高考数学压轴题解题技巧和方法

高考数学压轴题解题技巧和方法

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型：‎ ‎（1）中点弦问题 ‎ 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。‎ 如：（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。‎ ‎ （2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有 ‎（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.‎ ‎ 典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。‎ ‎（2）焦点三角形问题 ‎ 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ‎ ‎ 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。‎ ‎ （1）求证离心率；‎ ‎ （2）求的最值。‎ ‎（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 ‎ 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。‎ 典型例题 ‎ ‎ （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 ‎ （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。‎ ‎（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。‎ ‎ <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。‎ ‎<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。‎ ‎（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。‎ 最值问题的处理思路：‎ ‎ 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；‎ ‎2、数形结合，用化曲为直的转化思想；‎ ‎3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；‎ ‎4、借助均值不等式求最值。‎ 典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，‎ ‎|AB|≤2p ‎（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。‎ ‎（5）求曲线的方程问题 ‎1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。‎ 典型例题 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。‎ ‎2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 M N Q O 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。‎ ‎（6） 存在两点关于直线对称问题 ‎ 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）‎ 典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称 ‎（7）两线段垂直问题 ‎ 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。‎ 典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。‎ ‎ （1）求的取值范围；‎ ‎（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。‎ 四、解题的技巧方面：‎ ‎ 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：‎ ‎（1）充分利用几何图形 ‎ 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。‎ ‎ 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。‎ ‎（2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。‎ 典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。‎ ‎（3） 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。‎ 典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。‎ ‎（4）充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。‎ 典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。‎ ‎（5）线段长的几种简便计算方法 ‎① 充分利用现成结果，减少运算过程 ‎ 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。‎ 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。‎ ‎② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。‎ 例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值 ‎③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。‎ 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备：‎ ‎1. 直线方程的形式 ‎（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。‎ ‎（2）与直线相关的重要内容 ‎①倾斜角与斜率 ‎②点到直线的距离 ③夹角公式：‎ ‎（3）弦长公式 直线上两点间的距离：‎ ‎ 或 ‎（4）两条直线的位置关系 ‎①=-1 ② ‎ ‎2、圆锥曲线方程及性质 ‎(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）‎ ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎ 参数方程：‎ ‎(2)、双曲线的方程的形式有两种 ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？‎ ‎ ‎ ‎(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？‎ 如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（ ）‎ A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 ‎(5)、焦点三角形面积公式：‎ ‎ ‎ ‎（其中）‎ ‎(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ ‎ 第二、方法储备 ‎1、点差法（中点弦问题）‎ 设、，为椭圆的弦中点则有 ‎，；两式相减得 ‎=‎ ‎2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？‎ ‎ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。‎ 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.‎ ‎（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;‎ ‎（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.‎ 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为 可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；‎ 解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有 两式作差有 (1) F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得 直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 （2）‎ 设直线BC方程为，得 ， 代入（2）式得 ，解得或 直线过定点（0，，设D（x,y），则，即 所以所求点D的轨迹方程是。‎ ‎4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,‎ 建立目标函数，整理,化繁为简.‎ ‎ 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ‎ 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ‎ ， ‎ 设双曲线的方程为，则离心率 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎ ， ①‎ ‎ ② ‎ 由①式得 ， ③‎ 将③式代入②式，整理得 ‎ ‎ ，‎ 故 ‎ 由题设得，‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略．‎ ‎ 解法二：建系同解法一，，‎ ‎，又，代入整理，由题设得，‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎5、判别式法 例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。‎ 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：‎ 把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.‎ 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：‎ 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解 简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：‎ ‎ ‎ 于是，问题即可转化为如上关于的方程.‎ 由于，所以，从而有 于是关于的方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可知：‎ ‎ 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于 ‎.‎ ‎ 由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .‎ 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.‎ 例4已知椭圆C:‎ 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.‎ 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.‎ 由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.‎ 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. ‎ 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程 ‎ ‎ 在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。‎ 简解：设，则由可得：，‎ 解之得： （1）‎ 设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：‎ ‎ （2）‎ ‎∴ ‎ 代入（1），化简得： (3)‎ 与联立，消去得：‎ 在（2）中，由，解得 ‎ ‎，结合（3）可求得 ‎ 故知点Q的轨迹方程为： （）.‎ 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.‎ ‎6、求根公式法 例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.‎ 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.‎ 分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.‎ 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k）‎ 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;‎ 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.‎ 当时，，，‎ 所以 ===.‎ 由 , 解得 ，‎ 所以 ，‎ 综上 .‎ ‎ 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.‎ 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）‎ 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 ‎ （*）‎ 则 令，则，‎ 在（*）中，由判别式可得 ，‎ 从而有 ，所以 ，解得 .‎ 结合得. ‎ 综上，.‎ 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.‎ 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.‎ 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。‎ 例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，‎ 且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。‎ 思维流程：‎ 写出椭圆方程 由，‎ ‎，‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 由F为的重心 ‎（Ⅱ） ‎ 两根之和，‎ 两根之积 得出关于 m的方程 解出m ‎ 消元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解题过程： ‎ ‎（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则 又∵即 ，∴ ‎ 故椭圆方程为 ‎ ‎ （Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则 设，∵，故，‎ 于是设直线为 ，由得， ‎ ‎∵ 又 得 即 ‎ 由韦达定理得 ‎ ‎ 解得或（舍） 经检验符合条件．‎ 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．‎ 例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程：‎ ‎（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；‎ 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为 得到的方程组 解出 思维流程：‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 由内切圆面积最大 转化为面积最大 转化为点的纵坐标的绝对值最大最大 为椭圆短轴端点 面积最大值为 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 得出点坐标为 解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得 解得.∴椭圆的方程 ‎ ． ‎ ‎（Ⅱ），设Δ边上的高为 ‎ 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．‎ ‎ 设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，‎ ‎ 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.‎ 点石成金： ‎ 例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 思维流程：‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将代入， 消去整理得 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 由线段中点的横坐标是， 得，解得 ‎，符合题意。‎ 所以直线的方程为 ，或 . ‎ ‎（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.