- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
八年级浅谈高考数学之圆锥曲线与方程
n 掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构 n 掌握NE5000E/80E/40E的单板构成 n 掌握NE5000E/80E/40E换板操作 n 了解NE5000E/80E/40E升级操作 浅谈高考数学之《圆锥曲线与方程》 嘉兴市秀州中学 屠新跃 一、课程标准中的圆锥曲线与方程 1. 圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 (2)经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质 (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质 (4)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题 (5)通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想 2. 曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的基本思想 二、2009年各地高考(理科)中的圆锥曲线与方程 卷别 题号 题型 主要考查的知识点 全国卷Ⅰ 4 选择题 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 12 选择题 椭圆的几何性质及向量 21 解答题 抛物线与圆的关系及导数的应用 全国卷Ⅱ 9 选择题 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 11 选择题 双曲线的几何性质 21 解答题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量 北京卷 8 选择题 直线与抛物线的位置关系 12 填空题 椭圆的定义及解三角形 19 解答题 双曲线的定义、性质,与直线的位置关系及圆的切线 天津卷 9 选择题 抛物线的定义、几何性质 21 解答题 椭圆的方程、几何性质,直线的方程、圆的方程 重庆卷 15 填空题 双曲线的几何性质及解三角形 20 解答题 椭圆几何性质、直线与椭圆、轨迹方程及向量、不等式 浙江卷 9 选择题 双曲线的几何性质及向量 21 解答题 椭圆的方程、直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系 福建卷 13 填空题 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 19 解答题 直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系 安徽卷 3 选择题 双曲线的几何性质 20 解答题 直线与椭圆的位置关系及数列 辽宁卷 16 填空题 双曲线的几何性质 20 解答题 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系 江苏卷 13 填空题 直线方程、椭圆方程及其几何性质 22 解答题 直线、抛物线方程、直线与抛物线关系、两点距离公式 山东卷 9 选择题 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 22 解答题 椭圆方程、直线与圆、直线与椭圆及函数与不等式 广东卷 11 填空题 椭圆的定义、方程、几何性质 19 解答题 直线与抛物线、直线与圆 宁夏、 海南卷 4 选择题 双曲线的几何性质、点到直线距离公式 13 填空题 直线与抛物线的位置关系 20 解答题 椭圆的方程、性质、求轨迹方程 湖南卷 12 填空题 双曲线的几何性质 20 解答题 求轨迹方程、直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系 湖北卷 7 选择题 双曲线与椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 20 解答题 抛物线的定义和几何性质、直线与抛物线的位置关系 四川卷 7 选择题 双曲线的几何性质及向量 9 选择题 抛物线的定义与几何性质 20 解答题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系 江西卷 6 选择题 椭圆的定义及解直角三角形 21 解答题 直线方程、圆方程、求轨迹方程 陕西卷 7 选择题 椭圆的方程与几何性质 21 解答题 双曲线的方程与几何性质及函数 上海卷 9 填空题 椭圆的定义、方程及向量 21 解答题 双曲线的几何性质、直线方程及两平行线间的距离 纵观2009年全国十九份各省、市的数学高考试题,对圆锥曲线与方程的考查,题量以一个填空或选择题,再加一个解答题(即1小1大)的有十六份,而2小1大的只有全国卷Ⅰ、Ⅱ和北京卷三份。 考查的内容主要是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程、图形及几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系(主要是相交和相切),或与向量、三角、函数、不等式等的结合,及求动点轨迹(方程)等。 从解题方法上看,小题(选择题、填空题)侧重于几何法,以形助数;大题(解答题)则重点考查坐标法,用方程来解决,以数助形;两者“相得益彰”,也使得课标中指出的“体会数形结合的思想”得到了很好的体现。 而小题与大题对内容的考查又是相互补充,即大题若是椭圆的问题,则小题必是双曲线或抛物线的问题了。 三、浙江省考试说明(理科)中的圆锥曲线与方程 (一)2010年考试说明中的圆锥曲线与方程 1. 圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (3)了解双曲线的定义,掌握双曲线的几何图形和标准方程,理解它的简单几何性质 (4)能解决直线与的椭圆、抛物线位置关系等问题 (5)理解数形结合的思想 (6)了解圆锥曲线的简单应用 2. 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 (二)与2009年考试说明的比较 1. 对圆锥曲线与方程的内容,2009、2010这两年考试说明的条目数量没有变化,其中圆锥曲线(1)(2)(5)(6)与曲线与方程的要求完全相同。 2. 在2009年考试说明中的(3)、(4)两条是这样的: (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质 (4)能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题 对照2010年考试说明可以发现:(3)中改变为“…,掌握双曲线的几何图形和标准方程,理解它的简单几何性质”,将去年的“了解”、“知道”,提升到今年的“掌握”、“理解”,可谓意味深远。而对于(4),把去年考试说明“坐标法”三个字删掉了。 3. 由以上分析,可以推测:双曲线的考查要求较去年会有提高,要适当加深此内容的复习,当然不大可能出现在大题,应还是会在小题中,但难度定会加大,极有可能作为选择或填空题中的压轴题;至于没有了“坐标法”这三个字,不应理解为要丢掉坐标法这个解析几何的“灵魂”,而是要兼顾几何图形、几何性质、几何直观及平面几何等的知识。 四、部分试题分析 (一) 双曲线部分 例1. (2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为,则双曲线C的离心率为 解:虚轴的一个端点、一个焦点及原点组成直角三角形,且一个内角是,两直角边分别是,得,,所以,离心率 例2.(2009辽宁卷理)已知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为 解:右焦点为,由定义得,而, 两式相加得,当且仅当三点共线时取到最小值为 点评:前两题考查的是双曲线的定义与离心率,但主要借助平面几何的知识 例3.(2009全国卷Ⅰ理)设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A) (B)2 (C) (D) 解法1:设切点,则切线的斜率为.由题意有又 得: 解法2:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y得有唯一解,△=,, 点评:通过双曲线渐近线和离心率,考查直线与抛物线相切的情形,可用两种常规方法解决 (一) 椭圆、抛物线 例4:(2009浙江卷理)已知椭圆的右顶点为A(1,0),过的焦点且垂直长轴的弦长为1. (Ⅰ)求椭圆的方程;(解略:椭圆:). (Ⅱ)设点P在抛物线上,在点P处的 切线与交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求的最小值. 不妨换个角度思考(Ⅱ) 由于,设, 显然,点P处切线的斜率, P处切线方程:,线段AP中点的横坐标是,问题转化为探求与的关系. 设点,,则,由已知.M、N既在椭圆上,又在点P处的切线上,得:①,②, ③,④;将②-①,得, ,,这就要求式子与、的关系;③+④得:,再代入上式得: ,求这个函数的值域,先要求的取值范围,即寻求关于的一个不等量关系.根据MN的中点E必须在椭圆内,由上得E,则E点满足:,代入得:, ,设,则,由得,又因为, 求得,则,所以的最小值为. 点评:处理解析几何题,只有在“计算”上的功夫还不够。而要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点,要随时调用函数、不等式等的知识。 例5. (2009广东卷理)已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合. (1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程; (2)若曲线与有公共点,试求的最小值. 解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,∴,可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().xA xB D (2)曲线, 即圆:,其圆心坐标为 ,半径,由图可知,当时, 曲线与点有公共点; 当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心 到直线的距离,得,则的最小值为. 点评:解析几何的第一要义是用方程讨论曲线。另一方面,要充分利用图形已知的几何特征与性质,适度加强几何直观。才是合理运用“数形结合”思想的本质。查看更多