高考数学复习最新3年高考2年模拟9数列
【3年高考2年模拟】第六章数列 第一部分 三年高考题荟萃
2012年高考 数列
一、选择题
1．（2012辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10= （ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
2 ．（2012辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= （ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
3 ．（2012四川文）设函数,是公差不为0的等差数列,,则 （ ）
A．0 B．7 C．14 D．21
4 ．（2012四川理）设函数,是公差为的等差数列,,则 （ ）
A． B． C． D．
5 ．（2012上海文）若,则在中,正数的
个数是 （ ）
A．16. B．72. C．86. D．100.
6 ．（2012上海理）设,. 在中,正数的个数是 （ ）
A．25. B．50. C．75. D．100.
7 ．（2012课标文）数列{}满足,则{}的前60项和为 （ ）
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
8．（2012江西文）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 （ ）
A．76 B．80 C．86 D．92
9 ．（2012湖北文）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
10 ．（2012福建文）数列的通项公式,其前项和为,则等于 （ ）
A．1006 B．2012 C．503 D．0
11 ．（2012大纲文）已知数列的前项和为,,,则 （ ）
A． B． C． D．
12 ．（2012北京文理）某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为 （ ）
A．5 B．7
C．9 D．11
13．（2012北京文）已知为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）
A． B．
C．若,则 D．若,则
14．（2012安徽文）公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则 （ ）
A． B． C． D．
15 ．（2012新课标理）已知为等比数列,,,则 （ ）
A． B． C． D．
16 ．（2012浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是 （ ）
A．若d<0,则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项,则d<0
C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0
D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
17 ．（2012重庆理）在等差数列中,,则的前5项和= （ ）
A．7 B．15 C．20 D．25
18 ．（2012江西理）观察下列各式:a+b=1.a²+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10= （ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
19 ．（2012湖北理）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍
是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函
数:①; ②; ③; ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）
A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
1 0．（2012福建理）等差数列中,,则数列的公差为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2012大纲理）已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 （ ）
A． B． C． D．
22．（2012安徽理）公比为等比数列的各项都是正数,且,则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．（2012福建理）已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
2．（2012重庆文）首项为1,公比为2的等比数列的前4项和______
3．（2012上海文）已知.各项均为正数的数列满足,.若
,则的值是_________.
4．（2012辽宁文）已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列{an}的公比q = _____________________.
5．（2012课标文）等比数列{}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_______
6．（2012江西文）等比数列的前项和为,公比不为1。若,且对任意的都有,则_________________。
7．（2012湖南文）对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否则。
(1)_ _;
(2)记为数列中第个为0的项与第个为0的项之间的项数,则的最大值是___.
8．（2012湖北文）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1,3, 6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:
(Ⅰ)是数列中的第______项; (Ⅱ)______.(用表示)
9．（2012广东文）(数列)若等比数列满足,则_________.
10．（2012北京文）已知为等差数列,为其前项和.若,,则________;=________.
11．（2012新课标理）数列满足,则的前项和为_______
12．（2012浙江理）设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}.若
,,则q=______________.
13．（2012上海春）已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,____.
14．（2012辽宁理）已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式______________.
15．（2012江西理）设数列都是等差数列,若,则__________。
16．（2012湖南理）设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段
个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.
17．（2012湖北理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则
(Ⅰ)4位回文数有__________个;
(Ⅱ)位回文数有_________个.
18．（2012广东理）(数列)已知递增的等差数列满足,,则______________.
19．（2012福建理）数列的通项公式,前项和为,则___________.
20．（2012北京理）已知为等差数列,为其前项和.若,,则________.
三、解答题
1．（2012重庆文）(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分))已知为等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值.
2．（2012浙江文）已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
3．（2012天津文）(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.
(I)求数列与的通项公式;
(II)记()证明:.
4．（2012四川文）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与
的大小,并说明理由.
5．（2012四川文）已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
6．（2012上海文）对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,,m),即
为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是
1，3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;
(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,,m).
求证:(k=1,2,,m);
(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,
求.
7．（2012陕西文）已知等比数列的公比为q=-.
(1)若=,求数列的前n项和;
(Ⅱ)证明:对任意,,,成等差数列.
8．（2012山东文）已知等差数列的前5项和为105,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
9．（2012江西文）已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
10．（2012湖南文）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
11、（2012湖北文）已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(1) 求等差数列的通项公式;
(2)若成等比数列,求数列的前项和.
12．（2012广东文）(数列)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式.
13．（2012福建文）在等差数列和等比数列中,的前10项和.
(Ⅰ)求和;
(Ⅱ)现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.
14．（2012大纲文）已知数列中,,前项和.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的通项公式.
15．（2012安徽文）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
(Ⅰ)求数列;
(Ⅱ)设的前项和为,求.
16．（2012辽宁理）在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.
17．（2012山东文）(本小题满分12分)
在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求证:成等比数列;
(Ⅱ)若,求△的面积S.
18．（2012辽宁文）在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.
19．（2012天津理）已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=
,,.
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明.
20．（2012新课标理）已知分别为三个内角的对边,
(1)求 (2)若,的面积为;求.
21．（2012重庆理）(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)
设数列的前项和满足,其中.
(I)求证:是首项为1的等比数列;
(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.
22．（2012四川理）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.
23．（2012四川理）已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.
24．（2012上海理）对于数集,其中,,定义向量集
. 若对于任意,存在,使得,则称X
具有性质P. 例如具有性质P.
(1)若x>2,且,求x的值;
(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通
项公式.
25．（2012上海春）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知数列满足
(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;
(2)设求正整数使得一切均有
(3)设当时,求数列的通项公式.
26．（2012陕西理）设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.
(1)求数列的公比;
(2)证明:对任意,成等差数列.
27．（2012山东理）在等差数列中,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列 的前项和.
28．（2012江西理）已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列的前n项和Tn.
29．（2012江苏）设集合,.记为同时满足下列条件的集合
的个数:
①;②若,则;③若,则.
(1)求;
(2)求的解析式(用表示).
30．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足:,,
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
31．（2012湖南理）已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。
(1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.
