高考立体几何试题汇编整理

高考立体几何试题汇编整理

‎2008年高考数学试题分类汇编 立体几何 C D E A B ‎1.（全国一18）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．‎ 解：（1）取中点，连接交于点，‎ ‎，，又面面，面，‎ ‎．，‎ ‎，，即，面，．‎ ‎（2）在面内过点作的垂线，垂足为．，，面，，则即为所求二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎，则，‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎，即二面角的大小．‎ ‎2.（全国二19）如图，正四棱柱中，，点在上且．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．‎ 解法一：依题设知，．‎ ‎（Ⅰ）连结交于点，则．‎ 由三垂线定理知，． 在平面内，连结交于点，‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G 由于，‎ 故，，‎ 与互余．于是．‎ 与平面内两条相交直线都垂直，‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，‎ 故是二面角的平面角． ，‎ ‎，．，．‎ 第 13 页 共 13 页 又，．．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x z 所以二面角的大小为．‎ 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，‎ 建立如图所示直角坐标系．‎ 依题设，．‎ ‎，． ‎ ‎（Ⅰ）因为，，故，．‎ 又，所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．‎ 故，．令，则，，． ‎ 等于二面角的平面角，． ‎ 所以二面角的大小为． ‎ A C B P ‎3．（北京卷16）如图，在三棱锥中，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ 解法一：（Ⅰ）取中点，连结．‎ A C B D P ‎，．，．‎ ‎，平面．‎ 平面，．‎ ‎（Ⅱ），，．‎ 又，．‎ A C B E P 又，即，且，‎ 平面．‎ 取中点．连结．，．‎ 是在平面内的射影，．‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ A C B D P H ‎．二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．‎ 过作，垂足为．‎ 平面平面，平面．‎ 的长即为点到平面的距离．‎ 由（Ⅰ）知，又，且，‎ 第 13 页 共 13 页 平面．平面，．‎ 在中，，，．‎ ‎． 点到平面的距离为．‎ 解法二：（Ⅰ），，．‎ 又，．，平面．平面，．‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．‎ A C B P z x y H E 设．，，．‎ 取中点，连结．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 是二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎．二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ），‎ 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．‎ 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．‎ ‎．点到平面的距离为．‎ ‎4.（四川卷19）． 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，‎ ‎（Ⅰ）证明：四点共面；‎ ‎（Ⅱ）设，求二面角的大小；‎ ‎【解1】：（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得 ‎ ‎ 延长交的延长线于，同理可得 ‎　　 ‎ 故，即与重合 因此直线相交于点，即四点共面。‎ 第 13 页 共 13 页 ‎（Ⅱ）设，则，‎ 取中点，则，又由已知得，平面 故，与平面内两相交直线都垂直。‎ 所以平面，作，垂足为，连结 由三垂线定理知为二面角的平面角。‎ ‎　　　，故 所以二面角的大小 ‎【解2】：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 ‎（Ⅰ）设，则 ‎　　‎ 故，从而由点，得 故四点共面 ‎（Ⅱ）设，则， ‎ 在上取点，使，则 从而，又 在上取点，使，则 从而 故与的夹角等于二面角的平面角，‎ 所以二面角的大小 ‎5．（天津卷）如图，在四棱锥中，底面是矩形．‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，由题设可得 于是.在矩形中，.又，所以平面．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得 由（Ⅰ）知平面，平面，所以，‎ 因而，于是是直角三角形，故．‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE 因为平面，平面，所以.又，‎ 因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，‎ ‎，从而是二面角的平面角。由题设可得，‎ 于是再中，，所以二面角的大小为．‎ ‎６．（山东卷）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：AE⊥PD; ‎ ‎（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.‎ ‎（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.‎ ‎ 又 BC∥AD，因此AE⊥AD.‎ 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.‎ 而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，‎ 所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.‎ ‎（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.‎ 由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，‎ 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.‎ 在Rt△EAH中，AE=，所以 当AH最短时，∠EHA最大，即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.‎ 此时 tan∠EHA=因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 PA=2.‎ 解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC⊥平面ABCD.‎ ‎ 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，‎ ‎ 过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，‎ 第 13 页 共 13 页 ‎ 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,‎ ‎ 又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,‎ ‎ 又 在Rt△ESO中，cos∠ESO=‎ ‎ 即所求二面角的余弦值为 解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以 E、F分别为BC、PC的中点，所以 A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），‎ D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），‎ 所以 ‎ 设平面AEF的一法向量为 则 因此 取因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，‎ 所以 BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.‎ 又 =（-），所以 cos＜m, ＞=‎ 因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 ‎７．（江苏卷）在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，‎ 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．‎ ‎【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．