2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第八章8-5直线、平面垂直的判定与性质

2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第八章8-5直线、平面垂直的判定与性质

‎1．直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 ‎，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．‎ ‎(2)范围：[0，]．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；‎ ‎②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎【知识拓展】‎ 重要结论：‎ ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)‎ ‎(3)直线a⊥α，直线b⊥α，则a∥b.(　√　)‎ ‎(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)‎ ‎(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)下列命题中不正确的是(　　)‎ A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 答案　A 解析　根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．‎ ‎2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.‎ ‎3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；‎ ‎②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；‎ ‎④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A．①② B．②③ C．②④ D．①④‎ 答案　D 解析　①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.‎ ‎4．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．‎ 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，‎ 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．‎ ‎(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.‎ ‎∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，‎ ‎∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，‎ 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，‎ ‎∴AB⊥平面PGC，‎ 又CG⊂平面PGC，‎ ‎∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．‎ 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，‎ 即O为△ABC的垂心.‎ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　(2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．‎ OD′＝.‎ 证明：D′H⊥平面ABCD.‎ 证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 由EF∥AC得＝＝.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ 思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎　(2016·嵊州市高三质检) 在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在线段BC上，CP＝3PB，M，N分别为AD，BD的中点．‎ 求证：BC⊥平面MNP.‎ 证明　因为MN是△ABD的中位线，‎ 所以MN∥AB.‎ 又AB⊥平面BCD，‎ 所以MN⊥平面BCD，‎ 又因为BC⊂平面BCD，‎ 所以MN⊥BC.①‎ 取BC的中点Q，连接DQ，则DQ⊥BC.‎ 由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ，‎ 所以PN⊥BC.②‎ 由①②可得BC⊥平面MNP.‎ 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明　(1)方法一　‎ 取PA的中点H，连接EH，DH.‎ 又E为PB的中点，‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB，‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二　连接CF.‎ 因为F为AB的中点，‎ 所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．‎ 因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA，‎ 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，‎ 且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.‎ 证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，‎ 所以EF∥PA，FG∥AC，‎ 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理，FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG＝F，‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ 思维升华　(1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎　(2016·江苏) 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，‎ ‎∴DE∥A1C1，‎ 又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥A1C1，‎ 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，‎ A1B1⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1，‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥B1D，‎ 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，‎ A1F⊂平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F，‎ 又∵B1D⊂平面B1DE，‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 题型三　求空间角 命题点1　求两条异面直线所成的角和二面角 例3　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．‎ ‎(1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小；‎ ‎(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值．‎ 解　(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ 因为E，F分别是AD，AA1的中点，‎ 所以EF∥A1D.‎ 因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，‎ 所以四边形ADC1B1为平行四边形．‎ 所以AB1∥DC1.‎ 所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．‎ 因为△A1DC1是等边三角形，‎ 所以∠A1DC1＝60°，‎ 即直线AB1和EF所成的角是60°.‎ ‎(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接B1D1交A1C1于点M，连接DM，则D1M⊥A1C1.‎ 又DD1⊥平面A1C1，‎ 所以DD1⊥A1C1，‎ 且D1M∩DD1＝D1，‎ 所以A1C1⊥平面DD1M，又DM⊂平面DD1M，‎ 所以DM⊥A1C1.‎ 故∠DMD1为二面角D—A1C1—D1的平面角，‎ 故tan∠DMD1＝＝.‎ 命题点2　求直线和平面所成的角 例4　(2016·温州一模)如图，在三棱锥D—ABC中，DA＝DB＝DC，点D在底面ABC上的射影为点E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.‎ ‎(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；‎ ‎(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．‎ ‎(1)证明　如图，由题意知DE⊥平面ABC，‎ 所以AB⊥DE，又AB⊥DF，‎ DE∩DF＝D，‎ 所以AB⊥平面DEF，‎ 又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.‎ ‎(2)解　由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，E为AC的中点，‎ 所以E是△ABC的外心．‎ 过点E作EH⊥DF于点H，则由(1)知EH⊥平面DAB，‎ 所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．‎ 由AC＝4，∠BAC＝60°，得DE＝2，EF＝，‎ 所以DF＝，EH＝，‎ 所以sin∠EBH＝＝.‎ 所以直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.‎ 思维升华　求空间角的策略 ‎(1)利用定义将空间角转化为两条相交直线所成的角，然后在三角形中计算．‎ ‎(2)要遵循求角的四个步骤：作、指、算、答；注意不要忽略角的范围．