高考数学大二轮总复习增分策略专题四数列推理与证明数列的综合问题试题

高考数学大二轮总复习增分策略专题四数列推理与证明数列的综合问题试题

第3讲　数列的综合问题 ‎1．(2015·湖南)已知a＞0，函数f(x)＝eaxsin x(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点，证明：数列{f(xn)}是等比数列．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋<.‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.‎ 热点一　利用Sn，an的关系式求an ‎1．数列{an}中，an与Sn的关系：‎ an＝.‎ ‎2．求数列通项的常用方法 ‎(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．‎ ‎(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.‎ ‎(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.‎ ‎(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．‎ 例1　数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 思维升华　给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n 之间的关系，再求an.‎ 跟踪演练1　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则数列{an}的通项公式是________．‎ 热点二　数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．‎ 例2　已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 思维升华　解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩．‎ 跟踪演练2　(2015·安徽)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 热点三　数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．‎ 例3　自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.‎ ‎(1)求第n年年初M的价值an的表达式；‎ ‎(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 思维升华　常见数列应用题模型的求解方法 ‎(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.‎ ‎(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.‎ ‎(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．‎ ‎(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝.‎ 跟踪演练3　某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　)‎ A．211－47 B．212－57‎ C．213－68 D．214－80‎ 已知数列{an}和{bn}，对于任意的n∈N*，点P(n，an)都在经过点A(－1,0)与点B(，3)的直线l上，并且点C(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{bn}的前n项和Sn＝f(n)－1.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{}的前n项和Tn<.‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 提醒：完成作业　专题四　第3讲 二轮专题强化练 专题四 ‎ 第3讲　数列的综合问题 A组　专题通关 ‎1．(2015·成都外国语学校月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}(　　)‎ A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．或者是等差数列，或者是等比数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 ‎2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)‎ A．15 B．12‎ C．－12 D．－15‎ ‎3．(2015·日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn等于(　　)‎ A．6n－n2 B．n2－6n＋18‎ C. D. ‎4．(2015·成都七中高三上学期期中)今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织(　　)尺布．(不作近似计算)(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么(　　)‎ A．x1，，x2成等差数列 B．x1，，x2成等比数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．x1，x3，x2成等比数列 ‎12．记数列{2n}的前n项和为an，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn＝n－8，则bnSn的最小值为________．‎ ‎13．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{}的最大项的值为________．‎ ‎14．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋λn＋}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ 学生用书答案精析 第3讲　数列的综合问题 高考真题体验 ‎1．证明　f′(x)＝aeaxsin x＋eaxcos x ‎＝eax(asin x＋cos x)‎ ‎＝eaxsin(x＋φ)，‎ 其中tan φ＝，0＜φ＜.‎ 令f′(x)＝0，由x≥0得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*，对k∈N，若2kπ＜x＋φ＜(2k＋1)π，‎ 即2kπ－φ＜x＜(2k＋1)π－φ，则f′(x)＞0；‎ 若(2k＋1)π＜x＋φ＜(2k＋2)π，即(2k＋1)·π－φ＜x＜(2k＋2)π－φ，则f′(x)＜0.‎ 因此，在区间((m－1)π，mπ－φ)与(mπ－φ，mπ)上，f′(x)的符号总相反．‎ 于是当x＝mπ－φ(m∈N*)时，f(x)取得极值，所以xn＝nπ－φ(n∈N*)．‎ 此时，f(xn)＝ea(nπ－φ)sin(nπ－φ)‎ ‎＝(－1)n＋1ea(nπ－φ)sin φ.‎ 易知f(xn)≠0，而＝＝－eaπ是常数，‎ 故数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝ea(π－φ)·sin φ，公比为－eaπ的等比数列．‎ ‎2．(1)解　由an＋1＝3an＋1‎ 得an＋1＋＝3(an＋)．‎ 又a1＋＝，‎ 所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．‎ an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)证明　由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，‎ 所以≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ‎＝(1－)<.‎ 所以＋＋…＋<.‎ 热点分类突破 例1　解　由已知，当n≥2时，＝1，‎ 所以＝1，‎ 即＝1，‎ 所以－＝.‎ 又S1＝a1＝1，‎ 所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．‎ 所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.‎ 因此an＝ 跟踪演练1　an＝2n 解析　Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝2或a1＝0(舍去)．‎ 当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝－⇒a－a＝2(an＋an－1)，因为an>0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2n.‎ 例2　解　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，‎ 所以f(x)＝3x2－2x.