x x x= = + − baxf •=)( ( )f x T [0, ]2x π∈ ( ) 2 0f x − = x 2 2( ) cos 2 3 cos sin sin 2sin(2 )6f x a b x x x x x π= ⋅ = + − = + 2 2T π π= = [0, ]2x π∈ 2sin(2 )6 2x π+ = 32 2 2 26 4 6 4x k x k π π π ππ π+ = + + = +或 ∴ 7 24 24x k x k π ππ π= + = +或 ∴ 7 24 24x x π π= =或 ABC△ 3 且满足 ,设 和 的夹角为 . (I)求 的取值范围; (II)求函数 - 的最大值与最小值. 解:(Ⅰ)设 中角 的对边分别为 , 则由 , ,可得 , . (Ⅱ) . , , . 即当 时, ;当 时, . 31、(福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对 边,且有 sin2C+ cos(A+B)=0,.当 ,求△ABC 的面积。 (1)解:由 有 ……6 分 由 , ……8 分 由余弦定理 当 32 、 ( 福 建 省 师 大 附 中 2008 年 高 三 上 期 期 末 考 试 ) 设 向 量 , 若 , ,求 的值。 60 ≤⋅≤ ACAB AB AC θ θ )4(sin2)( 2 πθθ +=f θ2cos3 ABC△ A B C, , a b c, , 1 sin 32 bc θ = 0 cos 6bc θ≤ ≤ 0 cot 1θ≤ ≤ π π 4 2 θ ∈ ,∴ 2 π( ) 2sin 3 cos24f θ θ θ = + − π1 cos 2 3 cos22 θ θ = − + − (1 sin 2 ) 3 cos2θ θ= + − πsin 2 3 cos2 1 2sin 2 13 θ θ θ = − + = − + π π 4 2 θ ∈ ,∵ π π 2π2 3 6 3 θ − ∈ , π2 2sin 2 1 33 θ − + ∴ ≤ ≤ 5π 12 θ = max( ) 3f θ = π 4 θ = min( ) 2f θ = 3 13,4 == ca π=++=++ CBABAC 且0)cos(32sin 2 3sin0cos,0cos3cossin2 ===− CCCCC 或所以 3,2 3sin,,13,4 π==<== CCacca 则所以只能有 31,034cos2 2222 ===+−⋅−+= bbbbCabbac 或解得有 .3sin2 1,133sin2 1,3 =⋅===⋅== CabSbCabSb 时当时 (cos ,sin ), (cos ,sin )a bα α β β → → = = 0 ,α β π< < <且 4 5a b → → • = 4tan 3 β = tanα 33 、 ( 福 建 省 师 大 附 中 2008 年 高 三 上 期 期 末 考 试 ) 已 知 △ 的 面 积 为 3 , 且 。 (1)求 的取值范围; (2)求函数 的最大值和最小值。 (1)设△ 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 则 34 、 ( 福 建 省 厦 门 市 2008 学 年 高 三 质 量 检 查 ) 已 知 向 量 且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角。 (1)求角 C 的大小; 4cos cos sin sin 25 4cos( ) 25 0 1 1 1 3 4 tan( ) tan 4 3tan tan[( ) ] 1 tan( ) tan a b α β α β α β α β π π α β α β α β β α β βα α β β α β β → → • = + = ∴ − = < < < ∴ − < − < ∴ ∴ − +− +∴ = − + = =− − 分 分 又 0 分 3si n( - ) =- 分 5 3t an( - ) =- 分 4 4又 t an = 3 7 3 4 241 ( )4 3 = − − × ABC 0 6,AB AC AB AC θ → → → → ≤ • ≤ 设 和 的夹角为 θ 2 2( ) (sin cos ) 2 3 cosf θ θ θ θ= + − ABC 1 sin 3, 1 0 cot 1 12 0 cos 6, 1 [0, ] 1 , ] 12 S bc bc θ θ θ θ π π πθ = = ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ∈ ∴ ∈ 分 分 分 又 分 [ 分 4 min max ( ) 1 sin 2 3(1 cos2 ) 1 ) 1 3 1 2, ] 2 , ] 12 3 3 1 ) 1 12 2 3 ( ) 3 3 ( ) 2 3 1 5 ( ) 3 3 1 f f f f θ θ θ πθ π π π π πθ θ πθ θ πθ θ πθ θ = + − + + − ∈ ∴ − ∈ ∴ ≤ ≤ ∴ − ≤ ≤ − = − = − ( 2) 分 =2si n( 2 - 分 3 [ [ 分 4 6 si n( 2 - 分 3 当 = 时, 分 4 当 = 时, 分 12 ,2sin),cos,(cos),sin,(sin CnmABnBAm =⋅== (2)若 ,求 c 边的长。 