2014高考全国卷一理科数学试题汇总含答案

2014高考全国卷一理科数学试题汇总含答案

绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ ‎ ‎ 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．记为等差数列的前项和.若，，则 A． B． C． D．‎ ‎5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D．‎ ‎7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A． B． C．3 D．2‎ ‎8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3‎ C．p2=p3 D．p1=p2+p3‎ ‎11．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若为直角三角形，则|MN|=‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎14．记为数列的前项和.若，则_____________．‎ ‎15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）‎ ‎16．已知函数，则的最小值是_____________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求.‎ ‎18．（12分）‎ 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（12分）‎ 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ ‎20．（12分）‎ 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科&网 ‎（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．‎ ‎（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;‎ ‎（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎2018理科数学参考答案：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B A B D A B D C A B A ‎13.6 14. 15.16 16.‎ ‎17.（12分）‎ 解：（1）在中，由正弦定理得.‎ 由题设知，，所以.‎ 由题设知，，所以.‎ ‎（2）由题设及（1）知，.‎ 在中，由余弦定理得 ‎.‎ 所以.‎ ‎18.（12分）‎ 解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.‎ 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.‎ ‎（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.‎ 以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.‎ 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.‎ 可得.‎ 则为平面ABFD的法向量.‎ 设DP与平面ABFD所成角为，则.‎ 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.‎ ‎19.（12分）‎ 解：（1）由已知得，l的方程为x=1.‎ 由已知可得，点A的坐标为或.‎ 所以AM的方程为或.‎ ‎（2）当l与x轴重合时，.‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，‎ 则，直线MA，MB的斜率之和为.‎ 由得 ‎.‎ 将代入得 ‎.‎ 所以，.‎ 则.‎ 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ ‎20.（12分）‎ 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此 ‎.‎ 令，得.当时，；当时，.‎ 所以的最大值点为.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.‎ 所以.‎ ‎（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于，故应该对余下的产品作检验.‎ ‎21.（12分）‎ 解:（1）的定义域为，.‎ ‎（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.‎ ‎（ii）若，令得，或.‎ 当时，；‎ 当时，.所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ‎，‎ 所以等价于.‎ 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.‎ 所以，即.‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 解:（1）由，得的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．学&科网 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A． B． C． D．‎ ‎4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎6．展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000和n=n+1‎ B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1‎ D．A1 000和n=n+2‎ ‎9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎11．设xyz为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎15．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线 C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。‎ ‎16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎19．（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ ‎2017年新课标1理数答案 ‎1.A ‎2.B ‎3.B ‎4.C ‎5.D ‎6.C ‎7.B ‎8.D ‎9.D ‎10.A ‎11.D ‎12.A ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎17.解：（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ ‎18.解：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2）在平面内做，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此 ‎.‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.‎ ‎，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，‎ 因此的估计值为.‎ ‎20.（12分）解：‎ ‎（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ ‎21.解：（1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 解：（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为，.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上，或.、‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 解：（1）当时，不等式等价于.①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）当时，.‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎2016年普通高等学校招生全统一考试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ （1） 设集合，，则 ‎（A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）‎ （2） 设，其中,是实数，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ （3） 已知等差数列前9项的和为27，，则 ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ （4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （5） 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 （A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）‎ （1） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 ‎（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π （2） 函数在的图象大致为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 是 否 输入 输出 开始 结束 （3） 若，，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ （4） 执行右图的程序框图，如果输入的,,，则输出的值满足 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （5） 以抛物线的顶点为圆心的圆交于,两点，交的准线于,两点．