2020年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷（含答案）
2020 年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷（含答案）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 1 2 3 5 7 1 1A ，，，，， ， 315|Bxx ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若 )( 1 i 1 iz ，则 z=
A．1–i B．1+i C．–i D．i
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23(53)()=
1e tI Kt ，其中 K 为最大确诊病例数．当
I( *t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．已知 πsinsin= 3（ ）1，则 πsin= 6 （ ）
A． 1
2 B． 3
3
C． 2
3 D． 2
2
6．在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 =1ACBC ，则点 C 的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
7．设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C： 2 20ypxp交于 D，E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐
标为
A．（ 1
4 ，0） B．（ 1
2 ，0） C．（1，0） D．（2，0）
8．点 (0 )1， 到直线 1ykx距离的最大值为
A．1 B． 2 C． 3 D．2
9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A．6+4 2 B．4+4 C．6+2 3 D．4+2
10．设 a=log32，b=log53，c= 2
3 ，则
A．a
0,b>0)的一条渐近线为 y= 2 x，则 C 的离心率为_________．
15．设函数 e()
x
fx xa
．若 e(1) 4f ，则 a=_________．
16．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
设等比数列{an}满足 124aa， 13 8aa．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 nS 为数列{log3an}的前 n 项和．若 13mmmS S S ，求 m．
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200] (200,400] (400,600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认
为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
2
2 ()
()()()()
n adbcK abcdacbd
，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（ 12 分）
如图，在长方体 1 1 11ABCDA B C D 中，点 E ，F 分别在棱 1DD ， 1BB 上，且 12DEED ， 12BFFB ．证
明：
（1）当 AB BC 时， EF AC ；
（2）点 1C 在平面 AEF 内．
20．（ 12 分）
已知函数 32()fxxkxk ．
（1）讨论 ()fx的单调性；
（2）若 ()fx有三个零点，求 k 的取值范围．
21．（ 12 分）
已知椭圆
22
2:1(05)25
xyCm
m
的离心率为 15
4
， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 6x 上，且||||BPBQ ， BPBQ ，求 APQ△ 的面积．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
2
2
2
2 3
xtt
ytt
，
(t 为参数且 t≠1)，C 与坐标轴交于 A，B 两
点.
（1）求 ||AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程.
23．[选修 4-5：不等式选讲] (10 分)
设 a，b，c∈R， a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ．
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
选择题答案
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．C
5．B 6．A 7．B 8．B
9．C 10．A 11．C 12．D
非选择题答案
二、填空题
13．7 14． 3 15．1 16． 2
3
三、解答题
17．解：（1）设 {}na 的公比为 q ，则 1
1
n
na a q .由已知得
11
2
11
4
8
aaq
aqa
，
解得 1 1,3aq.
所以 的通项公式为 1=3n
na .
（2）由（1）知 3log1.nan 故 (1) .2n
nnS
由 13mmmSSS 得 (1)(1)(3)(2)m mmmmm ，即 2 5 6 0mm .
解得 1m （舍去）， 6m .
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1 (100 20 300 35 500 45) 350100 ．
（3）根据所给数据，可得 22 列联表：
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得
2
2 100(3382237) 5.82055457030K
．
由于 5.820 3.841 ，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：（1）如图，连结 BD ， 11BD ．因为 AB BC ，所以四边形 A B CD 为正方形，故 AC BD ．
又因为 1BB 平面 A B CD ，于是 1A C B B ．所以 AC 平面 11B B D D ．
由于 EF 平面 ，所以 EF AC ．
（2）如图，在棱 1AA 上取点 G ，使得 12AGGA ，连结 1GD ， 1FC ， FG ，
因为 11
2
3DEDD ， 1
2
3AGAA ， 11DD AA∥ ，所以 1EDAG∥ ，于是四边形 1E DG A 为平行四边形，
故 1AEGD∥ ．
因为 11
1
3BFBB ， 11
1
3AGAA ， 11BB AA∥ ，所以 11FG A B∥ ， 11FG C D∥ ，四边形 11F G D C 为平行
四边形，故 11GDFC∥ ．
于是 1AEFC∥ ．所以 1, , ,A E F C 四点共面，即点 1C 在平面 AEF 内．
20．解：（1） 2( ) 3f x x k ．
当k=0时， 3()f x x ，故 ()fx在 () ， 单调递增；
当k<0时， 2( ) 3 0f x x k ，故 在 单调递增．
当k>0时，令 ()0fx，得 3
3
kx ．当 3(,) 3
kx 时， ()0fx；当 33(,) 33
kkx 时， ()0fx；
当 3( , )3
kx 时， ．故 ()fx在 3( , )3
k ， 3( , )3
k 单调递增，在 33( , )33
kk 单调递
减．
（2）由（1）知，当 0k 时， ()fx在 () ， 单调递增， 不可能有三个零点．
当k>0时， 3= 3
kx 为 的极大值点， 3= 3
kx 为 的极小值点．
此时， 331133
kkkk 且 ( 1) 0fk ， ( 1) 0fk， 3( ) 0 3
kf ．
根据 的单调性，当且仅当 3( ) 03
kf ，即 2 23 09
kkk 时， 有三个零点，解得
4
27k ．因此k的取值范围为 ( 0 ) 4
27
， ．
21．解：（1）由题设可得
22 5 1 5
54
m ，得 2 25
16m ，
所以C 的方程为
22
12525
16
xy.
（2）设 (,),(6,)PPQPxyQy ，根据对称性可设 0Qy ，由题意知 0Py ，
由已知可得 ( 5 ,0 )B ，直线 BP 的方程为
1 (5)
Q
yxy ，所以 2||1 PQBPyy， 2||1 QBQy，
因为||||BPBQ ，所以 1Py ，将 代入 的方程，解得 3Px 或 3 .
由直线 BP 的方程得 2Qy 或 8.
所以点 ,PQ的坐标分别为 1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ .
11||10PQ ，直线 11PQ 的方程为 1
3yx ，点 ( 5 ,0 )A 到直线 的距离为 10
2
，故 11APQ△ 的面
积为 1105 10222 .
22||130PQ ，直线 22PQ 的方程为 7 10
93yx，点 A 到直线 22PQ 的距离为 130
26
，故 22APQ△ 的
面积为 1 130 51302 26 2 .
综上， APQ△ 的面积为 5
2 .
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]
解：（1）因为 t≠1，由 220tt 得 2t ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）；
由 22 3 0 tt 得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为 ( 4 ,0) ．
故 | | 4 1 0AB ．
（2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为 14 12
xy ，将 cossinxy， 代入，
得直线 AB 的极坐标方程3 cos sin 12 0 ．
23．[选修 4—5：不等式选讲]
解：（1）由题设可知，a，b，c 均不为零，所以
22221[()()]2abbccaabcabc
2221 ()2 abc
0 .
（2）不妨设 max{a，b，c}=a，因为 1, ( )abc a b c ，所以 a>0，b<0，c<0.由
2()
4
bcbc ，可得
3
4
aabc ，
故 3 4a ，所以 3m a x { , , } 4abc .