(2) 证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
32．（2012湖北理）已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.
23．（2012广东理）设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
34．（2012大纲理）(注意:在试卷上作答无效)
函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.
(1)证明:;
(2)求数列的通项公式.
35．（2012北京理）设A是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.
对于，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；
记为，，…，，，，…，中的最小值.
（1）对如下数表A,求的值；
1
1
-0.8
0.1
-0.3
-1
（2）设数表A=形如
1
1
1
-1
求的最大值；
（3）给定正整数，对于所有的A∈S(2，),求的最大值。
36．（2012安徽理）数列满足:
(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是
(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列.
参考答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】
,故选B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题.
2、 【答案】B
【解析】在等差数列中,,答案为B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.
3. [答案]D
[解析]∵是公差不为0的等差数列,且
∴
∴
∴
[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.
4、 [答案]D
[解析]∵数列{an}是公差为的等差数列,且
∴
∴ 即
得
∴
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.
5. x
y
a
2a
3a
4a
6a
5a
8a
9a
13a
12a
11a
10a
7a
14a
[解析] 令,则,当1≤n≤14时,画出角序列na终边如图,
其终边两两关于x轴对称,故有均为正数,
而,由周期性可知,当14k-13≤n≤14k时,Sn>0,
而,其中k=1,2,,7,所以在中有14个为0,其余
都是正数,即正数共有100-14=86个,选C.
6、 x
y
a
2a
12a
13a
…
24a
23a
26a
27a
49a
48a
38a
37a
…
…
…
[解析] 对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.
当26≤k≤49时,令,则,画出ka终边如右,
其终边两两关于x轴对称,即有,
所以+++++0
+++
=+++++
+,其中k=26,27,,49,此时,
所以,又,所以,
从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.
对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.
[评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.
7. 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题.
【解析】【法1】有题设知
=1,① =3 ② =5 ③ =7,=9,
=11,=13,=15,=17,=19,,
∴②-①得=2,③+②得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,,
∴,,,,是各项均为2的常数列,,,,是首项为8,公差为16的等差数列,
∴{}的前60项和为=1830.
【法2】可证明:
8. 【答案】B
【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果.
9. C 【解析】设数列的公比为.对于①,,是常数,故①符合条件;对于②,,不是常数,故②不符合条件;对于③,
,是常数,故③符合条件;对于④, ,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.
【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.
10. 【答案】A
【解析】由,可得
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.
11. 答案B
【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.
【解析】由可知,当时得
当时,有 ① ②
①-②可得即,故该数列是从第二项起以为首项,以为公比的等比数列,故数列通项公式为,
故当时,
当时,,故选答案B
12. 【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.
【考点定位】
本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去.
13. 【答案】B
【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.
【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做.
14. 【解析】选
15、 【解析】选,或
16、 【答案】C
【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{S n}是递增数列,但是S n>0不成立.
17、 【答案】B
【解析】,,故.
【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.
18、 C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.
观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,,
发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,
故
【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.
19、 考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
解析:等比数列性质,,①; ②;③;④
.选C
20、 【答案】B
【解析】,而,解得.
【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.
21、答案A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.
【解析】由可得
22、 【解析】选
二、填空题
1. 【答案】
【解析】设最小边为,则其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为
【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.
2. 【答案】:15
【解析】:
【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式
3. [解析] (*),,所以有:,,,,
;又,得,令,则,
由题设,所以,变形(*)为,则,故
,所以.
4. 【答案】2
【解析】
因为数列为递增数列,且
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.
5. 【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式,是简单题.
【解析】当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,∴=0与{}是等比数列矛盾,故≠1,由S3+3S2=0得,,解得=-2.
6. 【答案】11
【解析】由已知可得公比,可得.
【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心.
7. 【答案】(1)3;(2)2.
【解析】(1)观察知;;
一次类推;;
;,,,
b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
8. (Ⅰ)5030;(Ⅱ)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,,的一个通项公式为,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.
从而由上述规律可猜想:(为正整数),
,
故,即是数列中的第5030项.
【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.
9.解析:.,所以.
10. 【答案】1,
【解析】,所以,.
【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.
11、 【解析】的前项和为
可证明:
12、 【答案】
【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.
即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).
13、
14、 【答案】
【解析】
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.
15、 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想
(解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列.
故由等差中项的性质,得,即,解得.
(解法二)设数列的公差分别为,
因为,
所以.所以.
【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等.
16、 【答案】(1)6;(2)
【解析】(1)当N=16时,
,可设为,
,即为,
,即, x7位于P2中的第6个位置,;
(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
17、考点分析:本题考查排列、组合的应用.
解析:(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种.
答案:90
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.
法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此,则答案为.
18、解析:.设公差为(),则有,解得,所以.
19、 【答案】
【解析】由,可得
【考点定位】本题主要考察数列的项、
前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.
20、 【答案】1,
【解析】,所以,.
【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.
三、解答题
1. 【答案】:(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)设数列 的公差为d,由题意知 解得
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 因 成等比数列,所以 从而 ,即
解得 或(舍去),因此 .
2. 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力.
(1) 由Sn=,得
当n=1时,;
当n2时,,n∈N﹡.
由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡.
(2)由(1)知,n∈N﹡
所以,
,
,n∈N﹡.
3.解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故
(2)证明;由(1)得
①
②
由①-②得,
即,而当时,
所以
4. [解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对
则抛物线在点A处的切线方程为:
(2)由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,
特别地,当n=1时,得到a≥3
当a=3,n≥1时,
当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3
(3)由(1)知f(k)=
下面证明:
首先证明0
0,即得
由00,且
所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)
则 b1>b2>b3>>b6=
当n≥7时,bn≤b7=
故数列{lg}的前6项的和最大
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
6. [解](1)数列为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;
2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5
(2)因为,,
所以
因为,,
所以,即
因此,
(3)对,;;
;.
比较大小,可得
因为,所以,即;
,即.
又,
从而,,,
因此
=
=
===
7. 解：（1）由通项公式可得
（2） 证明：
8.解:(I)由已知得: 解得,
所以通项公式为.
