天津市河北区高三第二次高考模拟考试 数学文

天津市河北区高三第二次高考模拟考试 数学文

河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（二）‎ ‎ 数 学（文史类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎· 如果事件A，B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）‎ ‎· 如果事件A，B相互独立，那么 P（AB）＝P（A）P（B）‎ ‎· 球的表面积公式 S＝‎ ‎ 球的体积公式 V＝‎ ‎ 其中R表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知，i是虚数单位，若，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎ （2）函数的单调递增区间是 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（3）已知圆截直线所得的弦的长度为4，则实数 的值为 ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 ‎ ‎（4）设是等差数列的前n项和，公差，若，，‎ ‎ 则正整数k的值为 ‎ （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 ‎ ‎（5）已知变量x，y满足的不等式组 表示的是一个直角三角形围成的 ‎ 平面区域，则实数k的值为 ‎（A） （B）0或 （C） （D）0或 ‎ ‎（6）下列说法中错误的是 （A） 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ ‎ （B）若则“”是“”的充要条件 ‎ （C）已知命题p和q，若为假命题，则与中必一真一假 ‎ ‎ ‎ （D）若命题p：，则： ‎ ‎（7）已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线 ‎ 交于点A，若的面积为(O为原点)，则抛物线的准线方程为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ （8） 如图，在边长为1的正三角形中，分别为边上的动点，且满足 ‎ ，，其中，分别是的 ‎ 中点，则的最小值为 ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D） ‎ 河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（二）‎ 数 学（文史类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎2． 用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。‎ ‎3． 本卷共12小题，共110分。‎ 题 号 二 三 总 分 ‎（15）‎ ‎（16）‎ ‎（17）‎ ‎（18）‎ ‎（19）‎ ‎（20）‎ 分 数 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.‎ ‎（9）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分(单位：分)‎ 若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则的值是______________．‎ ‎（10）某程序框图如图所示，则输出的S的值是______________．‎ ‎ （第9题图） （第10题图） （第11题图） ‎ ‎（11）如图，已知是圆的切线，是切点，直线交圆于两点，是 ‎ ‎ 的中点，连接并延长交圆于点，若，‎ ‎ 则 ．‎ ‎（12）已知集合，，则 ． ‎ ‎（13）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球 ‎ 的体积为 ． ‎ ‎（14）已知函数， 对，，‎ 使成立，则实数的取值范围是______________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ 得 分 评卷人 ‎（15）（本小题满分13分）‎ ‎ ‎ ‎ 用分层抽样的方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关 ‎ 数据见下表：(单位：人)‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（16）（本小题满分13分）‎ ‎ 在中，角的对边分别是，且．‎ ‎ （Ⅰ）求的值;‎ ‎ （Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎ ‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（17）（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，⊥底面，∥，，‎ ‎ ，． ‎ ‎ （Ⅰ）求证：⊥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求与平面所成角的正切值；‎ ‎ （Ⅲ）设点在线段上，若，求证：∥平面．‎ ‎ ‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（18）（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点 ‎ 为顶点的三角形的周长为．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）若直线过原点，直线与直线相交于点，，且⊥， ‎ ‎ 直线与椭圆交于两点，问是否存在这样的直线，使成立．‎ ‎ 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 请将答案写在答题纸上 ‎ ‎ 得 分 评卷人 ‎（19）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知为数列的前项和，(n∈N*)，且．