‎ ‎　在如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，‎ AD＝DE＝2AB＝2，BC＝，F是CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明　如图所示，取CE的中点为M，连接BM，MF，因为F为CD的中点，所以MF綊ED.‎ 又AB∥DE，DE＝2AB，所以MF綊AB，‎ 所以四边形ABMF为平行四边形．‎ 所以BM∥AF.‎ 因为BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，‎ 所以AF∥平面BCE.‎ ‎(2)解　因为△ACD是正三角形，‎ 所以AC＝AD＝CD＝2.‎ 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，‎ 所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.‎ 又AB⊥AD，AC∩AD＝A，‎ 所以AB⊥平面ACD.‎ 如图所示，取AD的中点H，连接CH，EH，则AB⊥CH.‎ 又AC＝CD，所以CH⊥AD.‎ 又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，‎ 所以∠CEH是直线CE与平面ABED所成的角．‎ 在Rt△CHE中，CH＝，EH＝，CE＝2，‎ 所以cos∠CEH＝＝.‎ 所以直线CE与平面ABED所成角的余弦值为.‎ ‎19．立体几何证明问题中的转化思想 典例　(14分) 如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思想方法指导　(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；‎ ‎(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．‎ 规范解答 证明　(1) 如图所示，连接NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，‎ ‎∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，‎ C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K，‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形， [4分]‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. [6分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，‎ ‎∴AN∥平面A1MK. [8分]‎ ‎(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，‎ ‎∴BM∥C1K，BM＝C1K，‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [10分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，‎ BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C. [12分]‎ ‎∴MK⊥B1C.‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]‎ ‎1．(2016·嘉兴期末)设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m⊂α，则m与β的位置关系不确定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案　D 解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误．故选D.‎ ‎3. (2016·芜湖模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案　A 解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.‎ 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.‎ ‎∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．‎ ‎4．(2016·包头模拟) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1‎ C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1‎ D．A1C1∥平面AB1E 答案　C 解析　A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，易得AE⊥BC,而B1C1 ∥BC，所以AE⊥B1C1 ；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.‎ ‎5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②④ B．①②③‎ C．②③④ D．①③④‎ 答案　B 解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，由②知③正确；由①知④错．故选B.‎ ‎6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长为a，A1在底面ABC内的射影为O.则依题意，得AO＝＝，由题意得四面体A1—ABC为四面体，所以∠A1AC＝60°，∠AA1C1＝120°.‎ 在菱形ACC1A1中，AC1＝＝a.‎ 又点C1到底面ABC的距离等于A1到底面ABC的距离，且A1O＝ ＝a，因此AC1与底面ABC所成角的正弦值为＝，‎ AC1与底面ABC所成角的余弦值为.‎ ‎7. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．‎ 答案　AB、BC、AC　AB 解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.‎ ‎8. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．‎ 答案　 解析　设B1F＝x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1＝，‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，‎ 则DE＝h.‎ 又2×＝h，‎ 所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，‎ B1E＝ ＝.‎ 由面积相等得× ＝x，‎ 得x＝.‎ ‎9. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案　①②③‎ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确．‎ ‎10．(2016·保定模拟) 在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为，则AB与β所成的角是________．‎ 答案　 解析　如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，‎ 则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．‎ ‎∵sin∠BCH＝＝，‎ 设BC＝1，则BH＝.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，‎ ‎∴AB与β所成的角为∠BAH.‎ ‎∴sin∠BAH＝＝＝，‎ ‎∴∠BAH＝.‎ ‎11．(2016·四川) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎(1)解　取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：‎ 连接BM，CM.‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM，‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.‎ 因为AD∥BC，BC＝CD＝AD，‎ 所以直线AB与CD相交，‎ 因为AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥平面ABCD，‎ 又因为BD⊂平面ABCD，从而PA⊥BD.‎ 又BC∥MD，且BC＝MD.‎ 所以四边形BCDM是平行四边形，‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP＝A，AB⊂平面PAB，AP⊂平面PAB，‎ 所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD，‎ 所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎12．(2016·湖州市高三下学期5月调测)‎ 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC1⊥平面ABC，BC＝CA＝AC1.‎ ‎(1)求证：AC⊥平面AB1C1；‎ ‎(2)求直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明　由三棱柱的性质知，‎ BC∥B1C1.‎ 因为∠ACB＝90°，‎ 所以AC⊥B1C1.‎ 因为AC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ 所以AC1⊥AC.‎ 因为AC1∩B1C1＝C1，AC1⊂平面AB1C1，B1C1⊂平面ABC1，‎ 所以AC⊥平面AB1C1.‎ ‎(2)解　因为三棱柱ABC－A1B1C1中AC∥A1C1，‎ 又由(1)知，AC⊥平面AB1C1，‎ 所以A1C1⊥平面AB1C1.‎ 设A1B交AB1于点O，所以∠AOC1为直线A1B与平面AB1C1所成角．‎ 设BC＝CA＝AC1＝a，‎ Rt△AC1O中，OC1＝a，A1O＝a.‎ 因此，cos∠A1OC1＝，‎ 故直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值为.‎ ‎13．(2016·北京) 如图，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.‎ 证明如下：‎ 取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.‎