高考数学模拟试题8苏教版

高考数学模拟试题8苏教版

‎2015年高考模拟试卷(8)‎ 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．‎ ‎1.若复数z满足（1+i）z=2 (i为虚数单位)，则z= ．‎ ‎2.已知集合A＝{0，1，2}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数为 ．‎ ‎3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示 的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过‎50km/h输入 输出 ‎(第4题图)‎ 的汽车辆数为 ．‎ ‎4.右图是一个算法流程图，若输入的的值为1，则输出的 值为 ．‎ ‎5.设函数，则的概率为 ．‎ ‎6.在为边，为对角线的矩形中，，，则实数 ．‎ ‎7.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，双曲线与抛物线的准线交于 两点，，则双曲线C的实轴长为 ．‎ ‎8.已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的 取值集合为 ．‎ ‎9.已知数列为等比数列，前项和为，若，，且、、‎ 成等差数列，则数列的通项公式 ．‎ ‎10.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . ‎ ‎11.已知棱长为1的正方体，是棱的中点，是线段上的 动点，则△与△的面积和的最小值是 ．‎ ‎12.函数是定义域为R的奇函数，且x≤0时，，则函数的 零点个数是 ．‎ ‎13.设正实数，满足，则的最大值是 ．‎ ‎14.在直角坐标中，圆：，圆：，点，动点P、Q 分别在圆和圆上，满足，则线段的取值范围是 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.‎ ‎15．（本小题满分14分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＝ccos B＋bcos C．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）设向量(cos A，cos ‎2A)，(12，－5)，求当取最大值时，tan C的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，90°，‎ ‎(第16题图)‎ ‎，，分别为和的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为‎1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.‎ ‎(1)求助跑道所在的抛物线方程；‎ ‎(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在‎4 m到‎6 m之间(包括‎4 m和‎6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．‎ ‎(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)‎ ‎18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线相交于两点（从左至右），过点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，点的坐标为，求椭圆的方程；‎ ‎(第18题图)‎ ‎（2）若以为直径的圆恰好经过点，求椭圆的离心率．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分16分）数列的首项为（），前项和为，且（）．‎ 设，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，‎ 成等差数列．‎ ‎20．（本小题满分16分）已知函数，．‎ ‎（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若曲线在处的切线平行于直线，求证：‎ 对，； ‎ ‎（3）设函数，试讨论函数的零点个数．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段 的垂直平分线．已知，求线段的长度．‎ B．（选修４－２：矩阵与变换）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M对应的变换，再作N对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为其中为参数．以为 极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求 椭圆上的点到直线l距离的最大值和最小值.‎ D．（选修４－５：不等式选讲）定义，设，其中a，b 均为正实数，证明：h．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.‎ ‎22．（本小题满分10分）已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．‎ ‎（1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；‎ ‎ （2）求－＋－＋…＋－的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）设数列{an}，{bn}满足a1=b1，且对任意正整数n，{an}中小于等于n的项数恰为bn；{bn}中小于等于n的项数恰为an．‎ ‎ （1）求a1；‎ ‎ （2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎2015年高考模拟试卷(8)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1．; 2．8 ; 3．77 ; 4．153; 5．; 6．4 ; 7.4 ; 8．{，，1}. 【解析】 即，其中kZ，则k＝或k＝ 或k＝1． ‎ ‎9.; 10．; 11.; 12．3 . 【解析】，所以．所以，可以数形结合，先研究时，的交点只有1个，可以通过比较在处的斜率与的大小可得．故共有3个零点．（或直接导数研究每一段的图象）‎ ‎13．. 【解析】由，得，所以，‎ 解得．‎ ‎14．. 【解析】设，则．‎ 又的中点，即，‎ 则有，‎ 由条件，，得，‎ 所以，即，由于，‎ ‎，所以．‎ 二、解答题 ‎15．（1）由题意，sin Acos B＝sin Ccos B＋cos Csin B， ‎ 所以sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A． ‎ 因为0＜A＜π，所以sin A≠0．