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎ （Ⅲ）设数列满足，求证：．‎ 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 ‎（20）（本小题满分14分）‎ ‎ 设函数．‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．‎ ‎　‎ 请将答案写在答题纸上 河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（二）‎ 数 学 答 案（文）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B B B A ‎ D C ‎ A C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）8； （10） ； （11）；‎ ‎（12） （13）； （14）．‎ 三、 解答题：本大题共6小题，共80分．‎ ‎（15）（本小题满分13分） ‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意可得，∴. …… 4分 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为，从高三年级抽取的2人为，‎ ‎ 则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：‎ ‎ ，，，，，，，，‎ ‎ ，共10种， …… 8分 ‎ 设选中的2人都来自高二年级的事件为A，‎ ‎ 则A包含的基本事件有：，，共3种．…… 10分 ‎ ∴，即选中的2人都来自高二年级的概率为. …… 13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）在中，由正弦定理可得， …… 2分 ‎ 即，‎ ‎ ∴． …… 4分 ‎ 又，∴．‎ ‎ ∴． …… 5分 ‎ ∵，∴． ……6分 ‎（Ⅱ）在中，由余弦定理，‎ ‎ 将， 代入得 ， ‎ ‎ 又，∴ ． ……8分 ‎ ∴，． ……11分 ‎ ∴． ……13分 ‎ ‎ ‎ （17）（本小题满分13分）‎ ‎ 证明：（Ⅰ）∵∥，且，‎ ‎ ∴⊥． …… 1分 ‎ 又⊥底面，平面 ‎ ∴⊥． …… 2分 ‎ 又∩，‎ ‎ ∴⊥平面． ………4分 ‎ ‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面 ‎ ∴是与平面所成的角． ………6分 ‎ 由已知得 ，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴与平面所成角的正切值为． ………9分 ‎ （Ⅲ）在平面内过点作的平行线交于点，连接，‎ ‎ ∵， ∴ ．‎ ‎ ∴ ，又∥，‎ ‎ ∴是平行四边形． ………10分 ‎ ∴ ∥． ………11分 ‎ 又⊂平面，平面，‎ ‎ ∴∥平面． ………13分 ‎ ‎ ‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，得，， …… 2分 ‎ ∴． ‎ ‎ ∴椭圆的标准方程为． ……4分 ‎ （Ⅱ）假设存在直线，使成立．‎ ‎ 设，且，‎ ‎ 则直线的方程为，直线的方程为． ‎ ‎ （1）当时，此时直线的方程为，可得，‎ ‎ 或，代入，不符题意； …… 5分 ‎ （2）当时，将直线的方程与椭圆方程联立，‎ ‎ 又，得 ． …… 6分 ‎ ∴，． …… 7分 ‎ 又∵ ，‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又 ‎ ‎ ∴ ． ‎ ‎ ∴． …… 9分 ‎ 又∵ y1y2＝， …… 10分 ‎ ∴ ． ‎ ‎ ∴ ． …… 11分 ‎ ∴ ． ‎ ‎ ∴ 这与矛盾． …… 12分 ‎ 综上可知，不存在这样的直线，使成立． …… 13分 法2 ：假设存在直线，使成立．‎ ‎ （1）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，可得， ‎ ‎ 或，代入，‎ ‎ 不符题意； ……5分 ‎ （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ ‎ 联立 得． ……6分 设 ‎ ∴ ， （） ……7分 ‎ ， ‎ ‎ ，即． ……9分 ‎ 即． ‎ ‎ 将（）代入，化简可得． ……10分 ‎ ‎ 又，即， …… 11分 ‎ 不成立． ……12分 ‎ 综上可知，不存在这样的直线，使成立． …… 13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由和，可得． …… 2分 ‎ （Ⅱ）法1：当时，由，‎ ‎ 得， ‎ ‎ 即． ‎ ‎ ∴ …… 6分 ‎ ∴数列是首项，公差为6的等差数列． …… 8分 ‎ ‎ ∴． …… 9分 ‎ ∴． …… 10分 ‎ 法2：当时，由 ‎ ‎ 可得 ． ………… 8分 ‎ ∴数列是首项，公差为3的等差数列． ………… 9分 ‎ ，即． ………… 10分 ‎ （Ⅲ） ………… 12分 ‎ ，‎ ‎ ∴‎ ‎ ．‎ ‎ ∴ 命题得证． ………… 14分 ‎（20）（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）定义域为. …… 1分 ‎ 由已知得， ‎ ‎ . …… 4分 ‎ 当时，，函数在上单调递增， ‎ ‎ 函数的单调递增区间为； …… 5分 ‎ 当时，由，得；由，得， ‎ ‎ 函数的单调递减区间为，单调递增区间为． …… 7分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得，若函数有两个零点，‎ ‎ 则，且的最小值， ……9分 ‎ 即 ……10分 ‎ ‎ ‎ ‎ 令，显然在上为增函数，‎ ‎ 且 ‎ ∴存在，且 ． ……12分 ‎ ‎ ；‎ ‎ 满足条件的最小正整数 ‎ 又当时，‎ ‎ 综上所述，满足条件的最小正整数 ……14分