高考全国卷1文科数学试题及答案

高考全国卷1文科数学试题及答案

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 ‎（1）的值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2)设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合［u （AB）中的元素共有 ‎(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个 ‎（3）不等式的解集为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ ‎（6）已知函数的反函数为，则 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ‎（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种 ‎（8）设非零向量满足，则 ‎（A）150°B）120° （C）60° （D）30°‎ ‎（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（11）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ‎ (A) (B) 2 (C) (D) 3‎ ‎ ‎ ‎（12）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若 ‎,则=‎ ‎(A) (B) 2 (C) (D) 3‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修选修Ⅰ）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．本卷共10小题，共90分．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎（13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.‎ ‎（14）设等差数列的前项和为。若，则_______________.‎ ‎(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.‎ ‎（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ‎ ① ② ③ ④ ⑤‎ 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，‎ 已知的通项公式.‎ ‎(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）‎ 在中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知，且，求b.‎ ‎(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 ‎ 证明：是侧棱的中点；‎ 求二面角的大小。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。‎ ‎（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎ （Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程 ‎ (22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。‎ ‎（Ⅰ）求r的取值范围 ‎（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。‎ ‎ ‎ 答案 一、选择题 ‎（1）的值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。‎ 解：，故选择A。‎ ‎(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集，则集合中的元素共有 ‎(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个 ‎【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理1）‎ 解：，故选A。也可用摩根定律：‎ ‎（3）不等式的解集为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。‎ 解：，‎ 故选择D。‎ ‎（4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。‎ 解：由题，，故选择B。‎ ‎（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ ‎【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。‎ 解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C。‎ ‎（6）已知函数的反函数为，则 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎【解析】本小题考查反函数，基础题。‎ 解：由题令得，即，又，所以，故选择C。‎ ‎（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 ‎（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种 ‎【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。‎ 解：由题共有，故选择D。‎ ‎（8）设非零向量、、满足，则 ‎（A）150° （B）120° （C）60° （D）30°‎ ‎【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。‎ 解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。‎ ‎（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）‎ 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D ‎ (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。‎ 解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A ‎（11）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ‎【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理10）‎ 解:如图分别作 ‎ ‎，连 ‎ ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。‎ ‎（12）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=‎ ‎(A) (B) 2 (C) (D) 3‎ ‎【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。‎ 解：过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修选修Ⅰ）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．本卷共10小题，共90分．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎（13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.‎ ‎【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）‎ 解: 因所以有 ‎（14）设等差数列的前项和为。若，则_______________.‎ ‎【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。（同理14）‎ 解: 是等差数列,由,得 ‎。‎ ‎(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.‎ ‎【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。‎ 解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。‎ ‎（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ‎ ① ② ③ ④ ⑤ ‎ 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）‎ ‎【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。‎ 解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知的通项公式.‎ ‎【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。‎ 解：设的公差为，数列的公比为，‎ 由得 ①‎ 得 ②‎ 由①②及解得 故所求的通项公式为。‎ ‎(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上作答无效）‎ 在中，内角的对边长分别为.已知，且，求.‎ ‎【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。‎ 解：由余弦定理得，‎ 又 ，‎ ‎，‎ 即 ①‎ 由正弦定理得 又由已知得 ‎ ‎，‎ 所以 ②‎ 故由①②解得 ‎(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，‎ ‎（Ⅰ）证明：是侧棱的中点；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。（同理18）‎ 解法一：‎ ‎（I）‎ 作∥交于点E，则∥，平面SAD 连接AE，则四边形ABME为直角梯形 作，垂足为F，则AFME为矩形 设，则，‎ 由 解得 即，从而 所以为侧棱的中点 ‎（Ⅱ），又,所以为等边三角形，‎ 又由（Ⅰ）知M为SC中点 ‎，故 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角 连接，在中，‎ 所以 二面角的大小为 解法二:‎ 以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设，则 ‎（Ⅰ）设,则 又 故 即 解得，即 所以M为侧棱SC的中点 ‎（II）‎ 由，得AM的中点 又 所以 因此等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 ‎ (20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。‎ ‎【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。‎ 解：记“第局甲获胜”为事件，“第局乙获胜”为事件。‎ ‎（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 ‎，由于各局比赛结果相互独立，故 ‎（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 ‎，由于各局比赛结果相互独立，故 ‎（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程 ‎【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。‎ 解：（Ⅰ）‎ 令得或；‎ 令得或 因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。‎ ‎（Ⅱ）设点，由过原点知，的方程为，‎ 因此，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得或 因此切线的方程为或 ‎ (22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围 ‎（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。‎ 解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，‎ 整理得 ①‎ 与有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根 由此得 解得 又 所以的取值范围是 ‎（II） 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由（I）根据韦达定理有，‎ 则 令，则 下面求的最大值。‎ 方法1：由三次均值有：‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 方法2：设四个交点的坐标分别为、、、‎ 则直线AC、BD的方程分别为 解得点P的坐标为。‎ 设，由及（Ⅰ）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积 则 将，代入上式，并令，得 ‎，‎ ‎∴，‎ 令得，或（舍去）‎ 当时，；当时；当时，‎ 故当且仅当时，‎ 有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为