2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第四章4-6正弦定理、余弦定理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
【知识拓展】
1.三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin .
3.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( × )
(5)在△ABC中，＝.( √ )
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
1.(教材改编)在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝ .
答案 ＋1
解析 ∵b＝＝＝＋，
∴S△ABC＝absin C＝(＋)×＝＋1.
2.(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝ .
答案
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得＝，即＝，
∴c＝.
3.(教材改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝ .
答案 1
解析 方法一 在△ABC中，根据余弦定理，即BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos 60°，得()2＝AB2＋22－2AB×2×cos 60°，整理得AB2－2AB＋1＝0，解得AB＝1.
方法二 在△ABC中，根据正弦定理，
得＝，即＝，解得sin B＝1，
因为B∈(0°，180°)，所以B＝90°，
所以AB＝＝1.
4.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝，则B＝ .
答案
解析 ∵A＝120°，a＝2，b＝，
∴由正弦定理＝可得，
sin B＝sin A＝×＝.
∵A＝120°，∴B＝30°，即B＝.
5.(教材改编)在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为 .
答案 7
解析 由条件知cos A＝
＝＝，
设AC边上的中线长为x，由余弦定理知
x2＝()2＋AB2－2××ABcos A
＝42＋92－2×4×9×＝49，
∴x＝7，故所求中线长为7.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则c＝ .
答案 7
解析 因为cos B＝，所以B∈(0，)，
从而sin B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.
(2)(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
①证明：sin Asin B＝sin C；
②若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
①证明 根据正弦定理，可设
＝＝＝k(k>0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C.
②解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由①知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解.
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解.
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝ .
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos
Asin C，则b＝ .
答案 (1) (2)2
解析 (1)(边化角)
由asin Asin B＋bcos2A＝a及正弦定理，得
sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B＝sin A，所以＝＝.
(2)(角化边)
由题意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，
即sin Acos C＝3cos Asin C，
由正弦、余弦定理，得
a·＝3c·，
整理得2(a2－c2)＝b2， ①
又a2－c2＝b， ②
联立①②得b＝2.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 (2016·南通模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2acos B，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
得＝－，即cos C＝－.
因为00，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由3sin A＝5sin B及正弦定理得3a＝5b，
故a＝b，c＝b.
所以cos C＝＝－，即C＝π.
从而△ABC为钝角三角形.
引申探究
1.例3(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状.
解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A，
∴sin(A－B)＝0，
又A，B为△ABC的内角.
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.
2.例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状.
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又01.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC的形状是 三角形.
答案 直角
解析 在△ABC中，∵cos2＝，
∴＝＋，∴cos A＝，
∴由余弦定理知cos A＝，
∴＝，∴b2＋c2－a2＝2b2.
即a2＋b2＝c2.故△ABC是直角三角形.
6.(2016·连云港模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为 .
答案 ＋1
解析 ∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，
A＝π－(＋)＝π，
∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
7.(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .
答案
解析 在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.
8.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED＝ .
答案
解析 由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝.
在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝，
由正弦定理得＝＝＝，
所以sin∠CED＝·sin∠EDC＝·sin＝.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为 .
答案 8
解析 ∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24，
又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝52－2×24×＝64，
∴a＝8.
*10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为 .
答案 12
解析 由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0×＋＝2.
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2＋b2＋c2＝4，则△ABC的面积的最大值为 .
答案
解析 由∠B＝∠C，得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，
得7a2＋2b2＝4，即2b2＝4－7a2，
由余弦定理，得cos C＝＝，
所以sin C＝＝
＝，
则△ABC的面积
S＝absin C＝ab×
＝a＝
＝×
≤××
＝××4＝，
当且仅当15a2＝8－15a2时取等号，此时a2＝.
所以△ABC的面积的最大值为.
13.四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解 (1)由题设A与C互补及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C， ①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C． ②
由①②得cos C＝，BD＝，
因为C是三角形内角，故C＝60°.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°
＝2.
14.(2015·湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.
(1)证明：sin B＝cos A；
(2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.
(1)证明 由正弦定理知＝＝＝2R，
∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得
sin A＝sin B·，又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，
∴1＝，即sin B＝cos A.
(2)解 由sin C－sin Acos B＝知，
sin(A＋B)－sin Acos B＝，∴cos Asin B＝.
由(1)知，sin B＝cos A，∴cos2A＝，由于B是钝角，
故A∈，∴cos A＝，A＝.
sin B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
15.(2015·陕西)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)方法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而由a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
方法二 由正弦定理，得＝，
从而sin B＝，
又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.