解:(1) …………2 分 对于 , …………3 分 又 , …………6 分 (2)由 , 由正弦定理得 …………8 分 , 即 …………10 分 由余弦弦定理 , …………11 分 , 35、(福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)已知函数 ( , )为偶函数,且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为 . ⑴求 的解析式; ⑵若 ,求 的值。 解:⑴设最高点为 ,相邻的最低点为 ,则|x1–x2|= ∴ ,∴ ,∴ ………………………(3 分) ∴ , ∵ 是偶函数,∴ , . ∵ ,∴ ,∴ …………… (6 分) ⑵∵ ,∴ ………………………………(8 分) ∴原式 36、(福建省漳州一中 2008 年上期期末考试)已知 是△ 的两个内角,向量 18)(,sin,sin,sin =−⋅ ACABCABCA 且成等差数列 )sin(cossincossin BAABBAnm +=⋅+⋅=⋅ CBACCBAABC sin)sin(0,, =+∴<<−=+∆ ππ .sinCnm =⋅∴ Cnm 2sin=⋅ .3,2 1cos,sin2sin π===∴ CCCC BACBCA sinsinsin2,sin,sin,sin +=得成等差比数列 .2 bac += 18,18)( =⋅∴=−⋅ CBCAACABCA .36,18cos == abCab abbaCabbac 3)(cos2 2222 −+=−+= 36,3634 222 =×−=∴ ccc .6=∴c ( ) )sin( ϕω += xxf 0>ω πϕ ≤≤0 24 π+ ( )xf 5cottan =+ αα α πα tan1 1)42(2 − −−f 1( , 1)x 2( , 1)x − ( 0)2 T T > 2 2 444 π+=+T 22T ππ ω= = 1ω= ( ) sin( )f x x ϕ= + ( )f x sin 1ϕ = ± )(2 Zkk ∈+= ππϕ 0 ϕ π≤ ≤ 2 πϕ = ( ) sin( ) cos2f x x x π= + = tan cot 5α α+ = 1sin cos 5 α α = 2 cos(2 ) 1 24 2sin cos1 tan 5 πα α αα − − = = =− A B、 ABC ,若 . (Ⅰ)试问 是否为定值?若为定值,请求出;否则请说明理由; (Ⅱ)求 的最大值,并判断此时三角形的形状. 解:(Ⅰ)由条件 ………………………………………………(2 分) ∴ ………………………………………………………(4 分) ∴ ∴ 为定值.………………………(6 分) (Ⅱ) ………………………………………(7 分) 由(Ⅰ)知 ,∴ ………………………………(8 分) 从而 ≤ ………………(10 分) ∴取等号条件是 , 即 取得最大值, ∴此时ΔABC 为等腰钝角三角形 37 、 ( 甘 肃 省 河 西 五 市 2008 年 高 三 第 一 次 联 考 ) 已 知 函 数 . (I)求 的最小正周期及最大值; (II)求使 ≥2 的 的取值范围 解:(I) ……2 分 ………………4 分 …………………………6 分 (II)由 得 2 cos , sin2 2 A B A Ba + −= ( ) 6| | 2a = BA tantan ⋅ Ctan 2 23 6( ) | |2 2 a= = 2 2 1 cos( )2cos sin 1 cos( )2 2 2 A B A B A BA B + − − −= + = + + + 1cos( ) cos( )2A B A B+ = − 3sin sin cos cosA B A B= 1tan tan 3A B⋅ = tan tantan tan( ) 1 tan tan A BC A B A B += − + = − − 1tan tan 3A B⋅ = tan ,tan 0A B > 3tan (tan tan )2C A B= − + 3 2 tan tan 32 A B− ⋅ ⋅ = − 3tan tan 3A B= = 6A B π= = .cos2)62sin()62sin()( 2 xxxxf +−++= ππ )(xf )(xf x xxxxf 