‎ 又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上，‎ 所以Sn＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，‎ 所以an＝6n－5(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得bn＝＝ ‎＝·，‎ 故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．‎ 因此，要使(1－)<对n∈N*恒成立，则m必须且仅需满足≤，即m≥10.所以满足要求的最小正整数为10.‎ 跟踪演练2　(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，‎ 从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．‎ 令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.‎ 所以数列{xn}的通项公式为xn＝.‎ ‎(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知 Tn＝xx…x＝22…2.‎ 当n＝1时，T1＝.‎ 当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝.‎ 所以Tn>2×××…×＝.‎ 综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.‎ 例3　(1)解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，‎ 故an＝120－10(n－1)＝130－10n，‎ 当n≥7时，数列{an}从a6开始的项构成一个以a6＝130－60＝70为首项，以为公比的等比数列，故an＝70×()n－6，‎ 所以第n年年初M的价值an＝ ‎(2)证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，‎ An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80，‎ 当n≥7时，由于S6＝570，‎ 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6.‎ 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．‎ 因为An＝＝，‎ A8＝≈82.734>80，‎ A9＝≈76.823<80，‎ 所以必须在第九年年初对M更新．‎ 跟踪演练3　B　[由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57.]‎ 高考押题精练 ‎(1)解　直线l的斜率为k＝＝2，‎ 故直线l的方程为y＝2[x－(－1)]，即y＝2x＋2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.‎ 把点C(1,2)代入函数f(x)＝ax，得a＝2，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝f(n)－1＝2n－1.‎ 当n＝1时，b1＝S1＝1；‎ 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，‎ 当n＝1时也适合，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)证明　设cn＝，‎ 由(1)知cn＝＝＝＝(－)，‎ 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．‎ 因为>0，所以Tn<.‎ ‎二轮专题强化练答案精析 第3讲　数列的综合问题 ‎1．C　[a1＝S1＝a－1，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(n>0)．当a＝1时，Sn＝0，是等差数列而不是等比数列；当a≠1时是等比数列．故选C.]‎ ‎2．A　[记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.]‎ ‎3．C　[由Sn＝n2－6n可得，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7.‎ 当n＝1时，S1＝－5＝a1，也满足上式，‎ ‎∴an＝2n－7，n∈N*.‎ ‎∴n≤3时，an<0；n>3时，an>0.‎ ‎∴Tn＝]‎ ‎4．C　[由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有390＝30×5＋d，解得d＝.]‎ ‎5．A　[令h(x)＝，则h′(x)＝<0，故函数h(x)为减函数，‎ 即00，‎ 所以函数f(x)min＝f()，‎ 但6<<7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，‎ 因为－48>－49，所以最小值为－49.‎ ‎8．2n＋1－2‎ 解析　∵an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.‎ ‎9．(1)解　当n∈N*时，Sn＝2an－2n，‎ 则当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)，‎ 两式相减得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2，‎ ‎∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴＝2，‎ 当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2，‎ ‎∴{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2.‎ ‎(2)证明　bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，‎ ‎∴＝，则Tn＝＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－ ‎＝＋－＝＋－－ ‎＝－，∴Tn＝－，‎ 当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＋＝>0，‎ ‎∴{Tn}为递增数列，∴Tn≥T1＝.‎ ‎10．解　(1)∵bn＋1－bn＝－ ‎＝－ ‎＝－＝2(常数)，‎ ‎∴数列{bn}是等差数列．‎ ‎∵a1＝1，∴b1＝2，‎ 因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，‎ 由bn＝得an＝.‎ ‎(2)由cn＝，an＝ 得cn＝，‎ ‎∴cncn＋2＝＝2(－)，‎ ‎∴Tn＝2(1－＋－＋－＋…＋－)＝2(1＋－－)<3，‎ 依题意要使Tn<对于n∈N*恒成立，‎ 只需≥3，‎ 即≥3，‎ 解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，‎ 所以m的最小值为3.‎ ‎11．A　[由题意，得B1，B2两点的坐标分别为(x1，)，(x2，)，‎ 所以直线B1B2的方程为y＝－(x－x1)＋，‎ 令y＝0，得x＝x1＋x2，‎ 所以x3＝x1＋x2，‎ 因此，x1，，x2成等差数列．]‎ ‎12．－4‎ 解析　根据已知，可得an＝n(n＋1)，‎ 所以＝－，‎ 所以Sn＝，所以bnSn＝＝n＋1＋－10≥－4，‎ 当且仅当n＋1＝，‎ 即n＝2时等号成立，所以bnSn的最小值为－4.‎ ‎13. 解析　依题意得a·b＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n；‎ 又a1＝S1＝＝1，‎ 因此an＝n，＝＝＝≤，当且仅当n＝，n∈N*，即n＝2时取等号，因此数列{}的最大项的值为.‎ ‎14．解　(1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①‎ 当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②‎ ‎①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，‎ 所以＝(n≥2)．‎ 因为a1＝1,2a2＋a1＝2，所以a2＝.‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝()n－1.‎ ‎(2)由(1)知，Sn＝＝2－.‎ 若{Sn＋λn＋}为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，‎ 则2(S2＋)＝S1＋＋S3＋，‎ 即2(＋)＝1＋＋＋，解得λ＝2.‎ 又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2，‎ 显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，‎ 使得数列{Sn＋λn＋}为等差数列．‎