2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-4二次函数的再研究与幂函数
第4讲 二次函数的再研究与幂函数
最新考纲 1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图像，了解它们的变化情况．
知 识 梳 理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图像和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图像
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增；
在上单调递增
在上单调递减
对称性
函数的图像关于x＝－对称
2.幂函数
(1)幂函数的定义
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
(2)常见的5种幂函数的图像
(3)常见的5种幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，
且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋ ∞)
{y|y∈R，
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)函数y＝2是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2不是幂函数，(1)错．
(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错．
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(2016·全国Ⅲ卷)已知则( )
A．b
a>b.
答案 A
3．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
解析 由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1,2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.
答案 C
4．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________．
解析 由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
答案 1或2
5．(教材改编)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析 二次函数f(x)图像的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.
答案 (－∞，－2]
考点一 幂函数的图像和性质
【例1】 (1)(2017·西安诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于( )
A. B．1
C. D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
解析 (1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为函数y＝的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解得
即≤m<2.
答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性；
(2)α的正负：当α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；当α<0时，图像不过原点，过(1,1)，在第一象限的图像下降．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．
【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是( )
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析 (1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，
∴α＝，因此f(x)＝，根据图像的特征，C正确．
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.
答案 (1)C (2)B
考点二 二次函数的图像与性质
【例2】 (2017·兰州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝
其图像如图所示，
又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．
规律方法 解决二次函数图像与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.
【训练2】 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
(2)(2017·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析 (1)由A，C，D知，f(0)＝c<0，
从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，
所以ab>0，所以x＝－<0，B错误．
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，
∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
答案 (1)D (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的应用(多维探究)
命题角度一 二次函数的恒成立问题
【例3－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．
解 (1)由题意知
解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k0时，图像过原点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图像不过原点，经过(1,1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．
2．求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值．应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值．
3．二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题．
4．二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定．
[易错防范]
1．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1,3.
答案 A
2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.
答案 A
3．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像可能是( )
解析 若a<0，由y＝xa的图像知排除C，D选项，由y＝ax＋的图像知应选B；若a>0，y＝xa的图像知排除A，B选项，但y＝ax＋的图像均不适合，综上选B.
答案 B
4．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
答案 B
5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)>，得3>3>3，即P>R>Q.
答案 P>R>Q
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，
∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0，
故00时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．
解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.
答案 1
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 幂函数f(x)的图像经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.∴a的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 ∵f(x)＝x2＋bx＝2－，当x＝－时，f(x)min＝－.
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝2－，当f(x)＝－时，f(f(x))min＝－，当－≥－时，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．
答案 A
12．(2017·合肥期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
解析 依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得m＝2，则f(x)＝x2 015.
∴函数f(x)＝x2 015在R上是奇函数，且为增函数．
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
答案 A
13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______．
解析
作出函数y＝f(x)的图像如图．则当00，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0].
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