2020版高考数学二轮复习 专题七 圆锥曲线 专题突破练22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 文
专题突破练22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.经过原点的直线与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以|MN|为直径的圆内部,求k的取值范围.
2.(2018湖南衡阳一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过F1,F2作两条平行线l1,l2与C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.
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3.已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:
0).
(1)证明:k<-;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.
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5.椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
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6.
(2018山东潍坊一模,文20)抛物线E:x2=2py(0,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求△PMN面积的最小值,并求出此时P点坐标.
参考答案
专题突破练22 圆锥曲线中
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的最值、范围、证明问题
1.解 (1)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),P(x0,y0),∵点A,B,P三点均在椭圆上,
∴=1,=1,
∴作差得
=-,
∴kPA·kPB==-=-=-1+e2=-,∴e=.
(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),
∵e=,∴a2=4b2,c2=3b2,
联立
得(1+4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0,Δ>0,
∴
当点F1在以|MN|为直径的圆内部时,=(x3+c)(x4+c)+y3·y4<0,
∴(1+k2)x3x4+(c-ck2)(x3+x4)+c2+c2k2<0,
得(1+k2)+(1-k2)·+c2(1+k2)<0,解得-0.
y1+y2=,y1·y2=-,
|AD|=
=
=
=.
又F2到l1的距离为d=,
所以=12×.
令t=≥1,则,
所以当t=1时,最大值为3.
又(|AF1|+|BF2|)·d=(|AF1|+|DF1|)·d=|AD|·d=,
所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.
3.(1)解 设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
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又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=.
(2)证明 将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),
故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|得,
即4k3-6k2+3k-8=0.
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.
f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,
所以f(t)在(0,+∞)单调递增.
又f()=15-26<0,f(2)=6>0,
因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以0.
当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=.
(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).
将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.
由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=
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.
由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).
当k=时上式不成立,因此t=.
t>3等价于<0,即<0.
由此得解得,∴>1.
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设两切线斜率为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=.
∴S△PMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)||x0|=|k1-k2|,
∵|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2
=
=,
∴|k1-k2|=,
则S△PMN=,令2y0-1=t(t>0),则y0=,
∴S△PMN=+1≥2+1=2.
当且仅当,即t=1时取等号,2y0-1=1,y0=1,
此时点P坐标为(,1)或(-,1).
△PMN面积的最小值为2.
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