2cos2)62sin()62sin()( +−++= ππ 12cos26sin2cos6cos2sin6sin2cos6cos2sin ++−++= xxxxx ππππ 12cos2sin3 ++= xx 1)62sin(2 ++= π x 312)( max =+=∴ xf ππ ω π === 2 2 || 2T ( ) 2f x ≥ 2sin(2 ) 1 26x π+ + ≥ 2 1)62sin( ≥+∴ π x πππππ 6 526262 +≤+≤+∴ kxk 的 x 的取值范围是 38、(甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试)在△ABC 中,已知 ,外接圆半 径为 5. (Ⅰ)求∠A 的大小; (Ⅱ)若 的周长. 解:(Ⅰ)由正弦定理, ……4 分 (Ⅱ)∵ …………6 分 由余弦定理, ……8 分 39、(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 , , . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 , , 且 , 求 . 解:(Ⅰ) , , . , , 即 , . (Ⅱ) , , , , . 40、(广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一)如图 、 )(3 Zkkxk ∈+≤≤∴ πππ 2)( ≥∴ xf },3|{ Zkkxkx ∈+≤≤ πππ 35=BC ABCACAB ∆=⋅ ,求 2 11 °°=∠=∴×= 12060,2 3sin,52sin 35 或AAA 11,2 1160cos,60,2 11 ==°°=∠∴=⋅ bcbcAACAB 108)(,3)(75 2222 =+∴−+=−+= cbbccbbccb 3113536 =+=++ cba (cos ,sin )α α=a (cos ,sin )β β=b 2 5 5 − =a b cos( )α β− 0 2 πα< < 02 π β− < < 5sin 13 β = − sinα (cos ,sin )α α=a (cos ,sin )β β=b ( )cos cos sin sinα β α β∴ − = − −a b , 2 5 5 − =a b ( ) ( )2 2 2 5cos cos sin sin 5 α β α β∴ − + − = ( ) 42 2cos 5 α β− − = ( ) 3cos 5 α β∴ − = 0 , 0, 02 2 π πα β α β π< < − < < ∴ < − < ( ) 3cos 5 α β− = ( ) 4sin .5 α β∴ − = 5sin 13 β = − 12cos 13 β∴ = ( ) ( ) ( )sin sin sin cos cos sinα α β β α β β α β β∴ = − + = − + − 4 12 3 5 33 5 13 5 13 65 = ⋅ + ⋅ − = A O x y B A C 3 4( , )5 5 是单位圆 上的点, 是圆与 轴正半轴的交点, 点的坐标为 ,三角形 为正三角形. (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)求 的值. 解 : ( Ⅰ ) 因 为 点 的 坐 标 为 , 根 据 三 角 函 数 定 义 可 知 , , ……2 分 所以 ……4 分 ( Ⅱ ) 因 为 三 角 形 为 正 三 角 形 , 所 以 , , , ……5 分 所以 ……8 分 所以 41、(广东省惠州市 2008 届高三第三次调研考试)在△ ABC 中,已知角 A 为锐角,且 . (I)求 f (A)的最大值; (II)若 ,求△ABC 的三个内角和 AC 边的长. 解:(I) ……… …3 分 ∵ 角 A 为 锐 角 , …………………………………4 分 取值最大值,其最大值为 …………………… B O C x A )5 4,5 3( AOB COA∠sin 2|| BC A )5 4,5 3( 5 3=x 5 4=y 1=r 5 4sin ==∠ r yCOA AOB 60AOB∠ = 5 4sin =∠COA 5 3cos =∠COA cos cos( 60 ) cos cos60 sin sin60COB COB COB COB∠ = ∠ + = ∠ − ∠ 10 343 2 3 5 4 2 1 5 3 −=⋅−⋅= 2 2 2| | | | | | 2| || | cosBC OC OB OC OB BOC= + − ∠ 3 4 3 7 4 31 1 2 10 5 − += + − × = AAA AAA Af 2 22 cos )2(sin)22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos( )( + −−− −+−− = ππ πππ 2,1)(,12 7 ===+ BCAfBA π AA AAA AAA AAA Af 2 2 2 22 coscos 2cos2sincos2 cos 2sin2cos 2cos2sin)12(cos )( +=+ − + = .2 1)42sin(2 2)12cos2(sin2 1cos2sin2 1 2 ++=++=+= π AAAAA .4 5 424,20 ππππ <+<<<∴ AA )(,242 AfA 时当 ππ =+∴ .2 12 + D BA C 6 分 (II)由 ………………8 分 ………………10 分 在△ABC 中,由正弦定理得: 42、(广东省揭阳市 2008 年高中毕业班高考调研测试)如图某河段的两岸可视为平行, 为 了 测 量 该 河 段 的 宽 度 , 在 河 段 的 一 岸 边 选 取 两 点 A 、 B , 观 察 对 岸 的 点 C, 测 得 , ,且 米。 (1)求 ; (2)求该河段的宽度。 解:(1) ------------------------4 分 (2)∵ , ∴ , 由正弦定理得: ∴ ------------6 分 如图过点 B 作 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度。 在 中,∵ , ------------8 分 ∴ = (米) ∴该河段的宽度 米。 .2 2)42sin(,12 1)42sin(2 21)( =+∴=++= ππ AAAf 得 .12 5.3,12 7.4,4 3 42 ππππππ =∴=∴=+==+∴ CBBAAA 又 .6sin sin.sinsin ===∴= A BBCACB AC A BC 75CAB∠ = 45CBA∠ = 100AB = sin 75 sin 75 sin(30 45 )= + sin30 cos45 cos30 sin 45= + 1 2 3 2 6 2 2 2 2 2 4 += × + × = 75CAB∠ = 45CBA∠ = 180 60ACB CAB CBA∠ = − ∠ − ∠ = sin sin AB BC ACB CAB =∠ ∠ sin 75 sin 60 ABBC = BD Rt BDC∆ 45BCD CBA∠ = ∠ = sin ,BDBCD BC ∠ = sin 45BD BC= 6 2100sin 75 24sin 45sin 60 23 2 AB +× ⋅ = × 25(6 2 3) 3 += 25(6 2 3) 3 + 43、(广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试)已知:向量 , ,函数 (1)若 且 ,求 的值; (2)求函数 的单调增区间以及函数取得最大值时,向量 与 的夹角. 解:∵ = -----------------2 分 (1)由 得 即 ∵ ∴ 或 ∴ 或 -------------------------------------------------4 分 (2)∵ = ----------------------------------8 分 由 得 ∴ 的 单 调 增 区 间 .---------------------------------10 分 由上可得 ,当 时,由 得 , ∴ 44、(广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟)已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3 且 的夹角为 , (Ⅰ)求 的取值范围; (Ⅱ)求 的最小值。 解(Ⅰ)由题意知 ( 3, 1)a = − (sin 2 ,b x= cos2 )x ( )f x a b= ⋅ ( ) 0f x = 0 x π< < x ( )f x a b ( )f x a b= ⋅ 3sin 2 cos2x x− ( ) 0f x = 3sin 2 cos2 0x x− = 3tan 2 3x = 0 ,x π< < 0 2 2x π∴ < < 2 ,6x π= 72 ,6x π= 12x π= 7 12 π 3 1( ) 3sin 2 cos2 2( sin 2 cos2 )2 2f x x x x x= − = − 2(sin 2 cos cos2 sin )6 6x x π π− 2sin(2 )6x π= − 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π− ≤ − ≤ + ∈ ,6 3k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x [ , ],6 3k k k Z π ππ π− + ∈ max( ) 2f x = ( ) 2f x = | | | | cos , 2a b a b a b⋅ = ⋅ < >= cos , 1 | | | | a ba b a b ⋅< >= = ⋅ 0 ,a b π≤< >≤ , 0a b< >= 3 BCABBCAB 与,6=⋅ α α αααα 22 cos3cossin2sin)( ++= xf 6cos|||| =⋅=⋅ αBCABBCAB ……………………3 分 ……………………4 分 的夹角 ……………………6 分 (Ⅱ) ……………………9 分 有最小值。 