全国高考新课标卷文科数学试题解析

全国高考新课标卷文科数学试题解析

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．i(2+3i)=( ) ‎ A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i 解析：选D ‎2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( ) ‎ A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}‎ 解析：选C ‎3．函数f(x)= 的图像大致为 ( )‎ 解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B ‎4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ 解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3‎ ‎5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3‎ 解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。‎ ‎6．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 解析：选A e= c2=3a2 b=a ‎ ‎7．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )‎ A．4 B． C． D．2 解析：选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4 ‎8．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )‎ A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4‎ 解析：选B ‎9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )‎ A． B． C． D． 解析：选C 即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=,故选C ‎10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是( )‎ A． B． C． D．π 解析：选C f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。‎ ‎11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，则C的离心率为( )‎ A．1- B．2- C． D．-1‎ 解析：选D 依题设| PF1|=c,| PF2|=c,由| PF1|+| PF2|=2a可得 ‎12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+‎ ‎…+f(50)= ( )‎ A．-50 B．0 C．2 D．50‎ 解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．‎ 解析：y=2x-2‎ ‎14．若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为__________．‎ 解析：9‎ ‎15．已知tan(α- )=，则tanα=__________．‎ 解析：由两角差的正切公式展开可得tanα= ‎16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为300，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．‎ 解析：设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为a,依题×2a×2a=8,∴a=2 ∴V=×π×(2)×2=8π 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并求Sn的最小值．‎ 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为−16.‎ ‎18．（12分）‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：=99+17.5t．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． ‎ 解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).‎ 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5 (亿元).‎ ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下：‎ ‎（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. ‎ ‎（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎19．（12分）‎ ‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．‎ ‎（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2.‎ 连结OB.因为AB=BC=AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.‎ ‎（2）解：作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC=AC =2，CM=BC=，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎※也可用等积法求 ‎20．（12分）‎ 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0，故x1+x2=.‎ 所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1)．‎ ‎ （1）若a=3，求f(x)的单调区间；‎ ‎ （2）证明：f(x)只有一个零点．‎ 解：‎ ‎（1）当a=3时，f（x）=x3-3x2-3x-3)，f ′（x）=x2-6x-3．‎ 令f ′（x）=0解得x=3-2或x=3+2．‎ 当x∈（–∞，3-2）∪（3+2，+∞）时，f ′（x）>0；‎ 当x∈（3-2，3+2）时，f ′（x）<0．‎ 故f（x）在（–∞，3-2），（3+2，+∞）单调递增，在（3-2，3+2）单调递减．‎ ‎（2）由于x2+x+1>0，所以f(x)=0等价于 - 3a=0．‎ 设g(x)= - 3a，则g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． ‎ 又f（3a–1）=-6a+2a- =-6(a- )2- <0，f（3a+1）=>0，故f（x）有一个零点．‎ 综上，f（x）只有一个零点．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ ‎【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．‎ 当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，‎ 当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．‎ ‎（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．‎ 又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当a=1时， 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．‎ ‎（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．‎ 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，‎ 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A ‎7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C 二、填空题 ‎13．y=2x–2 14．9 15． 16．8π 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ ‎18．解：‎ ‎（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．‎ 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎=99+17.5×9=256.5（亿元）．‎ ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 理由如下：‎ ‎（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．‎ ‎（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①‎ 得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网 ‎19．解：‎ ‎（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎20．解：‎ ‎（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由得．‎ ‎，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ‎，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或．‎ ‎21．解：‎ ‎（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．‎ 令f ′（x）=0解得x=或x=．‎ 当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；‎ 当x∈（，）时，f ′（x）<0．‎ 故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．‎ ‎（2）由于，所以等价于．‎ 设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科网 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．‎ 综上，f（x）只有一个零点．‎ ‎22．解：‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ ‎23．解：‎ ‎（1）当时，‎ 可得的解集为．‎ ‎（2）等价于．‎ 而，且当时等号成立．故等价于．‎ 由可得或，所以的取值范围是．‎