所以cos B＝．因为0＜B＜π，所以B＝． ‎ ‎（2）因为m·n＝12cos A－5cos ‎2A，‎ 所以m·n＝－10cos‎2A＋12cosA＋5＝－102＋． ‎ ‎(第16题图)‎ 所以当cos A＝时，m·n取最大值．此时sin A＝(0＜A＜)，于是tan A＝． ‎ 所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝7． ‎ ‎15．（1）连接交于，连接，．‎ 因为，，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以是的中点． ‎ 又是的中点，所以．‎ 因为平面，平面，所以平面． ‎ ‎（2）因为，，所以． ‎ 因为，，‎ 所以四边形是平行四边形，所以，‎ 因为90°，即，所以． ‎ 因为，平面平面，‎ 所以平面．‎ 因为平面 所以平面平面． ‎ ‎17．(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a0x2＋b0x＋c0，‎ 依题意,‎ 解得 a0＝1，b0＝－4，c0＝4，‎ 所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x2－4x＋4，x∈[0,3]．‎ ‎(2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)，‎ 依题意，‎ 即，解得 所以g(x)＝ax2＋(2－‎6a)x＋‎9a－5‎ ‎＝a2＋1－.‎ 令g(x)＝1，得2＝.‎ 因为a<0，所以x＝－＝3－.‎ 当x＝时，g(x)有最大值，为 1－，‎ 则运动员的飞行距离 d＝3－－3＝－，‎ 飞行过程中距离平台最大高度 h＝1－－1＝－，‎ 依题意，4≤－≤6，即2≤－≤3，‎ 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在‎2 m到‎3 m之间．‎ ‎18．（1）由题意，，解得，所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）方法一：设，则，．‎ 因为三点共线，所以，‎ 由，‎ 得，即． ‎ 又均在椭圆上，‎ 有， ‎ ‎①—②，得，‎ 所以直线的斜率， ‎ 由于以为直径的圆恰好经过点，‎ 所以，即，所以，‎ 所以椭圆的离心率． ‎ 方法二：设，则，‎ 所以直线的方程为． ‎ 由，消，得，‎ 即， ‎ 所以，‎ 从而，即，‎ 所以直线的斜率， ‎ 由于以为直径的圆恰好经过点，‎ 所以，即，所以，‎ 所以椭圆的离心率． ‎ ‎19．（1）因为 ①‎ 当时， ②，‎ ‎①—②得，（）， ‎ 又由，得， ‎ 所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）． ‎ ‎（2）当时，，，， ‎ 由，得， （*） ‎ 当时，时，（*）不成立；‎ 当时，（*）等价于 （**）‎ 时，（**）成立．‎ 时，有，即恒成立，所以．‎ 时，有，．时，有，． ‎ 综上，的取值范围是． ‎ ‎（3）当时，，，‎ ‎， ‎ 所以，当时，数列是等比数列，所以 ‎ 又因为，，成等差数列，所以，即，‎ 解得． 从而，，． ‎ 所以，当，，时，数列为等比数列． ‎ ‎20．（1）由题意，在上恒成立， ‎ 即在上恒成立．‎ 设，所以，‎ 所以，即． ‎ ‎（2）由，得．‎ 由题意，，即，所以． ‎ 所以．‎ 不等式即为．‎ 由，知函数在处取最小值为，‎ 设，因为，所以，‎ 当且仅当时取“=”，即当时，的最大值为，‎ 因为，所以，即原不等式成立． ‎ ‎（注：不等式即为，‎ 设，证明对成立，证明略）‎ ‎（3），‎ ‎． ‎ ‎①当时，由于，所以，所以在上递减，‎ 由，，所以函数在上的零点个数1；‎ ‎②当时，，‎ 当，即时，当时，，所以在上递增，‎ 因为，，‎ 所以当时，函数在上的零点个数0；‎ 当时，函数在上的零点个数1．‎ 当，即时，，所以在上递减，‎ 因为，，‎ 所以当，即时，函数在上的零点个数0；‎ 当，即时，函数在上的零点个数1． ‎ 当，即时，‎ 满足时，；时，，‎ 即函数在上递减，在上递增，‎ 因为，，‎ 而，‎ 设，则，且，‎ 由，知时，，时，，‎ 即在上为增函数，在上为减函数，‎ 因为，，‎ 所以当时，，即，‎ 所以当时，函数在上的零点个数0． ‎ 综上所述，当时，函数在上的零点个数0；‎ 当或时，函数在上的零点个数1． ‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21.A．连接BC，相交于点．‎ 因为AB是线段CD的垂直平分线，‎ 所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．　‎ 设，则，由射影定理得 CE＝AE·EB，又，‎ 即有，解得（舍）或． ‎ 所以，AC＝AE·AB＝5×6＝30，． ‎ B．依题意，NM，‎ 由逆矩阵公式得， (NM)， ‎ ‎ 所以，即有，． ‎ C．由，得，‎ 即的直角坐标方程为． ‎ 因为椭圆的参数方程为 所以椭圆上的点到直线距离 ‎,‎ 所以的最大值为，最小值为． ‎ D．因为a，b 均为正实数，所以． ‎ 因为，所以，即． ‎ ‎22．（1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．‎ 于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1． ‎ ‎（2）ak＝C，k＝1，2，3，…，2n，‎ 首先考虑＋＝＋＝ ‎＝＝，‎ 则＝(＋)，‎ 因此－＝(－)． ‎ 故－＋－＋…＋－ ‎＝(－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(－)＝(－1)＝－． ‎ ‎23．（1）首先，容易得到一个简单事实：{an}与{bn}均为不减数列且an∈N，bn∈N．‎ 若a1=b1=0，故{an}中小于等于1的项至少有一项，从而b1≥1，这与b1=0矛盾．‎ 若a1=b1≥2，则{an}中没有小于或等于1的项，从而b1=0，这与b1≥2矛盾．‎ 所以，a1=1． ‎ ‎（2）假设当n=k时，ak=bk=k，k∈N*．‎ 若ak+1≥k+2，因{an}为不减数列，故{an}中小于等于k+1的项只有k项，‎ 于是bk+1=k，此时{bn}中小于等于k的项至少有k+1项(b1，b2，…，bk，bk+1)，‎ 从而ak≥k+1，这与假设ak=k矛盾．‎ 若ak+1=k，则{an}中小于等于k的项至少有k+1项(a1，a2，…，ak，ak+1)，‎ 于是bk≥k+1，这与假设bk=k矛盾．‎ 所以，ak+1=k+1．‎ 所以，当n=k+1时，猜想也成立．‎ 综上，由(1)，(2)可知，an=bn=n对一切正整数n恒成立．‎ 所以，an=n，即为所求的通项公式．‎