2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)‎ 数学 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。‎ ‎1.复数，为z的共轭复数，则 ‎ (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i ‎ ‎2. 函数的反函数为 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=‎ ‎ (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5‎ ‎5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎ (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9‎ ‎6.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于 ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ ‎7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ‎ (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 ‎8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ ‎9.设是周期为2的奇函数，当时，，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎12. 设向量满足，则的最大值等于 ‎ (A) 2 (B) (C) (D) 1‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.‎ ‎13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .‎ ‎14. 已知，，则 .‎ ‎15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则 .‎ ‎16. 已知点E、F分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。‎ ‎ （Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎ （Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，‎ AB=BC=2，CD=SD=1. ‎ ‎ （Ⅰ）证明：;‎ ‎ （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设数列满足 ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，记，证明：。‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线与C交于A、B两点，点P满足 ‎ ‎ （Ⅰ）证明：点P在C上；‎ ‎ （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎ （Ⅰ）设函数，证明：当时，‎ ‎ （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 数学试题参考答案（不是标准答案）‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎1． B 2． B 3． A 4． D 5．C ‎6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 0 14． 15． 6 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：由，得 故，‎ 由，‎ 故，‎ 又显然，故，再由，‎ 解得：，于是 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3‎ 故，‎ 所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 ‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为 所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 显然，X服从二项分布，即,‎ 所以 X的期望为20‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ，‎ 易算得：，‎ 又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，‎ 所以,‎ 于是,,‎ 所以 ‎（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，‎ 因为，所以,从而,‎ 因而可以算得：，又，故 又因为,所以点C到平面SAB的距离为 另外，显然，‎ 所以 得：‎ 设AB与平面SBC所成的角为，则 ‎，‎ 即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由得：‎ 数列是等差数列，首项为 故，从而 ‎ （Ⅱ）‎ 所以 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：易知：，故：，代入椭圆方程得：，‎ 设，则，，‎ 因为所以 ‎，将此坐标代入椭圆：，‎ 所以点P在C上。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得，因为，所以 于是可以算得：，，，‎ ‎,,‎ 于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。‎ ‎22 .（本小题满分12分） ‎ 证明：（Ⅰ）时，，‎ 于是在上单调增，所以 ‎（Ⅱ）‎ ‎ （共有对数相乘）‎ 由（Ⅰ），时，也有，‎ 故在上单调增，所以 即 即，两边同时取的对数得：‎ 综上所述：‎