(II)由,得,即.
∵,∴是公比为49的等比数列,
∴.
9. 【解析】 (1)当时,
则
,
,∴c=2.∵a2=4,即,解得k=2,∴(n)1)
当n=1时,
综上所述
(2) ,则
(1)-(2)得
10. 【解析】(Ⅰ)由题意得,
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
.
整理得
.
由题意,
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.
11.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.
解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
,或.
故,或.
(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时,;当时,;
当时,
. 当时,满足此式.
综上,
【点评】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.
12.解析:(Ⅰ)当时,,而,所以,解得.
(Ⅱ)在中用取代的位置,有,两式相减,可得(),所以,两式相减,可得,即(),即,所以数列
是一个首项为,公比为2的等比数列.
在式子中,令,有,即,所以,于是,所以().当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.
13. 【答案】(1), (2)
【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习.
解:(1)设是数列的公差,是的公比,由题意得:
.
(2)分别从,中的前三项中各随机抽取一项,得到基本事件有9个,.符合条件的有2个,故所求概率为.
14. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用.
解:(1)由与可得
,
故所求的值分别为.
(2)当时,① ②
①-②可得即
故有
而,所以的通项公式为
【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论.
15. 【解析】(I)
得:当时,取极小值
得:
(II)由(I)得:
当时,
当时,
当时,
得: 当时,
当时,
当时,
16. 【答案及解析】
(1)由已知
(2)解法一:,由正弦定理得
解法二:,,由此得得
所以,
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、
等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
17.解:(I)由已知得:,
,则,
再由正弦定理可得:,所以成等比数列.
(II)若,则,∴,
,
∴△的面积.
15. 【答案与解析】
(1)由已知
(2)解法一:,由正弦定理得
解法二:,,由此得得
所以,
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
19、 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故
（2）
【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.
20、 【解析】(1)由正弦定理得:
(2)
解得:
21、 (1)证明:由,得,即.
因,故,得,
又由题设条件知,
两式相减得,即,
由,知,因此
综上,对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.
(2)当或时,显然,等号成立.
设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:
即证:
当时,上面不等式的等号成立.
当时,与,()同为负;
当时, 与,()同为正;
因此当且时,总有 ()()>0,即
,().
上面不等式对从1到求和得,
由此得
综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.
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22、 [解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对则抛物线在点A处的切线方程为
(2)由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥
当,
>2n3+1
当n=0,1,2时,显然
故当a=时,对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是.
(3)由(1)知,则,
下面证明:
首先证明:当00时,由(I)知,
当 , (2+)an-1=S2+Sn-1
所以,an=
所以
令
所以,数列{bn}是以为公差,且单调递减的等差数列.
则 b1>b2>b3>>b7=
当n≥8时,bn≤b8=
所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为
T7=
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
24、 [解](1)选取,Y中与垂直的元素必有形式
所以x=2b,从而x=4
(2)证明:取.设满足.
由得,所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,
故1ÎX
假设,其中,则.
选取,并设满足,即,
则、异号,从而、之中恰有一个为-1.
若=-1,则,矛盾;
若=-1,则,矛盾.
所以x1=1
(3)[解法一]猜测,i=1, 2, , n
记,k=2, 3, , n.
先证明:若具有性质P,则也具有性质P.
任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足;
当且时,、≥1.
因为具有性质P,所以有,、Î,使得,
从而和中有一个是-1,不妨设=-1.
假设Î且Ï,则.由,得,与
Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P
现用数学归纳法证明:,i=1, 2, , n.
当n=2时,结论显然成立;
假设n=k时,有性质P,则,i=1, 2, , k;
当n=k+1时,若有性质P,则
也有性质P,所以.
取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若,则,所以,这不可能;
所以,,又,所以.
综上所述,,i=1, 2, , n
[解法二]设,,则等价于.
记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称
注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,
所以也只有n-1个数.
由于,已有n-1个数,对以下三角数阵
注意到,所以,从而数列的通项公式为
,k=1, 2, , n
25、解:(1),
(2)由,
由,即;由,即
.
(3)由,故,
当时,以上各式相加得
当时,
,
26、解析:(1)设数列的公比为()
由成等差数列,得,即
由得,解得(舍去)
∴
(2)证法一:对任意
所以,对任意,成等差数列
证法二 对任意,
因此,对任意,成等差数列.
27、解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则
,,于是,即.
(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,
即,而,由题意可知,
于是
,
即.
28、 【解析】
解: (1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以
(2) 因为,
所以
【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
29、 【答案】解:(1)当时,符合条件的集合为:,
∴ =4.
( 2 )任取偶数,将除以2 ,若商仍为偶数.再除以2 ,··· 经过次以后.商必为奇数.此时记商为.于是,其中为奇数.
由条件知.若则为偶数;若,则为奇数.
于是是否属于,由是否属于确定.
设是中所有奇数的集合.因此等于的子集个数.
当为偶数〔 或奇数)时,中奇数的个数是().
∴.
【考点】集合的概念和运算,计数原理.
【解析】(1)找出时,符合条件的集合个数即可.
(2)由题设,根据计数原理进行求解.
30、 【答案】解:(1)∵,∴.
∴ .∴ .
∴数列是以1 为公差的等差数列.
(2)∵,∴.
∴.(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.
∴综上所述,.∴,∴.
又∵,∴是公比是的等比数列.
若,则,于是.
又由即,得.
∴中至少有两项相同,与矛盾.∴.
∴.
∴ .
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法.
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证.
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比.
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列.最后用反证法求出.
31、 【解析】
解(1)对任意,三个数是等差数列,所以
即亦即
故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是
(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有
由知,均大于0,于是
即==,所以三个数组成公比为的等比数列.
(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,
则
,
于是得即
由有即,从而.
因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.
32、考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.
解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
,或.
故,或.
(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时,;当时,;
当时,
. 当时,满足此式.
综上,
33、解析:(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ)由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.
(Ⅲ)因为,所以,所以,于是.
点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下.
考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由的通项公式的形式可大胆尝试令,则,于是,此时只需证明
就可以了.
