2004高考数学试题全国1理及答案

2004高考数学试题全国1理及答案

‎2004年高考试题全国卷Ⅰ理 ‎ 球的表面积公式 S=4‎ 其中R表示球的半径，‎ ‎ 球的体积公式 V=，‎ 其中R表示球的半径 参考公式：‎ ‎ 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）‎ ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k ‎ 一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60‎ ‎1．(1－i)2·i= （ ）‎ ‎ A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2‎ ‎2．已知函数 （ ）‎ ‎ A．b B．－b C． D．－‎ ‎3．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎4．函数的反函数是 （ ）‎ ‎ A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)‎ ‎ C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)‎ ‎5．的展开式中常数项是 （ ）‎ ‎ A．14 B．－‎14 ‎C．42 D．－42‎ ‎6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 （ ）‎ A．(A)∪B=I B．(A)∪(B)=I C．A∩(B)= D．(A)(B)= B ‎7．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则= ‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎8．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]‎ ‎9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）‎ ‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．的最小值为 （ ）‎ ‎ A．－ B．－ C．－－ D．+‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．不等式|x+2|≥|x|的解集是 .‎ ‎14．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .‎ ‎15．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+‎2a2+‎3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 ‎ ‎16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .‎ ‎①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线； ④一条直线及其外一点；在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 求函数的最小正周期、最大值和最小值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知求函数的单调区间.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.‎ ‎（I）求点P到平面ABCD的距离，‎ ‎（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.‎ ‎（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：‎ ‎（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….‎ ‎（I）求a3, a5；‎ ‎（II）求{ an}的通项公式.‎ ‎2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题 ‎ DBCBABCCBADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．{x|x≥－1} 14．x2+y2=4 15． 16．①②④‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.‎ 解： ‎ ‎ ‎ 所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.‎ ‎18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.‎ ‎ P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3‎ ‎ P(ξ=2)= ×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37.‎ ‎ P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2‎ ‎ P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04‎ 于是得到随机变量ξ的概率分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.09‎ ‎0.3‎ ‎0.37‎ ‎0.2‎ ‎0.04‎ 所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.‎ ‎19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.‎ 解：函数f(x)的导数：‎ ‎（I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.‎ 所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.‎ ‎（II）当 ‎ 由 所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；‎ ‎（III）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0－.‎ 所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.‎ ‎20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.‎ ‎ （I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.‎ ‎ ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，‎ ‎∵PA=PD，∴OA=OD，‎ 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.‎ 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，‎ ‎∴∠PEB=120°，∠PEO=60°‎ 由已知可求得PE=‎ ‎∴PO=PE·sin60°=，‎ 即点P到平面ABCD的距离为.‎ ‎（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.‎ ‎.连结AG.‎ 又知由此得到：‎ 所以 等于所求二面角的平面角，‎ 于是 所以所求二面角的大小为 .‎ 解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.‎ ‎∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，‎ ‎∴∠AGF是所求二面角的平面角.‎ ‎∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.‎ 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.‎ 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.‎ 在Rt△PEG中，EG=AD=1.‎ 于是tan∠GAE==,‎ 又∠AGF=π－∠GAE.‎ 所以所求二面角的大小为π－arctan.‎ ‎21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.‎ 解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 ‎ ‎（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①‎ 双曲线的离心率 ‎（II）设 由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，‎ ‎22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.‎ ‎ 解：（I）a2=a1+(－1)1=0,‎ ‎ a3=a2+31=3.‎ ‎ a4=a3+(－1)2=4,‎ ‎ a5=a4+32=13, ‎ ‎ 所以，a3=3,a5=13.‎ ‎ (II) a2k+1=a2k+3k ‎ = a2k－1+(－1)k+3k,‎ ‎ 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, ‎ ‎ 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,‎ ‎ ……‎ ‎ a3－a1=3+(－1).‎ ‎ 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)‎ ‎ =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],‎ ‎ 由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],‎ ‎ 于是a2k+1= ‎ ‎ a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1. ‎ ‎{an}的通项公式为：‎ ‎ 当n为奇数时，an=‎ ‎ 当n为偶数时，‎