备战高考数学——压轴题跟踪演练系列二

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备战高考数学——压轴题跟踪演练系列二

备战‎2010‎高考数学――压轴题跟踪演练系列四 ‎1.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足 ‎ (Ⅰ)设为点P的横坐标,证明;‎ ‎ (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;‎ ‎ (Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值;若不存在,请说明理由.‎ 本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为 由P在椭圆上,得 由,所以 ………………………3分 证法二:设点P的坐标为记 则 由 证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 ‎ 由椭圆第二定义得,即 ‎ 由,所以…………………………3分 ‎(Ⅱ)解法一:设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.‎ 当|时,由,得.‎ 又,所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF‎1F2中,,所以有 综上所述,点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二:设点T的坐标为 当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.‎ ‎ 当|时,由,得.‎ ‎ 又,所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为(),则 ‎ 因此 ①‎ ‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②,可得 ‎ 综上所述,点T的轨迹C的方程是……………………7分 ‎③‎ ‎④‎ ‎ (Ⅲ)解法一:C上存在点M()使S=的充要条件是 ‎ w.w.w.g.k.x.x.c.o.m ‎ 由③得,由④得 所以,当时,存在点M,使S=;‎ ‎ 当时,不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时,,‎ ‎ 由,‎ ‎ ,‎ ‎ ,得 解法二:C上存在点M()使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是,当时,存在点M,使S=;‎ ‎ 当时,不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时,记,‎ ‎ 由知,所以…………14分 ‎2.(本小题满分12分)‎ ‎ 函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且 设 是曲线在点()得的切线方程,并设函数w.w.w.g.k.x.x.c.o.m ‎ (Ⅰ)用、、表示m;‎ ‎ (Ⅱ)证明:当;‎ ‎ (Ⅲ)若关于的不等式上恒成立,其中a、b为实数,‎ ‎ 求b的取值范围及a与b所满足的关系.‎ 本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.‎ 考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 ‎ (Ⅰ)解:…………………………………………2分 ‎ (Ⅱ)证明:令 ‎ 因为递减,所以递增,因此,当;‎ ‎ 当.所以是唯一的极值点,且是极小值点,可知的 最小值为0,因此即…………………………6分 ‎ (Ⅲ)解法一:,是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.‎ ‎ 对任意成立的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 另一方面,由于满足前述题设中关于函数的条件,利用(II)的结果可知,的充要条件是:过点(0,)与曲线相切的直线的斜率大于,该切线的方程为 ‎ 于是的充要条件是…………………………10分 ‎ 综上,不等式对任意成立的充要条件是 ‎ ①‎ ‎ 显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式 ②‎ ‎ 有解、解不等式②得 ③‎ ‎ 因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 ‎(Ⅲ)解法二:是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.‎ ‎ 对任意成立的充要条件是 ‎ ………………………………………………………………8分 ‎ 令,于是对任意成立的充要条件是 ‎ 由 ‎ 当时当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即………………10分 ‎ 综上,不等式对任意成立的充要条件是 ‎ ①‎ ‎ 显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式 ②‎ ‎ 有解、解不等式②得 ‎ 因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分 ‎3.(本小题满分12分)‎ 已知数列的首项前项和为,且 ‎(I)证明数列是等比数列;‎ ‎(II)令,求函数在点处的导数并比较与的大小.‎ 解:由已知可得两式相减得 即从而当时所以又所以从而 故总有,又从而即数列是等比数列;‎ ‎(II)由(I)知 因为所以 从而=‎ ‎=-=‎ 由上-=‎ ‎=12①‎ 当时,①式=0所以;‎ 当时,①式=-12所以 当时,‎ 又 所以即①从而 ‎4.(本小题满分14分)‎ 已知动圆过定点,且与直线相切,其中.‎ ‎(I)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且为定值时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解:(I)如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为;‎ ‎(II)如图,设,由题意得(否则)且所以直线的斜率存在,设其方程为,显然,将与联立消去,得由韦达定理知 ‎①‎ ‎(1)当时,即时,所以,所以由①知:所以因此直线的方程可表示为,即所以直线恒过定点 ‎(2)当时,由,得==‎ 将①式代入上式整理化简可得:,所以,‎ 此时,直线的方程可表示为即 所以直线恒过定点 所以由(1)(2)知,当时,直线恒过定点,当时直线恒过定点.‎ ‎5.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.‎ ‎ (Ⅰ)求双曲线C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)设双曲线C2的方程为,则 故C2的方程为 ‎(II)将 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 即 ①‎ ‎.‎ 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得 ‎ ‎ 解此不等式得 ‎ ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为 ‎6.(本小题满分12分)‎ ‎ 数列{an}满足.‎ ‎(Ⅰ)用数学归纳法证明:;‎ ‎(Ⅱ)已知不等式,其中无理数e=2.71828….‎ ‎(Ⅰ)证明:(1)当n=2时,,不等式成立.‎ ‎(2)假设当时不等式成立,即 那么. 这就是说,当时不等式成立.‎ 根据(1)、(2)可知:成立.‎ ‎(Ⅱ)证法一:‎ 由递推公式及(Ⅰ)的结论有 ‎ 两边取对数并利用已知不等式得 ‎ ‎ 故 ‎ 上式从1到求和可得 即 ‎(Ⅱ)证法二:‎ 由数学归纳法易证成立,故 令 取对数并利用已知不等式得 ‎ 上式从2到n求和得 ‎ 因 故成立.‎ ‎7.(本小题满分12分)‎ 已知数列 ‎(1)证明 ‎(2)求数列的通项公式an.‎ 解:(1)方法一 用数学归纳法证明:‎ ‎1°当n=1时,‎ ‎ ∴,命题正确.‎ ‎2°假设n=k时有 ‎ 则 ‎ ‎ 而 又 ‎∴时命题正确.‎ 由1°、2°知,对一切n∈N时有 方法二:用数学归纳法证明:‎ ‎ 1°当n=1时,∴;‎ ‎ 2°假设n=k时有成立,‎ ‎ 令,在[0,2]上单调递增,所以由假设 有:即 也即当n=k+1时 成立,所以对一切 ‎ (2)下面来求数列的通项:所以 ‎,‎ 又bn=-1,所以 版权所有 高考学习网 w.w.w.g.k.x.x.c.o.m
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