当然,的选取并不唯一,也可令,此时,,与选取不同的地方在于,当时,,当时,,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.
当时,;当时,;当时,.
当时,,所以
.
综上所述,命题获证.
下面再给出的两个证法.
法1:(数学归纳法)
①当时,左边,右边,命题成立.
②假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,).
要证,只需证,只需证,只需证,只需证,该式子明显成立,所以.
于是当时,,所以命题在时也成立.
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有.
备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.
法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)
当时,显然成立.当时,显然成立.
当时,
,又因为,所以(),所以(),所以
.
综上所述,命题获证.
34、 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.
解:(1)为,故点在函数的图像上,故由所给出的两点,可知,直线斜率一定存在.故有
直线的直线方程为,令,可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时,,满足
假设时,成立,则当时,,
由即也成立
综上可知对任意正整数恒成立.
下面证明
由
由,故有即
综上可知恒成立.
(2)由得到该数列的一个特征方程即,解得或
① ②
两式相除可得,而
故数列是以为首项以为公比的等比数列
,故.
法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ证Ⅰ):(Ⅱ) 的方程为,令得
(不动点法) 令,得函数的不动点.
上两式相除得.可见数列是等比数列,其中公比,首项为
. 即为所求.
(Ⅰ)①由上知(当时).
②又(当时).
③易见,数列单调递减,所以数列单调递增,即
.
综合①②③得:.
【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.
35、 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.
解:(1)由题意可知,,,,∴
(2)先用反证法证明:
若 则,∴
同理可知,∴ 由题目所有数和为 即 ∴
与题目条件矛盾
∴.
易知当时,存在 ∴的最大值为1
(3)的最大值为.
首先构造满足的:
,
.
经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且
,
,
.
下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表,使得
.
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.
设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此
,
故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的最大值为.
36、 【解析】(I)必要条件
当时,数列是单调递减数列
充分条件
数列是单调递减数列
得:数列是单调递减数列的充分必要条件是
(II)由(I)得:
①当时,,不合题意
②当时,
当时,与同号,
由
当时,存在,使与异号
与数列是单调递减数列矛盾
得:当时,数列是单调递增数列
2011年高考题
一、选择题
1．（天津理4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为
的前项和，，则的值为
A．-110 B．-90
C．90 D．110
【答案】D
2．（四川理8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【解析】由已知知由叠加法
3．（四川理11）已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意,在上，
4．（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为
A．是等比数列。
B．或是等比数列。
C．和均是等比数列。
D．和均是等比数列，且公比相同。
【答案】D
5．（全国大纲理4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
6．（江西理5） 已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=
A．1 B．9 C．10 D．55
【答案】A
7．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B
二、填空题
8．（湖南理12）设是等差数列，的前项和，且，
则= ．
【答案】25
9．（重庆理11）在等差数列中，，则__________
【答案】74
10．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。—2
【答案】
11．（安徽理14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的
等差数列，则的面积为_______________.
【答案】
12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
【答案】
13．（广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=____________．
【答案】10
14．（江苏13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
【答案】
三、解答题
15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立
（1）设的值；
（2）设的通项公式
本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：（1）由题设知，当，
即，
从而
所以的值为8。
（2）由题设知，当
，
两式相减得
所以当成等差数列，且也成等差数
列
从而当时， （*）
且，
即成等差数列，
从而，
故由（*）式知
当时，设
当，从而由（*）式知
故
从而，于是
因此，对任意都成立，又由可知，
解得
因此，数列为等差数列，由
所以数列的通项公式为
16．（安徽理18）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和.
本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.
解：（I）设构成等比数列，其中则
①
②
①×②并利用
（II）由题意和（I）中计算结果，知
另一方面，利用
得
所以
17．（北京理20）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，
所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得
18．（福建理16）
已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。
解：（I）由
解得
所以
（II）由（I）可知
因为函数的最大值为3，所以A=3。
因为当时取得最大值，
所以
又
所以函数的解析式为
19．（广东理20）
设b>0,数列满足a1=b，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
解：
（1）由
令，
当
①当时，
②当
（2）当时，（欲证）
，
当
综上所述
20．（湖北理19）
已知数列的前项和为，且满足：，N*，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）
解：（I）由已知可得，两式相减可得
即
又所以r=0时，
数列为：a，0，…，0，…；
当时，由已知（），
于是由可得，
成等比数列，
，
综上，数列的通项公式为
（II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（I）知，
对于任意的，且成等差数列，
当，时，
若存在，使得成等差数列，
则，
由（I）知，的公比，于是
对于任意的，且
成等差数列，
综上，对于任意的，且成等差数列。
21．（辽宁理17）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列的前n项和．
解：
（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得
解得
故数列的通项公式为 ………………5分
（II）设数列，即，
所以，当时，
所以
综上，数列 ………………12分
22．（全国大纲理20）
设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设
解：
（I）由题设
即是公差为1的等差数列。
又
所以
（II）由（I）得
， …………8分
…………12分
23．（全国新课标理17）
已知等比数列的各项均为正数，且．
（I）求数列的通项公式．
（II）设，求数列的前n项和．
解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．
由条件可知c>0，故．
由得，所以．
故数列{an}的通项式为an=．
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为
24．（山东理20）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．
解：（I）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（II）因为
所以
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
25．（上海理22） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
。
（1）求；
（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式。
解：⑴ ；
⑵ ① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。
⑶ ，
，，
∵
∴ 当时，依次有，……
∴ 。
26．（四川理20）
设为非零实数，
（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
（II）设，求数列的前n项和．
解析：（1）
因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
（2）
（2）（1）
27．（天津理20）
已知数列与满足：， ，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
（I）解：由
可得
又
（II）证明：对任意
①
②
③
②—③，得 ④
将④代入①，可得
即
又
因此是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，
对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意
28．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式及
（2）记，，当时，试比较与的大小．
本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。
（I）解：设等差数列的公差为d，由
得
因为，所以所以
（II）解：因为，所以
因为，所以
当，
即
所以，当
当
29．（重庆理21）
设实数数列的前n项和，满足
（I）若成等比数列，求和；
（II）求证：对
（I）解：由题意，
由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有
故
从而对有
①
因，由①得
要证，由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二：由题设知，
故方程（可能相同）.
