2016全国高考数学数列真题汇总

2016全国高考数学数列真题汇总

‎2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 ‎1．（2018全国新课标Ⅰ理）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 答案：B 解答：，∴.‎ ‎2.（2018北京理）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，．‎ ‎3．（2017全国新课标Ⅰ理）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列的首中·华.资*源%库 ziyuanku.com项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.‎ ‎ 则，即 ‎ 又∵，代入上式可得 ‎ 又∵，则 ‎ ∴，故选A.‎ ‎6．（2017全国新课标Ⅰ理）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎7.（2015福建文）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．‎ ‎【答案】9‎ ‎8.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列的首中·华.资*源%库 ziyuanku.com项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.‎ ‎ 则，即 ‎ 又∵，代入上式可得 ‎ 又∵，则 ‎ ∴，故选A.‎ ‎9.（2016全国Ⅰ理）已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】：由已知,所以故选C.‎ 考点：等差数列及其运算 ‎【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一 ‎10．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）‎ ‎（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）‎ ‎（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设第年的研发投资资金为，，则，由题意，需 ‎，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.‎ 考点：等比数列的应用.‎ ‎11．（2018全国新课标Ⅰ理）记为数列的前项和.若，则_____________．‎ 答案：‎ 解答：依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以.‎ ‎12.(2017北京理)若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 和 ， ，求得 ，那么 .‎ ‎13.(2017江苏) 等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则.‎ ‎【考点】等比数列通项 ‎14.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列的前项和为，，，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的首项为，公差为，‎ 由题意有： ，解得 ，‎ 数列的前n项和,‎ 裂项有：，据此：‎ ‎ 。‎ ‎15．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列满足，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等比数列，设公比为．，即，‎ 显然，，‎ 得，即，代入式可得，‎ ‎．‎ ‎16．（2016北京理）已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】试题分析：∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ 考点：等差数列基本性质.‎ ‎【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.‎ ‎17．（2016江苏） 已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 考点：等差数列性质 ‎【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如 及等差数列广义通项公式 ‎18.（2016全国Ⅰ理）设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.‎ 考点：等比数列及其应用 高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. ‎ ‎19. （2016上海文、理）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是.从而存在，当时，.其中数列 ：满足条件，所以.‎ 考点：数列的求和.‎ ‎【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”的不同和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.‎ ‎20. （2016浙江理）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：，‎ 再由，又，‎ 所以 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和．‎ ‎【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误．‎ ‎21.(2017北京理)若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 和 ， ，求得 ‎ ，那么 .‎ ‎22.(2017江苏) 等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则.‎ ‎【考点】等比数列通项 ‎23.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列的前项和为，，，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的首项为，公差为，‎ 由题意有： ，解得 ，‎ 数列的前n项和,‎ 裂项有：，据此：‎ ‎ 。‎ ‎24．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列满足，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等比数列，设公比为．‎ ‎，即，‎ 显然，，‎ 得，即，代入式可得，‎ ‎．‎ ‎25. （2016北京文）已知是等差数列，是等差数列，且，，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（，，，）；（2）‎ ‎（II）由（I）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和 ‎．‎ 考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.‎ ‎【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.‎ ‎26. （2016全国Ⅰ文）已知是公差为3的等差数列,数列满足,.‎ ‎（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎（II）由（I）和 ,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则 ‎27.（2016全国Ⅱ文）等差数列{}中，.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.‎ 试题解析：(Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有，解得，‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，‎ 当1,2,3时，；‎ 当4,5时，；‎ 当6,7,8时，；‎ 当9,10时，，‎ 所以数列的前10项和为.‎ 考点：等差数列的性质 ，数列的求和.‎ ‎【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“表示不超过的最大整数”理解出错；‎ ‎28. （2016全国Ⅱ理）为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差，从而求得通项，再根据已知条件表示不超过的最大整数，求；（Ⅱ）对分类讨论，再用分段函数表示，再求数列的前1 000项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.‎ ‎【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.‎ ‎29.（2016全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列满足，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的通项公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得. .........5分 考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．‎ ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎ ‎30（2016全国Ⅲ理）已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式； ‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，‎ 解得．‎ 考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为．‎ ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎ ‎31.（2016山东文）已知数列的前n项和，是等差数列，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式； ‎ ‎（II）令.求数列的前n项和. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即 ‎，所以，以上两式两边相减得。‎ 所以 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.‎ ‎32.（2016山东理）已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知当时，，‎ 当时，，所以.设数列的公差为，‎ 由，即，可解得，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得 所以 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎32.（2016浙江文）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.‎ ‎（I）求通项公式；‎ ‎（II）求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 考点：等差、等比数列的基础知识.‎ ‎【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．‎ ‎33.(2017北京文)已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎34（2017全国新课标Ⅰ文）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【解析】（1）设的公比为．由题设可得解得，．‎ 故的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 由于，‎ 故，，成等差数列．‎ ‎35（2017全国新课标Ⅱ文）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. ‎ ‎（1）若，求的通项公式； （2）若，求.‎ ‎36（2017全国新课标Ⅲ文）设数列满足.‎ （1） 求的通项公式； （2）求数列 的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足（2）由于，所以利用裂项相消法求和.‎ ‎37.（2017山东文）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(I)；(II) ‎ 试题解析：(I)设数列的公比为，由题意知, .‎ 又，‎ 解得， 所以.‎ 两式相减得 所以.‎ ‎38.(2017天津文）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.‎ 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎39.（2017天津理）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】 （1）..（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎40.（2018北京文）设是等差数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式； （2）求．‎ ‎1．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，，，‎ 又，，．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎41．（2018天津文）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．‎ ‎（Ⅰ）求Sn和Tn；‎ ‎（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．‎ ‎5．【答案】（1），；（2）4．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得．‎ 因为，可得，故．所以，．‎ 设等差数列的公差为．由，可得．由，‎ 可得，从而，，故，所以，．‎ ‎（2）由（1），有，由可得，‎ 整理得，解得（舍），或．所以的值为4．‎ ‎42．（2018天津理）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前n项和为，求；‎ ‎ 【答案】（1），；（2）①；②证明见解析．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为．由，，‎ 可得因为，可得，故，‎ 设等差数列的公差为，由，可得，‎ 由，可得，从而，，故，‎ 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．‎ ‎（2）①由（1），有，‎ 故，‎ ‎43．（2018全国新课标Ⅰ文）已知数列满足，，设．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求的通项公式．‎ ‎7.答案：‎ （1） （2） 见解答 （3） 解答：依题意，，，∴，，.‎ （1） ‎∵，∴，即，所以为等比数列.‎ （2） ‎∵，∴.‎ ‎44．（2018全国新课标Ⅱ文、理） 记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2），最小值为．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，由题意得，‎ 由得．所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当时，取得最小值，最小值为．‎ ‎45．（2018全国新课标Ⅲ文、理）等比数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为的前项和．若，求．‎ 答案：（1）或；（2）.解答：（1）设数列的公比为，∴，∴.‎ ‎∴或.‎ ‎（2）由（1）知，或，‎ ‎∴或（舍），∴.‎