‎ ‎（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，‎ ‎∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．‎ ‎（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.‎ ‎∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.‎ 又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．‎ 江西卷．解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以 第 13 页 共 13 页 ‎∥，‎ 则∥平面，所以∥。‎ 又是的中点，所以⊥，则⊥。‎ 因为⊥，⊥，所以⊥面，则⊥，因此⊥面。 ‎ ‎（2）作⊥于，连。因为⊥平面，‎ 根据三垂线定理知，⊥，就是二面角的平面角。‎ 作⊥于，则∥，则是的中点，则。‎ 设，由得，，解得，‎ 在中，，则，。‎ 所以，故二面角为。‎ 解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 所以 所以所以平面 由∥得∥，故：平面 ‎(2)由已知设 则 由与共线得:存在有得 ‎ ，同理:‎ 设是平面的一个法向量,则令得 又是平面的一个法量 ‎，所以二面角的大小为 第 13 页 共 13 页 ‎（3）由（2）知，，，平面的一个法向量为。‎ 则。则点到平面的距离为 ‎８．（湖南卷）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;‎ ‎（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.‎ 解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，‎ ‎△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,‎ 所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以 PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.‎ 又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.‎ 过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.‎ 在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.‎ 在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.‎ 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，‎ PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.‎ 在等腰Rt△PAF中， ‎ 在Rt△PAB中， ‎ 所以，在Rt△AHG中， ‎ 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），‎ P（0，0，2）,‎ ‎（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.‎ 又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎ (Ⅱ)易知 ‎ 第 13 页 共 13 页 ‎ 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 ‎ 设是平面PAD的一个法向量，则由得 所以故可取 ‎ 于是，‎ ‎ 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 A1‎ A C1‎ B1‎ B D C ‎９．（陕西卷）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ 解法一：（Ⅰ）平面平面，‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C F E ‎（第19题，解法一）‎ ‎．在中，，‎ ‎，，又，‎ ‎，，即．‎ 又，平面，‎ 平面，平面平面．‎ ‎（Ⅱ）如图，作交于点，连接，‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C z y x ‎（第19题，解法二）‎ 由已知得平面．是在面内的射影．‎ 由三垂线定理知，为二面角的平面角．‎ 过作交于点，‎ 则，，．‎ 第 13 页 共 13 页 在中，．‎ 在中，．‎ ‎，即二面角为．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，．点坐标为．‎ ‎，．‎ ‎，，，，又，‎ 平面，又平面，平面平面．‎ ‎（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，则．‎ ‎，如图，可取，则，‎ ‎，‎ 即二面角为．‎ ‎１０．（重庆卷）如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.‎ ‎　解法一：‎ ‎　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，‎ 从而AD⊥DE.在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,‎ 故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.‎ 第 13 页 共 13 页 下求DB之长.在答（19）图1中，由，‎ 又已知DE=3,从而 因 ‎（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面 角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,‎ 因此从而在Rt△DFE中，DE=3,‎ 在因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、‎ y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），‎ ‎，E（0，3，0）.过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.设从而 ‎ ，有 ‎ ①‎ ‎ 又由 ②‎ ‎ 联立①、②，解得 ‎ 因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 ‎ 因此所求二面角A-EC-B的大小为 第 13 页 共 13 页 ‎１１．（福建卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,‎ 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，‎ 所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，‎ 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.‎ 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝，‎ 在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，‎ 在Rt△PBO中，tan∠PBO＝‎ 所以异面直线PB与CD所成的角是.‎ ‎（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.‎ ‎　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，‎ ‎　　　在Rt△POC中， ‎ 所以PC=CD=DP, ‎ 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.‎ 解法二：‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),‎ 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，‎ 第 13 页 共 13 页 ‎ (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，‎ 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，‎ 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).‎ 设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.‎ F C P G E A B 图5‎ D ‎１２．（广东卷）如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）证明：是直角三角形；‎ ‎（3）当时，求的面积．‎ ‎【解析】（1）在中，，‎ 而PD垂直底面ABCD，‎ ‎,‎ 在中，,即为以为直角的直角三角形。‎ 设点到面的距离为,由有,即 ‎ ;‎ ‎(2),而,即,，‎ ‎,是直角三角形；‎ ‎（3）时,,‎ 即,‎ 的面积 第 13 页 共 13 页