因此判别式
又由
因此，
解得
因此
由，得
因此
2010年高考题
一、选择题
1.（2010浙江理）设为等比数列的前项和，，则
（A）11 （B）5 （C） （D）
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题
2.（2010全国卷2理）如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
3.（2010辽宁文）设为等比数列的前项和，已知，，则公比
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】 B
解析：选B. 两式相减得， ，.
4.（2010辽宁理）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。
5.（2010全国卷2文）如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵ ，∴
6.（2010安徽文）设数列的前n项和，则的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】 A
【解析】.
【方法技巧】直接根据即可得出结论.
7.（2010浙江文）设为等比数列的前n项和，则
(A)-11 (B)-8
(C)5 (D)11
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
8.（2010重庆理）在等比数列中， ，则公比q的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】A
解析：
9.（2010广东理）已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2
的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
解析：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．
∴，即．，即．
10.（2010广东文）
11.（2010山东理）
12.（2010重庆文）（2）在等差数列中，，则的值为
（A）5 （B）6
（C）8 （D）10
【答案】 A
解析：由角标性质得，所以=5
13.（2010江西理）5.等比数列中，，=4，函数
，则（ ）
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。
14.（2010江西理）（ ）
A. B. C. 2 D. 不存在
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
15.（2010北京理）在等比数列中，，公比.若，则m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
【答案】C
16.（2010四川理）已知数列的首项，其前项的和为，且，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
解析：由,且
作差得an＋2＝2an＋1
又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1
故{an}是公比为2的等比数列
Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1
则
【答案】B
17.（2010天津理）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。
18.（2010福建理）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为，则，解得，
所以，所以当时，取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
19.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【答案】A
【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【解析】由等比数列的性质知，10,所以,
所以
20.（2010湖北文）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则
A. B. C. D
21.（2010安徽理）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是
A、 B、
C、 D、
【答案】 D
【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.
22.（2010湖北理数）如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则=
A． 2 B. C.4 D.6
二、填空题
23.（2010辽宁文）设为等差数列的前项和，若，则 。
解析：填15. ,解得，
24.（2010福建理）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题意知，解得，所以通项。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
25.（2010江苏卷）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________
解析：考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，
所以。
三、解答题
26.（2010上海文）(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．
27.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.
解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得
Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
28.（2010全国卷2文）（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且
，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
29.（2010江西理）22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
对任一正整a,都存在整数b,c(b0
由.得 ① ---------------1分
由得 ② ---------------2分
由①得将其代入②得。即
∴,又,代入①得, ---------------3分
∴. ------------------4分
（Ⅱ）
∴, ---------------5分
---------------6分
错位相减可得：
整理得：
---------------7分
∴ ---------------8分
2011届高三模拟题
题组一
一、选择题
1．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）
已知数列中，，则数列通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
答案 C.
2.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）已知等差数列的前n项和为，若( )
A．18 B. 36 C. 54 D. 72
答案 D.
3.（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，项和，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
答案 A.
4.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则数列的公比为（ ）
A． B．4 C．2 D．
答案 C.
5.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）已知数列｛an｝的通项公式为 则｛an｝的最大项是（ ）
A．a1 B．a2 C．a3 D．a4
答案 B.
6．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）
等比数列中， 则= （ ）
A． B． C． D．
答案 B.
7.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） 已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于（ ）
A．-4 B．-6 c C．-8 D．8
答案 D.
8．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）已知数列{an}的前n项和Sn=
A． B． C． D．
答案 A.
9. （广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）已知等差数列的前项和为，且，则过点和
N*)的直线的斜率是
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A.
10.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）设是公差为正数的等差数列，若，，则
（ ）
A． B． C． D．
答案 B.
11．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）已知等差数列的前项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过
原点），则＝（ ）
A．100 B. 101 C. 200 D. 201
答案 A.
12.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（ ）
A．13 B．26 C．8 D．16
答案 A.
13.（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）在等比数列中，已知
，那么=
（A）3 （B）4 （C）12 （D）16
答案 B.
14．（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理）若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有（ ）
项 项 项 项
答案 A.
15．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）已知等差数列的前项和为，且，则
（ ）
A． B． C． D．
答案 D.
16．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）
如果数列等于 （ ）
A．256 B．510 C．512 D． 1024
答案 D.
17．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（理科）已知数列满足则的最小值为 （ ）
A ．10 B．10．5
C ．9 D ．8
答案 B.
18．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）等差数列满足:,则= （ ）
A． B．0 C．1 D．2
答案 B.
19．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）
在数列中，的值为 （ ）
A．55050 B．5051 C．4950 D．4951
答案 D.
20．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）在等差数列｛an｝中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a6－a4的值为
A．24 B．22 C．20 D．-8
答案 A.
21．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）若{a}为等差数列，且a＋a＋a＝39，则a＋a＋…＋a的值为
A．117 B．114 C．111 D．108
答案 A.
22.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
答案 B.
23．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）数列满足
若，则
A． B． C． D．
答案 B.
24．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
等比数列首项与公比分别是复数是虚数单位的实部与虚部，则数列的前项的和为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算。
【解析】该等比数列的首项是，公比是，故其前项之和是。
【考点】数列、复数
【点评】本题把等比数列和复数交汇，注意等比数列的求和公式是分公比等于和不等于两种情况，在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。
25．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（文科）设是等比数列的前项和，，则等于 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B
26．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）
已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B
27.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）已知等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为( )
25 50 100 不存在
答案 A.
28．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）
设若的最小值为 （ ）
A．4 B．8
C．1 D ．
答案 A.
29.（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）已知函数的定义域为，当时，，
且对任意的实数，等式成立，
若数列满足，且，则的值为（ ）
（A）4017 （B）4018 （C）4019 （D）4021
答案 D.
二、填空题
30．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）已知等差数列的前项和为，且若则
＝ ．
答案 7.
31．（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知等比数列各项均为正数,前项和为，若，．则▲▲．
答案 31.