已知，，则的焦点到准线的距离为 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ （6） 平面过正方体的顶点，∥平面，∩平面，∩平面，则所成角的正弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ （1） 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎（A）11 （B）9 （C）7 （D）5‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ （2） 设向量，，且，则 ．‎ （3） 的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）‎ （4） 设等比数列满足，，则的最大值为 ．‎ （5） 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ （6） ‎（本小题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为.求的周长.‎ （1） ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是60°.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ （2） ‎（本小题满分12分）‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若要求，确定的最小值；‎ ‎（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ （1） ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ （2） ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数有两个零点.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设是的两个零点，证明：.‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ （3） ‎（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎ 如图，是等腰三角形，.以为圆心，为半径作圆.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；‎ ‎（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：.‎ （1） ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.‎ （2） ‎（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集.‎ ‎2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析 一、选择题 ‎【答案】‎ ‎（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B ‎ ‎（11）A （12）B ‎【解析】‎ （1） ‎，，∴ ．‎ （2） ‎∵即∴，解得：，∴．‎ （3） ‎∵∴，∵∴，∴．‎ （4） ‎ 如图所示，画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，‎ 根据几何概型，所求概率．‎ （5） 表示双曲线，则，∴，‎ ‎∵‎ 解得，∴．‎ （1） 原立体图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积是7/8的球面面积和三个扇形面积之和，‎ ‎∴‎ （2） ‎，排除A； ，排除B；‎ 时， ，，当时，∴在单调递减，排除C；‎ 故选D （3） ‎ 对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；‎ 对B： 由于，∴函数在上单调递减，‎ ‎∴，B错误 对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和 构造函数，则，在上单调递增，因此 又由得，∴，C正确 对D： 要比较和，只需比较和 而函数在上单调递增，故 又由得，∴，D错误 故选C．‎ ‎【2°用特殊值法，令得，排除A；，排除B；，C正确；，排除D；∴选C】‎ 循环节运行次数 判断 是否输出 运行前 ‎0‎ ‎1‎ ‎/‎ ‎/‎ ‎1‎ 第一次 否 否 第二次 否 否 第三次 是 是 （1） ‎ 如下表：‎ 输出，，满足，故选C．‎ （2） ‎ 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：‎ F 设，，‎ 点在抛物线上，∴……①‎ 点在圆上，∴……②‎ 点在圆上，∴……③‎ 联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．‎ ‎2°【如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4】‎ （1） ‎ 如图所示：‎ ‎∵，∴若设平面平面，则 又∵平面∥平面，结合平面平面 ‎∴，故 同理可得：‎ 故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．‎ 而（均为面对交线），因此，即．‎ （1） 由题意知：‎ 则，其中 在单调，‎ 接下来用排除法 若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；‎ 若，此时，满足在单调递减 二、填空题 ‎【答案】‎ ‎（13）-2 （14）10 （15）64 （16）216 000‎ ‎【解析】‎ （1） 由已知得,∴，解得．‎ ‎2°得，∴，解得．‎ （2） 的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是．‎ （3） 设等比数列的公比为，∴，解得，故，∴∴当时，取得最大值．‎ （1） ‎ 设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为 目标函数 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 在处取得最大值，‎ 三、解答题 （17） 解：‎ （I） 由已知及正弦定理的，‎ ‎，‎ 即，‎ 故，‎ 可得，∴．‎ （I） 由已知，，‎ 又，∴，‎ 由已知及余弦定理得，，‎ 故，从而，‎ ‎∴的周长为 ‎（18）解：‎ （I） 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，∴AF⊥平面EFDC．‎ 又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．‎ （II） 过D作DG⊥EF，垂足为G，由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF，‎ 以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz．‎ 由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE=60°，‎ 则DF‎=2，DG=‎‎3‎，可得A(1,4,0)，B(-3,4,0)，E(-3,0,0)，D(0,0,‎3‎)‎，‎ 由已知，AB∥EF，∴AB∥平面EFDC，‎ 又平面ABCD‎ ⋂‎平面EFDC=CD，故AB∥CD，CD∥EF，‎ 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，∴∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF=60°，从而可得C(-2,0,‎3‎),‎ ‎∴EC‎=‎1,0,‎‎3‎，EB=‎0,4,0‎，AC=‎-3,-4,‎‎3‎，AB=(-4,0,0)‎，‎ 设n=(x,y,z)‎是平面BCE的法向量，则n⋅EC=0，‎n⋅EB=0，‎即x+‎3‎z=0‎‎4y=0 ‎,∴可取n=(3,0,-‎3‎)‎，‎ 设m是平面ABCD的法向量，则m⋅AC=0，‎m⋅AB=0，‎同理可取m=(0,‎3‎,4)‎，‎ 则cosn，m=n⋅mn‎⋅‎m=-‎‎2‎‎19‎‎19‎，故二面角E-BC-A的余弦值为‎-‎‎2‎‎19‎‎19‎ . ‎ ‎（19）解：‎ （I） 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04，‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16，‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24，‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24，‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2，‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08，‎ P(X=22)= 0.2×0.2=0.04，‎ X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ 所以X的分布列为 （II） 由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故n的最小值为19．‎ （I） 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），‎ 当n=19时，EY=19×200×0.68+(19×200+500) ×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3×500) ×0.04=4040．‎ 当n=20时，EY=20×200×0.88+(20×200+500) ×0.08+(20×200+2×500) ×0.04=4080．‎ 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19．