2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章10-5古典概型

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2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章10-5古典概型

第5讲 古典概型 最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式;2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的.‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎2.古典概型 ‎(1)定义 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型,简称古典概型.‎ ‎①试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果.‎ ‎②每一个试验结果出现的可能性相同.‎ ‎(2)概率公式:P(A)=.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 ‎(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(  )‎ ‎(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”,这三个事件是等可能事件.(  )‎ ‎ (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.(  )‎ ‎(4)“从长为1的线段AB上任取一点C,求满足AC≤的概率是多少”是古典概型.(  )‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×                   ‎ ‎2.下列试验中,是古典概型的个数为(  )‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;②向正方形ABCD内,任意抛掷一点P,点P恰与点C重合;③从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;④在区间上任取一值x,求cos x<的概率.‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析 由古典概型的意义和特点知,只有③是古典概型.‎ 答案 B ‎3.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球抽到白球的概率为(  )‎ A. B. C. D.非以上答案 解析 从袋中任取一球,有15种取法,其中抽到白球的取法有6种,则所求概率为P==.‎ 答案 A ‎4.(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析 ∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,‎ ‎5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},‎ ‎∴事件总数有15种.‎ ‎∵正确的开机密码只有1种,∴P=.‎ 答案 C ‎5.(2014·全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.‎ 解析 甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,白),(白,红),(白,蓝),(蓝,蓝),(蓝,白),(蓝,红),共9种.‎ 而同色的有(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.‎ 所以所求概率P==.‎ 答案  考点一 简单古典概型的概率                   ‎ ‎【例1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析 (1)从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所求概率为.所以3个数构成一组勾股数的概率P=.‎ ‎(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种.故所求概率为P==.‎ 答案 (1)C (2)C 规律方法 (1)计算古典概型事件的概率可分三步:①计算基本事件总个数n;②计算事件A所包含的基本事件的个数m;③代入公式求出概率P.‎ ‎(2)用列举法写出所有基本事件时,可借助“树状图”列举,以便做到不重、不漏.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·上饶质检)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(  )‎ A.0.4 B.0.6‎ C.0.8 D.1‎ ‎(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.‎ 解析 (1)记3件合格品为a1,a2,a3,2件次品为b1,b2,则任取2件构成的基本事件空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共10个元素.‎ 记“恰有1件次品”为事件A,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},共6个元素.‎ 故其概率为P(A)==0.6.‎ ‎(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36种不同结果.‎ 设事件A=“出现向上的点数之和小于10”,其对立事件=“出现向上的点数之和大于或等于10”,包含的可能结果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种情况.由于P()==,因此P(A)=1-P()=.‎ 答案 (1)B (2) 考点二 应用古典概型计算较复杂事件的概率 ‎【例2】 (2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:‎ ‎①若xy≤3,则奖励玩具一个;‎ ‎②若xy≥8则奖励水杯一个;‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率;‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.‎ 解 (1)用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.‎ 因为S中元素的个数是4×4=16.‎ 所以基本事件总数n=16.‎ ‎(1)记“xy≤3”为事件A,‎ 则事件A包含的基本事件数共5个,‎ 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),‎ 所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.‎ 则事件B包含的基本事件数共6个.‎ 即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).‎ 所以P(B)==.‎ 事件C包含的基本事件数共5个,‎ 即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).‎ 所以P(C)=.因为>,‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ 规律方法 (1)求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.‎ ‎(2)本题常见的错误:①理解不清题意,不能把基本事件列举出来;②不能恰当分类,列举基本事件有遗漏,再者本题中基本事件(x,y)看成有序的,(1,2)与(2,1)等表示不同的基本事件.‎ ‎【训练2】 (2017·西安检测)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;‎ ‎(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.‎ 解 (1)依题意,所有可能的摸出的结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.‎ ‎(2)不正确.理由如下:‎ 由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为P1==,不中奖的概率为P2=1-P1=.‎ 由于P1=<P2=.故这种说法不正确.‎ 考点三 古典概型与统计的综合应用 ‎【例3】 (2017·郑州模拟)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;>300为严重污染.一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.‎ ‎(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算);‎ ‎(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中,随机地抽取两天深入分析各种污染指标,求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.‎ 解 ‎ (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量良的天数为3,故该样本中空气质量优良的频率为=,估计该月空气质量优良的频率为,从而估计该月空气质量优良的天数为30×=12.‎ ‎(2)该样本中轻度污染共4天,分别记为a1,a2,a3,a4;中度污染1天,记为b;重度污染1天,记为c.‎ 从中随机抽取两天的所有可能结果表示为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b),(a1,c),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b),(a2,c),(a3,a4),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共15个.‎ 其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1,b),(a1,c),(a2,b),(a2,c),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共9个.‎ 所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为=.