上海市普陀区高考数学一模试卷

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上海市普陀区高考数学一模试卷

www.gkstk.com 普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研 ‎2016.12‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对前6题得4分、后6题得5分,否则一律得零分. ‎ ‎1.若集合,,则 . ‎ ‎2. 若,,则 .‎ ‎3. 函数()的反函数 .‎ ‎4. 若,则 .‎ ‎5. 设R,若表示焦点在轴上的双曲线,则半焦距的取值范围是 .‎ ‎6. 设R,若函数是偶函数,则的单调递增区间是 .‎ ‎7. 方程的解 .‎ ‎8. 已知圆:()和定点,若过可以作两条直线与圆相切,则的取值范围是 .‎ ‎9. 如图,在直三棱柱中,,, 若与平面所成的角为,则三棱锥的体积 为 .‎ ‎10.掷两颗骰子得两个数,若两数的差为,则出现的概率的最大值为 (结果用最简分数表示).‎ ‎11. 设地球半径为,若、两地均位于北纬,且两地所在纬度圈上的弧长为,则、之间的球面距离是 (结果用含有的代数式表示).‎ ‎12. 已知定义域为的函数满足,且时,;‎ 函数,若,则,函数零点的个数是 .‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.若,则下列不等关系中,不能成立的是……………………( ).‎ ‎ ‎ ‎14.设无穷等比数列的首项为,公比为,前项和为.则“”是“”成立的……( )‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 ‎ 充要条件 既非充分也非必要条件 ‎15. 设是直二面角,直线在平面内,直线在平面内,且、与均不垂直,则( )‎ ‎ 与可能垂直,但不可能平行 与可能垂直,也可能平行 ‎ 与不可能垂直,但可能平行 与不可能垂直,也不可能平行 ‎16. 设是两个非零向量、的夹角,若对任意实数,的最小值为,则下列判断正确的是( )‎ ‎ 若确定,则唯一确定 若确定,则唯一确定 ‎ 若确定,则唯一确定 若确定,则唯一确定 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 ‎17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 已知R,函数 ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)若关于的方程在区间上有解,求实数的取值范围.‎ ‎18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 ‎ 已知椭圆:()的左、右两个焦点分别为、,是椭圆上位于第一象限内的点,轴,垂足为,且,,△的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若是椭圆上的动点,求的最大值, ‎ 并求出取得最大值时的坐标.‎ ‎19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为,总重量为.其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米).‎ ‎(1)这堆螺帽至少有多少个;‎ ‎(2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要耗材0.11千克,‎ 共需要多少千克防腐材料(结果精确到)‎ ‎20. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.‎ ‎ 已知数列的各项均为正数,且,对于任意的,均有, .‎ ‎(1)求证:是等比数列,并求出的通项公式;‎ ‎(2) 若数列中去掉的项后,余下的项组成数列,求;‎ ‎(3)设,数列的前项和为,是否存在正整数(),使得、、成等比数列,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3‎ 小题满分8分.‎ 已知函数,若存在实数、(),使得对于定义域内的任意实数,均有成立,则称函数为“可平衡”函数,有序数对称为函数的“平衡”数对.‎ ‎(1)若,判断是否为“可平衡”函数,并说明理由;‎ ‎(2)若R,,当变化时,求证:与的“平衡”数对相同;‎ ‎(3)若、R,且、均为函数的“平衡”数对.‎ 当时,求的取值范围.‎ 普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准 一、填空题(本大题共有12题,满分54分) 1-6::4分;7-12:5分。‎ ‎1.. 2. . 3. (). 4. 31. 5. . 6. .‎ ‎7. 1. 8.或. 9.. 10.. 11.. 12. .‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 B B C D 三、解答题 ‎17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 ‎【解】(1)当时,,所以……(*)‎ ‎①若,则(*)变为,或,所以; ‎ ‎②若,则(*)变为,,所以 由①②可得,(*)的解集为。‎ ‎(2),即其中 ‎ ‎ 令=,其中,对于任意的、且 ‎ 则 ‎ 由于,所以,,,所以 所以,故,所以函数在区间上是增函数 所以,即 ,故 ‎ ‎18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 ‎【解】(1)在△中,由 得 ‎ ‎ 因为△的面积为,,所以.‎ ‎ 解得……2分在△中,由余弦定理得,,所以,故,‎ 于是,故……4分,由于,所以,‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎(2)设,根据题意可知,故,由于,所以……7分,将代入椭圆方程得,,解得,由于,所以,故的坐标为……8分 令,则,所以 ‎, ‎ 其中……11分,所以当时,的最大值为,故的最大值为…13分,此时点的坐标为. ‎ ‎19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 ‎【解】设正六棱柱的底边边长为,高为,圆孔的半径为,并设螺帽的表面积为,根据三视图可知,,,,则(1)设螺帽的体积为,则,其中 高,螺帽的体积,个 ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ (千克)‎ ‎ 答:这堆零件至少有252个,防腐共需要材料千克。 ‎ ‎20. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.‎ ‎【解】(1)由得,由于 故,即,所以 故数列为等比数列,且,所以 ‎(2),故, ‎ ‎ 其中(常数),所以数列是以为首项、为公差的等差数列 ‎,,, ‎ 由(1)可得,, 因为, ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中,, ‎ 假设存在正整数(),使得、、成等比数列 则有,即,所以, ‎ 解得,又因为,,所以,此时,‎ 所以存在满足题设条件的、.. ‎ ‎21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ ‎【解】(1)若,则 ‎ ‎ 要使得为“可平衡”函数,需使故对于任意实数均成立,只有……3分,此时,,故存在,所以是“可平衡”函数 ‎(2)及的定义域均为R 根据题意可知,对于任意实数,‎ 即,即对于任意实数恒成立 只有,故函数 的“平衡”数对为 对于函数而言, ‎ ‎ 所以 ‎,, ‎ 即,故,只有,……9分,所以函数的“平衡”数对为 ‎ ‎ 综上可得函数与的“平衡”数对相同 ‎(3),所以 ‎ ,所以 ‎ ‎ 由于,所以,故, ‎ ‎ , ‎ ‎ 由于,所以时,‎ ‎ ,所以
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