32．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）已知数列1, a1, a2, a3 , a4 ,4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则_______．
答案
33.（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ．
答案 n2
34．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）数列的前项和为，且数列的各项按如下规则排列：
则＝ ，若存在正整数，使则 ．
答案 、 20.
35．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）
在且成等差数列。则的范围是
答案 .
36．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且 ，，成等比数列.给出下列结论：①第2列中的，，必成等比数列；②第１列中的、、不一定成等比数列；③；④若这9个数之和等于9，则．其中正确的序号有 ▲ （填写所有正确结论的序号）．
答案：①②③
三、简答题
37．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷） 已知为等比数列，且
（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求.
答案 解：设，由题意，解之得，进而
（1）由，解得 ………3分
（2）
………3分
38．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本小题满分13分）在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式 ；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
解：（1）当n=1时，,当时，
由得所以
所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为
（2）
39.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）（本题满分13分）
数列 满足
(1)求 及数列的通项公式；(2)设，求；
答案 （本题满分13分）
数列 满足
(1)求 及数列的通项公式；(2)设，求；
解：（1）
----2分
一般地，即-=2
即数列｛｝是以，公差为2的等差数列。 ----4分
即数列｛｝是首项为，公比为的等比数列--6分
----8分
（2）
---13分
40.（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）（本小题满分15分）
已知数列，中，为公比的等比数列，且，，其中分别为数列，的前项和
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式；
（III）求数列的前项和；
答案 （本小题满分15分）
（1）
(2)
(3)
41．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）（本小题满分14分）
已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 设数列是以2为首项，为公差的等差数列，其前项和为，
试比较与的大小.
答案 (Ⅰ) 解：
(Ⅱ) 解：
.
42．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（13分）已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且成等差数列。
（1）求数列的通项；
（2）令的前项和
答案
43．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）（本小题满分12分）
设数列的前项和为
（1）求数列的通项公式
（2）是否存在正整数使得 ？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
答案
44.（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）（本小题满分12分）
已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（I）求数列的通项；
（II）记，求数列的前项和
答案 解：设公差为，则：
解得：
45.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）（12分）已知数列满足
（1）求（4分）
（2）设求证：；（4分）
（3）求数列的通项公式。（4分）
答案 (理)解答：（1）由已知,即
，即有
由，有
，
即 同时，
（2）由（1）：，有
（3）由（2）：
而，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
即，而，
有：
（文）解答：（1）
证明：
（2）
而，
是以2为首项，2为公比的等比数列；
（3）由（2）可知：，
即，而，
有：
46．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
（本小题满分12分）
在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且．
（1）求证：数列是等比数列，并求出其通项；
（2）若数列的前项和为，且，求．
【分析】（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是，再根据条件求出首项即可求出这个数列的通项公式；（2）数列是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。
【解析】（1）因为点在函数的图像上，
所以故数列是公比的等比数列
因为由于数列的各项均为负数，则所以…………．6分
（2）由（1）知，，
所以…12分
【考点】数列。
【点评】本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法。
47．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）（本小题满分13分）在数列．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列项和为，是否存在正整整m，使得 对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由．
答案 解：（1）证明：
数列是等差数列 …………3分
由
…………6
（2）
………………10分
依题意要使恒成立，只需
解得所以m的最小值为1 ………………12分
………13分
48.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分14分)
已知数列中，.
（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；
（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
答案 解：（1）∵
∴ ……………2分
当时，，
∴ ，
∴ …………………5分
当时，也满足上式， ∴数列的通项公式为…6分
（2）
…………………8分
令，则， 当恒成立
∴ 在上是增函数，故当时，
即当时， ……………11分
要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即，
∴ ∴ 实数的取值范围为…14分
另解：
∴ 数列是单调递减数列，∴
49．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）已知函数，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）求证：
答案
50.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） （本小题满分13分）已知数列，定义其倒均数是。
（1）求数列{}的倒均数是，求数列{}的通项公式；
（2）设等比数列的首项为－1，公比为，其倒数均为，若存在正整数k，使恒成立，试求k的最小值。
答案 【解】：（1）依题意，
即…………………2分
当
两式相减得，得 ∴……………………4分
当n=1时， ∴=1适合上式…………………5分
故…………………………6分
（2）由题意， ∴…………….. 8分
………………10分
不等式恒成立，即恒成立。…………12分
经检验：时均适合题意，即K的最小值为7。……………………13分
51.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.
（Ⅰ）求f(x)的最大值；
（Ⅱ）数列{an}满足：an+1= 2f ' (an) +2,且a1=2.5，= bn,
⑴数列{ bn+}是等比数列 ⑵判断{an}是否为无穷数列。
（Ⅲ）对n∈N*,用⑴结论证明：ln(1++)<;
答案 【解】：⑴x>-1, f'(x)= -1=,
x
(-1,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分
（Ⅱ）an+1=，∴an+1-1=，∴=-1-，……………………5分
则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+=-2(bn+), b1+=1,
∴数列{ bn+}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分
∴bn+=(-2)n-1, ……………………8分
∴an=+1=+1，……………………9分
明显a1=2.5>-1，n≥2时(-2)n-1-<-2, ∴an>0>-1恒成立，
∴数列{an}为无穷数列。……………………11分
（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1++)< ln(1+)3……………………12分
=3 ln(1+)≤3×=成立。 ………14分
52．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(1)．数列{}是等比数列；
(2)．Sn+1=4an.
答案 ．（12分）
证明：(1)．数列{}是等比数列；
(2)．Sn+1=4an.
（1）由 得： 即
所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．
（2）由（1）得
所以
所以
53．（广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）
（14分）已知数列中,,且
（1）求证：;
（2）求数列的通项公式；
(3)设,是数列的前项和,求的解析式;
答案
解:
故,．……………………………………1分
又因为
则,即．………………………3分
所以, ……………………………………4
(2)
= …………………………………8
因为=
所以,当时, ………………………9
当时,……….(1)
得……(2)
=
…………………………12
综上所述: ……………………………14
54.（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设四边形的面积是，求证：
答案 解：（1）由得∵ ， ∴ ，
故是公比为2的等比数列
∴.…………………………………………………………6分
（2）∵ ，
∴, 而 ， …………………9分
∴四边形的面积为：
∴,
故.……………………………………………14分
55.（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）（本小题满分15分）
甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记，，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为，
（I）试用，表示，；
（II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；
（III）求出数列｛｝，｛｝的通项公式.