‎ ① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知 ‎ 所以 ‎ 将代入，整理得 ‎ 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 ‎ ② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 ‎ ‎ 综上，在轴上存在定点，使为常数.‎ 点石成金：‎ ‎ ‎ 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）求m的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 思维流程：‎ 解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 ‎（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ‎ 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ‎ ‎（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 ‎ 则 由 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 ‎ （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.‎ ‎ 思维流程：‎ 解：∵（1）原点到直线AB：的距离.‎ ‎ 故所求双曲线方程为 ‎ ‎（2）把中消去y，整理得 .‎ ‎ 设的中点是，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 故所求k=±.‎ 点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;‎ 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎ （II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 思维流程：‎ 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，‎ ‎ 由已知得：，‎ ‎ 椭圆的标准方程为．‎ ‎ （II）设．‎ ‎ 联立 ‎ 得 ，则 ‎ ‎ ‎ 又．‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎ ，即. ．‎ ‎ ． ．‎ ‎ 解得：，且均满足．‎ ‎ 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ ‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ 点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;‎ 例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.‎ ‎（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.‎ 思维流程：‎ 解：（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,‎ ‎, （1分）‎ 解得 . 由双曲线定义得: ‎ ‎, ‎ ‎ 所求双曲线的方程为: ‎ ‎ (法二) 因,由斜率之积为,可得解.‎ ‎（Ⅱ）设,‎ ‎ (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,， ‎ 的最大值为2,无最小值. 此时,‎ 此时双曲线的渐进线方程为 ‎ ‎(法二)设,.‎ ‎(1)当时, , ‎ 此时 .‎ ‎(2)当,由余弦定理得:‎ ‎ ,‎ ‎,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)‎ 附：1.圆锥曲线的两个定义：‎ ‎（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 如 （1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． ‎ ‎ D．（答：C）；‎ ‎（2）方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）‎ ‎（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。‎ 如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）‎ ‎2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：‎ ‎（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。‎ 如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）； ‎ ‎（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）‎ ‎（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。‎ 如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）； ‎ ‎（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）‎ ‎（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。‎ ‎3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：‎ ‎（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。‎ 如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）‎ ‎（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；‎ ‎（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。‎ 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。‎ ‎4.圆锥曲线的几何性质：‎ ‎（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。‎ 如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；‎ ‎（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）‎ ‎（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。‎ 如 （1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）； ‎ ‎（2）双曲线的离心率为，则= （答：4或）； ‎ ‎ （3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）； ‎ ‎（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。‎ 如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；‎ ‎5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外 ‎；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内 ‎6．直线与圆锥曲线的位置关系：‎ ‎（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。‎ 如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-,-1)）； ‎ ‎（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； ‎ ‎（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；‎ ‎（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；‎ ‎（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。‎ 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。‎ 如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：）； ‎ ‎（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（答：3）； ‎ ‎（4）对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）； ‎ ‎（5）过抛物线的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：1）； ‎ ‎（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）； ‎ ‎（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；‎ ‎（8）直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①；②）；‎ ‎7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。‎ 如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：）；‎ ‎（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；‎ ‎（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：）；‎ ‎（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；‎ ‎（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：2）；‎ ‎（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答：）；‎ ‎8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②。 如 （1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过 作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）；‎ ‎（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；‎ ‎（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 （答：）；‎ ‎（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：）；‎ ‎（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）；‎ ‎9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。‎ 如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； ‎ ‎（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；‎ ‎11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。‎ 如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；‎ ‎（2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；‎ ‎（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）； ‎ 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！‎ ‎12．你了解下列结论吗？‎ ‎（1）双曲线的渐近线方程为；‎ ‎（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。‎ 如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：）‎ ‎（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；‎ ‎（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； ‎ ‎（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；‎ ‎（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②‎ ‎（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 ‎13．动点轨迹方程：‎ ‎（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；‎ ‎（2）求轨迹方程的常用方法：‎ ‎①直接法：直接利用条件建立之间的关系；‎ 如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；‎ ‎②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。‎ 如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）；　‎ ‎③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；‎ 如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：）；‎ ‎（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）；‎ ‎(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；‎ ‎④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；‎ 如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；‎ ‎⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。‎ 如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；‎ ‎（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）；‎ ‎（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）；‎ 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。‎ 如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（1）设为点P的横坐标，证明；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2）‎ ‎②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.‎ ‎③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.‎ ‎④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.‎ ‎14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：‎ ‎（1） 给出直线的方向向量或；‎ ‎（2）给出与相交,等于已知过的中点;‎ ‎（3）给出,等于已知是的中点;‎ ‎（4）给出,等于已知与的中点三点共线;‎ ‎（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.‎ ‎（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 ‎（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,‎ ‎（8）给出,等于已知是的平分线/‎ ‎（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;‎ ‎（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;‎ ‎（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；‎ ‎（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；‎ ‎（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；‎ ‎（14）在中，给出等于已知通过的内心；‎ ‎（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；‎