极坐标高考题的几种常见题型

极坐标高考题的几种常见题型

‎ 极坐标高考题的几种常见题型 ‎.‎ 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.‎ 互化公式： 或 ‎ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.‎ 例1(2012海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．‎ ‎(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ 解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． ‎ ‎(I)，，由得．所以．‎ 即为⊙O1的直角坐标方程．‎ 同理为⊙O2的直角坐标方程．‎ ‎(II)解法一:由解得，‎ 即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．‎ 解法二: 由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．‎ 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法.‎ 例2(2011年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此 椭圆的直角坐标方程是_______________.‎ ‎ 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,‎ ‎ 故所求椭圆的直角坐标方程为=1‎ 评述：点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的 互化要熟练掌握.‎ 类题:1(2010年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是,则它的直角坐标方程是___________. (答案:3x2-y2=1)‎ ‎2(2011年全国)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为 ‎ (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 ‎ ‎ (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 (答案:B)‎ ‎3(2009北京)已知某曲线的参数方程是(为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ‎(A) (B) (C) (D) (答案:D)‎ 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 ‎ 常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:‎ ‎ 1、直线的极坐标方程(a>0)‎ ‎ (1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:=α;‎ ‎ (2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a;‎ ‎ (3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a;‎ ‎ (4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:‎ ‎ sin(α-θ)=a.‎ ‎2、圆的极坐标方程(a>0)‎ ‎ (1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a;‎ ‎ (2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos;‎ ‎ (3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =;‎ ‎ (4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin;‎ ‎ (5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =;‎ ‎ (6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos(-0).‎ ‎3、极坐标系中的旋转不变性:‎ ‎ 曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(时,按顺 ‎ 时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.‎ 例3(2011年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是 ‎ (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解:由已知极坐标方程及三角公式得:2(1-cos)=5,‎ ‎ ∴2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得 ‎ y2=5(x+),方程表示的曲线是抛物线,故选D.‎ 评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.‎ 类题:‎ ‎ 1(2009年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是 ‎ (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) ‎ ‎2(2011北京)极坐标方程表示的曲线是 ‎ (A) 圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)‎ ‎ 3．极坐标方程表示的曲线为（ ） （答案C)‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 三、求曲线的交点坐标 ‎ 例7(2011年广东)已知曲线的极坐标方程分别为，‎ ‎，则曲线与交点的极坐标为 ．‎ 解：我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。‎ 例8（2011东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆和直线。‎ （1） 求圆和直线的直角坐标方程；‎ （2） 当时，求直线于圆公共点的极坐标。‎ 解：（1）圆，即 圆的直角坐标方程为：，即 直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。‎ （2） 由得 ‎ 故直线与圆公共点的一个极坐标为。‎ ‎ 类型：1.曲线与的交点坐标是 。 （答案和）‎ 四、 根据条件求直线和圆的极坐标方程 例9(2011辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。‎ ‎（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； ‎ ‎（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由 ‎ ‎ 从而C的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）‎ N点的直角坐标为 所以P点的直角坐标为 所以直线OP的极坐标方程为 例10（2011江苏南通）在极坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径，求圆的极坐标方程。‎ 解：将圆化为直角坐标为，半径，‎ 故圆的方程为。‎ 再将化成极坐标方程，得 化简，得此即为所求的圆的方程。‎ ‎ 类题:‎ ‎ 1(2011年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______. (答案: sin=2)‎ ‎2(2010年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为 ‎ (A)=1 (B)=cos (C)= (D)= ‎ ‎(答案:C)‎ ‎ 3(2010年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 ‎ (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1)‎ ‎ (答案:C)‎ 六、求距离 例12(2009广东文)在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线的距离为___________.‎ 解: 将直线的极坐标方程ρsinθ=3化为直角坐标系方程得:y=3,‎ 点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,) 到直线的距离为2.‎ 评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化.‎ 例13(2006年全国、2007年上海)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是 ‎ ‎ (A) 2 (B) (C) 1 (D) ‎ 解法一:两圆的圆心坐标分别为(,0)与(,),由此求得圆心距为,选D.‎ 解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x-)2+y2=与x2+(y-)2=,‎ ‎ 由此求得圆心距为,选D.‎ 评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解,一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案.‎ 例14(2008年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_______.‎ 解法一:化直线方程为=,根据极坐标的概念极点到该直线 的距离等于这个函数ρ的最小值,当sin(+)=1时, 取最小值即为所求.‎ 解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1,‎ ‎ 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.‎ 类题:1(2007年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|=______. (答案:2)‎ ‎2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=__________________. (答案:)‎ 八、求三角形面积 例16(2010上海)在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________.‎ 答案：‎