‎ ‎（20）解：‎ （I） ‎∵AD‎=‎AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC．‎ ‎∴EB‎=‎ED，故EA‎+EB=EA+‎ED．‎ 又圆A的标准方程为,从而AD‎=4‎，∴EA‎+EB=4‎．‎ 由题设得A(-1,0)，B(1,0)，AB‎=2‎，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：．‎ （II） 当l与x轴不垂直时，设l的方程为，，．‎ 由，得．‎ 则，；∴．‎ 过点B(1,0)且与l垂直的直线m：，A到m的距离为，‎ ‎∴．‎ 故四边形MPNQ的面积．‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为．‎ 当l与x轴垂直时，其方程为，四边形MPNQ的面积为12．‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为 ‎（21）解：‎ （I） ‎．‎ （i） 设，则，只有一个零点．‎ （ii） 设，则当时，；当时，．‎ ‎∴在单调递减，在单调递增．‎ 又，取b满足且，则，‎ 故存在两个零点．‎ （iii） 设，由得或．‎ 若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，，∴不存在两个零点；‎ 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，∴不存在两点零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ （II） 不妨设，由(Ⅰ)知，，，，在 单调递减，∴，即．‎ ‎∵，而，‎ ‎∴．‎ 设，则．‎ ‎∴当时，，而，故当时．‎ 从而，故．‎ ‎（22）解：‎ （I） 设E是AB的中点，连结OE．‎ ‎∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OE⊥AB，∠AOE=60°．‎ 在Rt△AOE中，OE =‎1‎‎2‎AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，∴AB与⊙O相切．‎ （II） ‎∵OA=2OD，∴O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心．设是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO′．‎ 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，∴OO′⊥AB．‎ 同理可证，OO′⊥CD．∴AB∥CD．‎ ‎（23）解：‎ （I） 消去参数得到的普通方程．是以（0,1）为圆心，a为半径的圆．‎ 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为．‎ （I） 曲线的公共点的极坐标满足方程组，‎ 若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），．‎ 时，极点也为的公共点，在上．‎ ‎∴．‎ ‎（24）解：‎ （I） ‎，的图像如图所示．‎ （II） 由得表达式及图像，当时，可得或；‎ 当时，可得或；‎ 故的解集为；的解集为．‎ ‎∴的解集为．‎ ‎2015年高考理科数学试卷全国卷1‎ ‎1．设复数z满足=，则|z|=（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎2． =（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．设命题：，则为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）‎ ‎（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎5．已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（-，） （B）（-，）‎ ‎（C）（，） （D）（，）‎ ‎6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）‎ ‎（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 ‎7．设为所在平面内一点，则（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎8．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）‎ ‎（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎10．的展开式中，的系数为（ ）‎ ‎（A）10 （B）20 （C）30 （D）60‎ ‎11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎12．设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A）[-，1） （B）[-，） （C）[，） （D）[，1）‎ ‎13．若函数f（x）=为偶函数，则a= ‎ ‎14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .‎ ‎15．若满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .‎ ‎17．（本小题满分12分）为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；‎ ‎（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中 ， =‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=.‎ ‎（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于E. ‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；‎ ‎（Ⅱ）若，求∠ACB的大小. ‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ ‎2015理科数学答案解析 ‎1.【答案】A ‎【解析】由得，==，故|z|=1，故选A.‎ 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】:，故选C.‎ 考点：本题主要考查特称命题的否定 ‎4.【答案】A ‎【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.‎ 考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 ‎5.【答案】A ‎【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A.‎ 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 ‎7.【答案】A ‎【解析】由题知=，故选A.‎ 考点：平面向量的线性运算 ‎8.【答案】D ‎【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令 ‎，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ 考点：三角函数图像与性质 ‎9.【答案】C ‎【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.‎ 考点：本题注意考查程序框图 ‎10.【答案】C ‎【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.‎ 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.‎ ‎【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.‎ ‎11.【答案】B ‎【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.‎ 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 ‎12.【答案】D ‎【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.‎ 因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，‎ 当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且 ‎，解得≤＜1，故选D.‎ 考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 ‎13.【答案】1‎ ‎【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.‎ 考点：函数的奇偶性 ‎14.【答案】‎ ‎【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.‎ 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 ‎15.【答案】3‎ ‎【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ 考点：线性规划解法 ‎16.【答案】（，）‎ ‎【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.‎ 考点：正余弦定理；数形结合思想 ‎17.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，‎ 当时，==，即，因为，所以=2，‎ 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 所以=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，‎ 所以数列{}前n项和为= =.‎ 考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 ‎18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.