的最小值是 ……………………12 分 45、(广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试)已知函数 f(x)=4sin 2( +x)-2 cos2x-1( ) (1)求 的最大值及最小值; (2)若不等式|f(x)-m|<2 恒成立, 求实数 m 的取值范围 解:(1)∵ (3 分) 又∵ (5 分) 即 ∴ymax=5, ymin=3 (7 分) αcos 6|||| =⋅ BCAB αααααπ tan3sincos 6 2 1sin||||2 1)sin(||||2 1 =××=⋅=−⋅= BCABBCABS 333 ≤≤ S 3tan133tan33 ≤≤≤≤∴ αα 即 BCAB与是α ],0[ πα ∈∴ ]3,4[ ππα ∈∴ =++=++= ααααααα 222 cos22sin1cos2cossin2sin)(f )42(222cos2sin22 πααα ++=++ ]3,4[ ππα ∈ ]12 11,4 3[42 πππ ∈+∴ a )(312 11 42 απαππα f时即当当 ==+∴ )(αf 2 33 + 4 π 3 4 2x π π≤ ≤ )(xf 12cos322sin212cos32)]22cos(1[2)( +−=−−+−= xxxxxf π 1)32sin(4 +−= π x 3 2 32624 πππππ ≤−≤∴≤≤ xx 51)32sin(43 ≤+−≤ π x (2)∵ (9 分) ∴ 解得 (11 分) 即所求的 m 的取值范围是(3, 5) (12 分) 46 、 ( 广 东 省 韶 关 市 2008 届 高 三 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知 , (Ⅰ)求函数 的最小正周期; (Ⅱ) 当 ,求函数 的零点. 解:(Ⅰ) = …………………….4 分 故 …………………………………………………5 分 (Ⅱ)令 , =0,又 …… ………….7 分 …………………………………………9 分 故 函数 的零点是 ……………. 12 分 47 、 ( 广 东 省 深 圳 市 2008 年 高 三 年 级 第 一 次 调 研 考 试 ) 已 知 向 量 , ,函数 . (Ⅰ)求 的最大值及相应的 的值; (Ⅱ)若 ,求 的值. 解:(Ⅰ)因为 , ,所以 . 因此,当 ,即 ( )时, 取得最大值 ; (Ⅱ)由 及 得 ,两边平方得 2)(22|)(| +<<−∴<− mxfmmxf >+ <− 52 32 m m 53 << m ( )f x = xxxxxx cossin22sin2 3sin2cos2 3cos −− )(xf ,2x π π ∈ )(xf xxxf 2sin2cos)( −= )42cos(2 π+x π=T 0)( =xf )24cos(2 x+π ,2x π π ∈ 5 924 4 4x π π π∴ ≤ + ≤ 324 2x π π∴ + = 5 8x π= )(xf 5 8x π= (1 sin 2 , sin cos )a x x x= + − (1, sin cos )b x x= + ( )f x a b= ⋅ ( )f x x 8( ) 5f θ = πcos2 24 θ − (1 sin 2 , sin cos )a x x x= + − (1, sin cos )b x x= + 2 2( ) 1 sin 2 sin cos 1 sin 2 cos2f x x x x x x= + + − = + − π2 sin 2 14x = − + π π2 2 π4 2x k− = + 3π π8x k= + k ∈Z ( )f x 2 1+ ( ) 1 sin 2 cos2f θ θ θ= + − 8( ) 5f θ = 3sin 2 cos2 5 θ θ− = ,即 . 因此, . 48、(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别 为 a,b,c,已知 ,且最长边的边长为 l.求: (I)角 C 的大小; (II)△ABC 最短边的长. 解:(I)tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) ∵ , ∴ ……………………5 分 (II)∵0查看更多