答案 （本小题满分15分）
（1）
（2）两式相减
所以等比
两式相加
＝…….＝ 所以常数列；
（3）
56．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）（本小题满分12分）
已知数列满足递推式：
（1）若的通项公式；
（2）求证：
答案 解：（1）
………………5分
（2）由（2）知
57．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（22分）已知函数的反函数为，数列满足：
处的切线在y轴上的截距为
（1）若数列的通项公式；
（2）若数列的取值范围；
（3）令函数
证明：
答案
58.（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）（本小题满分14分）从集合中，抽取三个不同元素构成子集．
（Ⅰ）求对任意的，满足的概率；
（Ⅱ）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．
答案 (Ⅰ)基本事件数为，满足条件，及取出的元素不相邻，则用插空法，有种
故所求事件的概率是 7分
（Ⅱ）分析三数成等差的情况：
的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789
的情况有5种，135，246，357，468，579
的情况有3种，147，258，369
的情况有1种，159
分布列是
1
2
3
4
． 14分
题组二
一、选择题
1．(2011湖南嘉禾一中) 若的展开式中的二项式系数之和为256，则展开式中x4的系数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B.
2．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）等差数列中，若
，则的值为：
（A）180 （B）240 （C）360 （D）720
答案 C.
3．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知是首项为1的等比数列，是
的前n项和，且，则数列的前5项和为（ ）
A.或5 B.或5 C. D.
答案 C.
4．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知数列，若是公比为2的等比数列，则的前n项和等于（ ）
A. B.
C. D.
答案 D
5．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）是等差数列，首项＞０，，，则使前项和 成立的的最大正整数ｎ是（ ）
A．2003 B．2004 C．4006 D．4007
答案 C
6．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）设函数（，且)的最小值为 ，最大值为 若，则数列｛｝是 （ ）
A．公差不等于0的等差数列 B．公比不等于1的等比数列
C．常数列 D．以上都不是
答案 C.
7．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有 ，若数列{}的前n项和为Sn，且满足，则=（ ）
A. 9 B. C. D.
答案 C.
8．（浙江省桐乡一中2011届高三理）在等差数列中，若前5项和，则等于
（A）4 （B）－4 （C）2 （D）－2
答案 A.
9．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则
A. B. C. D．
答案 C.
10. （浙江省吴兴高级中学2011届高三文）在等差数列中，，则 ( )
（A）24 （B）22 （C）20 （D）
答案 A.
11．（广东省湛江一中2011届高三理）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=
A． B． C． D．
答案 A.
12．(福建省四地六校联考2011届高三文) 在等比数列中，已知，那么=
A．3 B．4
C.12 D．16
答案 B.
13．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）
设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=
A． B． C． D．
答案 A.
14.（2011湖南嘉禾一中）设恒成立，那么 （ ）
A． B．a>1 C． D．a<1
答案 D.
15．（成都市玉林中学2010—2011学年度）等差数列中，若
，则的值为：
（A）180 （B）240 （C）360 （D）720
答案 C.
16．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
（A） （B） （C） （D）
答案 B .解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选出12人，然后这12人再来分组排班。
故选B
17.（成都市玉林中学2010—2011学年度）函数的定义域为
（A） （B） （C）（1，3） （D）[1，3]
答案 A. 解：
故选A
18．（江苏泰兴市重点中学2011届）若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为___________
答案，，
19．（江西省2011届文）集合，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 D.
20.（江西省2011届理）已知，，
则下列关系式中正确的是 （ ）
A B D
答案 D.
21.（江苏省2011届数学理）右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是 （ ）
A B
D
答案 B.
22．（四川省成都市2011届高三理）函数的定义域为
A. B.
C.（1，3） D.[1，3]
答案 A.
23．（四川省成都市2011届高三文）等差数列中，若，则的值为：
A.10 B.11 C.12 D.14
答案 C.
24.（浙江省杭州市高级中学2011届高三考文）函数
的定义域是 （ ）
A B D
答案 D。
25．（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）在等差数列{}中，，则=（ ）
A. B. C. D.
答案 D.
26．(浙江省桐乡一中2011届高三文) 若Sn是等差数列{an}的前n项和，有，则的值为（ ）
（A）12 （B）18
（C）22 （D）44
答案 C.
27.(山西省四校2011届高三文）设Sn为等比数列的前项和，8a2+a5=0,则=（ ）
A. -11 B. -8 C. 5 D. 11
答案 D.
28.(福建省福州八中2011届高三理)已知，函数的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
答案 A.
29.(福建省四地六校联考2011届高三理)关于的方程的根在内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案 B.
30．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）
函数(01的等比数列，若和是方程的两根，则
__________。
答案 18.
36．（浙江省桐乡一中2011届高三文）观察下列等式：
；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为 ．
答案
37．（广东省广州东莞五校2011届高三理）已知等比数列的前三项依次为，，，则 ．
答案
38．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文） 已知数列是等比数列，且，，，则数列的公比 .
答案
39.（河北省唐山一中2011届高三理）.给出下列命题
（1）“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.
（2）“”是在区间上为增函数”的充要条件.
(3)是直线与直线互相垂直的充要条件.
(4)设分别是的内角的对边,若.则是的必
要不充分条件.
其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)
答案 (1)(4)
40．（江苏泰兴市重点中学2011届文）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则公比__________．
答案
41．（2011湖南嘉禾一中）对正整数n，设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为，
（i）=
（ii）数列的前n项和Sn=
答案 （i）（3分）； （ii） （2分）
42．（江苏泰兴2011届高三文）已知－7，，，－1四个实数成等差数列，－4，，，，－1五个实数成等比数列，则=__________．
答案 -1
43．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）在的展开式中，常数项是 。
答案 －252
解：
44．（江苏泰兴市重点中学2011届文）已知的零点在区间上，则的值为
答案 1.