‎ 试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.‎ 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，‎ 又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，‎ 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.‎ 在Rt△FDG中，可得FG=.‎ 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，‎ ‎∴，∴EG⊥FG，‎ ‎∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，‎ ‎∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ‎ ‎（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故.‎ 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ‎ 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 ‎19.【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）（Ⅲ）46.24‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.‎ ‎（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，‎ ‎∴=563-68×6.8=100.6.‎ ‎∴关于的线性回归方程为，‎ ‎∴关于的回归方程为.‎ ‎（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值 ‎=576.6，‎ ‎. ‎ ‎（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值 ‎，‎ ‎∴当=，即时，取得最大值.‎ 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 ‎20.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.‎ ‎∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故所求切线方程为或.‎ ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎∴.‎ ‎∴==.‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ‎ 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 ‎21..【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.‎ 试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.‎ 因此，当时，轴是曲线的切线. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，从而，‎ ‎∴在（1，+∞）无零点.‎ 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.‎ 当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.‎ ‎（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.‎ ‎（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.‎ ‎①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.‎ ‎②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；‎ ‎③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. ‎ 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 ‎22.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由得，AB=，设AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出关于的方程，解出，即可求出∠ACB的大小.‎ 试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，‎ 在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，‎ 连结OE，∠OBE=∠OEB，‎ ‎∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，‎ ‎∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，‎ ‎ 由射影定理可得，，‎ ‎∴，解得=，∴∠ACB=60°. ‎ 考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 ‎23.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 ‎24.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，‎ 等价于或或，解得，‎ 所以不等式f（x）>1的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）由题设可得，，‎ ‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.‎ 由题设得＞6，解得.‎ 所以的取值范围为（2，+∞）. ‎ 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=‎ ‎.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）‎ ‎2. =‎ ‎. . . .‎ ‎3. 设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 ‎.是偶函数 .||是奇函数 ‎.||是奇函数 .||是奇函数 ‎4. 已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ‎. .3 . .‎ ‎5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ‎. . . .‎ ‎6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为 ‎ ‎ ‎7. 执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=‎ ‎. . . .‎ ‎8. 设，，且，则 ‎. .‎ ‎. .‎ ‎9. 不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：，：,‎ ‎：，：.‎ 其中真命题是 ‎.， .， .， .，‎ ‎10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若 ‎，则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎11. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 ‎.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）‎ ‎12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 ‎. . .6 .4‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13. 的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ ‎14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .‎ ‎15. 已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .‎ ‎16. 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ ‎18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：≈12.2.‎ 若～，则=0.6826，=0.9544.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.‎ ‎（Ⅰ） 证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE ‎（Ⅰ）证明：∠D=∠E； ‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎2014理科数学参考答案 一、选择题 ‎ ‎1—5 ADCAD  6—10 CDCBB  11. C  12. B ‎ 二、填空题 ‎13. -20 14. A   15. 16. ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分12分) ‎ 解： ‎ ‎（Ⅰ）由题设，‎ 两式相减得，而，‎ ‎（Ⅱ），而，解得 ，又 令，解得。此时 是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在l=4，使得为等差数列。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎（1）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，‎ 又，‎ 所以 ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎24. （本小题满分10分）‎