2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第八章8-3空间点、直线、平面之间的位置关系

2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第八章8-3空间点、直线、平面之间的位置关系

‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.唯一性定理 ‎(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ ‎(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ ‎2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　)‎ ‎(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　)‎ ‎(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　×　)‎ ‎(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　√　)‎ ‎(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)‎ ‎1．下列命题正确的个数为(　　)‎ ‎①梯形可以确定一个平面；‎ ‎②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；‎ ‎④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．‎ ‎2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．‎ ‎3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案　C 解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．‎ ‎4. (教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．‎ 答案　45°　60°‎ 解析　∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，‎ ‎∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.‎ 题型一　平面基本性质的应用 例1　(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.‎ ‎(2)已知，空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：‎ ‎①E、F、G、H四点共面；‎ ‎②三直线FH、EG、AC共点．‎ 证明　①连接EF、GH，如图所示，‎ ‎∵E、F分别是AB、AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD.‎ 又∵CG＝BC，CH＝DC，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH，‎ ‎∴E、F、G、H四点共面．‎ ‎②易知FH与直线AC不平行，但共面，‎ ‎∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.‎ 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，‎ ‎∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．‎ 思维升华　共面、共线、共点问题的证明 ‎(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②‎ 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．‎ ‎(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．‎ ‎(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．‎ ‎　如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎ (1)E、C、D1、F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.‎ 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E、C、D1、F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF

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