45．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数的定义域是____________________．
答案
46．（江苏泰兴市重点中学2011届理）已知函数的定义域和值域都是，则实数a的值是 ________
答案 2.
47．（江苏泰兴市重点中学2011届理）函数的值域为________________．
答案
48. （浙江省杭州市高级中学2011届高三文）已知，，则下列关系式中正确的是 （ ）
A B D
答案 D.
49.（江苏省2011高三理）已知，若，则的取值范围是
答案 3.
50．（江苏泰兴2011届高三文）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则公比__________．
答案
51．（江苏泰兴市重点中学2011届理）已知在上是增函数，则的取值范围是 ．
答案 。
三 解答题
52．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）
已知数列是等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和Sn.
答案 解（1）
（2）
53．（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）已知
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
答案 （本题满分14分）
解：（1）…………3分
…………6分
（2）…………8分
…………10分
又……12分
………………14分
54．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知数列是等差数列，
（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果，试写出数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
答案 解：（1）设的公差为，则
数列是以为公差的等差数列…………4分
（2）
两式相减：
…………6分
…………8分
…………10分
（3）因为当且仅当时最大
…………12分
即
…………15分
55. （山东省实验中学2011届高三文理）已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；
（3）当时，求数列的最小项.（提示：当时总有）
答案
解：（1）∵
∴
(n≥2)
由得，，
∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，
∴，即 。
（3）由（1）知当时，，
所以，
显然最小项是前三项中的一项。
当时，最小项为；
当时，最小项为或；
当时，最小项为；
当时，最小项为或；
当时，最小项为。
56．（2011湖南嘉禾一中）（本小题满分12 分）
已知{ }是整数组成的数列，a1 = 1，且点在函数的图象上，
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若数列{}满足 = 1，，求证：
答案 解：由已知得
所以数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；（2分）
即=1+…………………………4分
（2）由（1）知 ……………………6分
…………………………8分
……………………10分
所以：…………………………12分
57．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分），
（ a>1,且）
（1） 求m 值 ，
（2） 求g（x）的定义域；
（3） 若g（x）在上恒正，求a的取值范围。
答案 （1）是奇函数，
（2）由（1）
必须满足
的定义域为
（3）上恒正，
即
的取值范围是（2，+∞）
58．（江苏省2011理）已知集合A＝，B＝
．
⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．
答案 33． 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）．
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜时，A＝（3a＋1，2）
要使BA，必须，此时a＝－1；
当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）
要使BA，必须，此时1≤a≤3．
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}
59．（江苏泰兴2011届高三理）
设n为大于1的自然数，求证：．
答案 34．证明：（放缩法）
解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0）
60．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（14分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，如果对任意，，求的取值范围。
答案 （Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]。
61．（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）（12分）数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，总有成等差数列，又记。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn，并求使Tn＞对都成立的最大正整数m的值。
答案 解：（1）∵，相减得，∴
（2）
∴Tn==
∵＞1 ∴＞ ∴最小值
∴＞ ∴＜10
∴最大正整数=9
62.（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）（14分）设，且有唯一解，，。
（1）求实数；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，数列是首项为1，公比为的等比数列，记，求的前n项和。
答案 解：（1） ∴有唯一解 ∴
（2） ∴ ∴
∴
（3），又
∴
∵
∴
63.（浙江省桐乡一中2011届高三文）本小题满分（15分）已知函数在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：对任意正整数n，不等式都成立．
答案 解：（1）
时，取得极值，
（3分）
故，解得a=1，
经检验a=1符合题意.
（2）由a=1知
得
令
则上恰有两个不同的实数根等价于
在[0，2]上恰有两个不同的实数根。
当上单调递增
当上单调递减。
依题意有
（3）的定义域为
由（1）知
令（舍去），
单调递增；
当x>0时，单调递减。
上的最大值。
（当且仅当x=0时，等号成立）
对任意正整数n，取得，
64．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知数列的前n项和为，对任意的，点，均在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求使成立的的最大值.
答案 解：（Ⅰ）由题意得 ，则
所以…………………………………5分
又 所以………………………………………7分
（Ⅱ）因为所以
……9分
则 所以得……14分
所以使成立的的最大值为9. …15分
65．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知函数图象上一点处的切线方程为
(1)求的值；
(2)若方程在内有两个不等实根，求的取值范围(其中为自然对数的底数)
答案 40．解：(1)
……………………………………………4分
解得：……………………………………………………………………7分
(2)
则
是增函数;
当……………………………11分
则方程内有两个不等实根的充要条件是…………13分
即……………………………………………………………………15分
66.（河北省唐山一中2011届高三理）设M={x|}
N={x|}
求M∩N≠时a的取值范围.
答案 解：由不等式得：
解得：-2-2
即： ……………………10分
67．（河北省唐山一中2011届高三理）已知数列满足=-1，
，数列满足
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证：当时，.
（3）求证：当时，
答案 42.解：（1）由题意，即
………………………………4分
（2） 当时，
平方则
叠加得
……………………………………8分
（3）当时，即时命题成立
假设时命题成立，即
当时，
= 即时命题也成立
综上，对于任意，………………12分
68.（江苏省2011届高三理）已知函数（）是偶函数
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围
答案 （本题满分15分）
解（1） ∵ 函数是偶函数
∴
恒成立
∴ ，则………………………………………5分
（2） ，
函数与的图象有且只有一个公共点，即
方程只有一个解
由已知得
∴
方程等价于
设，则有一解
若，设，∵，∴恰好有一正解
∴ 满足题意
若，即时，不满足题意
若，即时，由，得或
当时，满足题意
当时，（舍去）
综上所述实数的取值范围是……………………10分
69．（福建省四地六校联考2011届高三文）（本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，
（I）求证数列｛an｝为等差数列；
（II）设数列的前n项和为Tn，求.
答案 (本小题满分12分)
证明：（I）由
得 即……………4分
是以1为首项，4为公差的等差数列 ……………6分
（II）由（I）得
…………12分