‎ 规律方法 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.‎ ‎【训练3】 (2017·天津南开中学检测)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果;‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.‎ 解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.‎ ‎(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,‎ A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.‎ ‎②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.‎ 因此,事件A发生的概率P(A)==.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.古典概型计算三步曲 第一,本试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.‎ ‎2.确定基本事件的方法 ‎(1)当基本事件总数较少时,可列举计算;‎ ‎(2)列表法、树状图法.‎ ‎3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视他们是不是等可能的.‎ ‎2.概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=∅,即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)                   ‎ 一、选择题 ‎1.(2014·全国Ⅰ卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 设两本不同的数学书为a1,a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中数学书相邻的有4种.‎ 因此2本数学书相邻的概率P==.‎ 答案 C ‎2.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 设另外三名学生分别为丙、丁、戊.从5名学生中随机选出2人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共10种情形,其中甲被选中的有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种情形.故甲被选中的概率P==.‎ 答案 B ‎3.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 设正方形的四个顶点分别是A,B,C,D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事件分别为AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO ‎,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长,分别是AO,BO,CO,DO,共有4种.‎ 故所求事件的概率P=1-=.‎ 答案 C ‎4.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 点P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为=.‎ 答案 B ‎5.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 先后两次出现的点数中有5的情况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根的情况有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事件的概率P=.‎ 答案 C 二、填空题 ‎6.在集合中任取一个元素,所取元素恰好满足方程cos x=的概率是________.‎ 解析 基本事件总数为10,满足方程cos x=的基本事件数为3,故所求概率为P=.‎ 答案  ‎7.(2016·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是________.‎ 解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8), 共12种取法,其中logab为整数的有(2,8),(3,9)两种,故P==.‎ 答案  ‎8.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________.‎ 解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种.‎ 其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),共2种,‎ 所以P(A)==.‎ 答案  三、解答题 ‎9.(2015·山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎30‎ 未参加演讲社团 ‎(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.‎ 解 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,‎ 故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,‎ 所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.‎ ‎(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:‎ ‎{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},‎ ‎{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},‎ ‎{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},‎ 共15个.‎ 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的,‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.‎ 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.‎ ‎10.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.‎ ‎(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局),求甲获胜的概率;‎ ‎(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?‎ 解 用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.‎ ‎(1)设甲获胜的事件为A,则事件A中包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个,‎ 则P(A)==.‎ ‎(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共有10个;‎ 则P(B)==.∴P(C)=1-P(B)=.‎ ‎∵P(B)≠P(C),∴这样规定不公平.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.(2017·衡水中学质检)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 由题意知,向量m共有4×3=12个,‎ 由m⊥n,得m·n=0,即a=b,则满足m⊥n的m有(3,3),(5,5),共2个,故所求概率 P==.‎ 答案 A ‎12.某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析 先后掷两次骰子的结果共6×6=36种.‎ 以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的结果有(1,1),(2,3),(3,5),共3种,故所求概率为=.‎ 答案 A ‎13.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a,放回后,乙从此口袋中再摸出一个小球,其号码为b,则使不等式a-2b+4<0成立的事件发生的概率为________.‎ 解析 由题意知(a,b)的所有可能结果有4×4=16个.其中满足a-2b+4<0 有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)共4种结果.‎ 故所求事件的概率P==.‎ 答案  ‎14.海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.‎ 解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是=,‎ 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:‎ ‎50×=1,150×=3,100×=2.‎ 所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.‎ ‎(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为A;B1,B2,B3;C1,C2.‎ 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:‎ ‎{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.‎ 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有 ‎{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.‎ 所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)=.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎
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