高考福建卷文科数学试题及答案

高考福建卷文科数学试题及答案

‎2010年高考福建文科数学试题及答案 第I卷（选择题 共60分）‎ 1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于 A {x | 2＜x≤3} B {x | x≥1} C {x | 2≤x＜3} D {x | x＞2}‎ 2. 计算1－2sin222.5°的结果等于 A. B. C D ‎ 3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于 A. B.2 C.2 D.6‎ 4. i是虚数单位，（（1+i）/(1-i)）4等于 A.i B.-i C.1 D.-1‎ 5. 若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于 A.2 B‎.3 C.5 D.9‎ 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ 7. 函数f（x）=的零点个数为 A.2 B‎.2 C.1 D.0‎ ‎8.若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=‎4”‎是“| a |=‎5”‎的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 ‎ C充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 ‎ C 91和91.5 D.92和92‎ ‎10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移π/2个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于 A.4 B‎.6 C.8 D.12‎ ‎11.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A.2 B‎.3 C.6 D.8‎ ‎12.设非空集合S=={x | m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：‎ ‎①若m=1，则S={1}；②若m=－1 ，则1/4 ≤ l ≤ 1；③ l=1/2，则≤m≤0‎ 其中正确命题的个数是 A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.若双曲线x2 / 4－y2 / b2=1 (b＞0) 的渐近线方程为y=±1/2 x ，则b等于 .‎ ‎14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则n等于 .‎ ‎15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.‎ ‎16.观察下列等式：‎ ‎① cos2α=2 cos2 α－1；‎ ‎② cos 4α=8 cos4 α－8 cos2 α+1；‎ ‎③ cos 6α=32 cos6 α－48 cos4 α＋18 cos2 α－1；‎ ‎④ cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4 α－32 cos2 α＋1；‎ ‎⑤ cos 10α=mcos10α－1280 cos8α＋1120cos6 α＋ncos4 α＋p cos2 α－1；‎ 可以推测，m－n+p= .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 数列{a n}中，a 1 =1/3，前n项和S n 满足S n+1 －S n =(n∈)N *.‎ ‎（I）求数列{a n}的通项公式a n 以及前n项和S n ‎（II）若S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数t的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.‎ ‎（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；‎ ‎（II）记“使得成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知抛物线C的方程C：y 2 =2 p x（p＞0）过点A（1，-2）.‎ ‎（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1 中，E，H分别是棱A1B1，D‎1C1上的点（点E与B1 不重合），且EH∥A1 D1. 过EH的平面与棱BB1 ，CC1 相交，交点分别为F，G。‎ （I） 证明：AD∥平面EFGH；‎ （II） 设AB=2AA1 =‎2 a .在长方体ABCD－A1B‎1C1D1 内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距‎20海里的A处，并正以‎30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.‎ （I） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ （II） 为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；‎ （III） 是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设是上的增函数.‎ ‎ （ⅰ）求实数m的最大值；‎ ‎ （ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.‎ 参考答案 选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.‎ ‎1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C ‎7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D ‎1．若集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】==,故选A.‎ ‎【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题.‎ ‎2．计算的结果等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】原式=,故选B.‎ ‎【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值.‎ ‎3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )‎ A. B‎.2 C. D.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ‎，侧面积为，选D.‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。‎ ‎4．是虚数单位,等于 ( )‎ A.i B .-i C.1 D.-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】=,故选C.‎ ‎【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力.‎ ‎5.若x，y∈R，且，则z=x+2y的最小值等于 A.2 B‎.3 C.5 D.9‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出不等式表示的区域，如图阴影所示，当直线z=z+2y过点(1,1)时，z=x+2y取得最小值3，故选B.‎ ‎6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由框架图可知，该框架的功能是输出使和 时的i的值加1，‎ 因为，故输出的是i+1=3+1=4，故选C.‎ ‎7．函数的零点个数为 ( )‎ A.3 B‎.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，令解得；‎ 当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选B。‎ ‎【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。‎ ‎8.若向量=（x，3）（x∈R），则“x=‎4”‎是“| |=‎5”‎的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 ‎ C充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由x=4得，；反之由可得x=±4，∴充分不必要。‎ ‎9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5和91.5 B.91.5和92 ‎ C 91和91.5 D.92和92‎ ‎【答案】A ‎【解析】由茎叶图可知：这组数据为87,89,90,91,92,93,94,96，所以其中位数为，平均数为(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5. 故选A.‎ ‎10.将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于 A.4 B‎.6 C.8 D.12‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图像向左平移个单位，若所得图像与原图像重合，则是已知函数的周期的整倍数，即,解得，故选B.‎ ‎【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。‎ ‎11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 ‎ A.2 B‎.3 C.6 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，‎ 因为，，所以 ‎==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ‎，因为，所以当时，取得最大值，选C。‎ 另法：由题意，F（-1，0），取点P，则，，所以，因此答案可能是C或D，又因为，故选C.‎ ‎【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。‎ ‎12．设非空集合满足：当时，有。给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。其中正确命题的个数是 ‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】D 填空题：本大题考查基础知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.‎ ‎ 13.1 14.60 15.②③ 16.962‎ ‎13. 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意知，解得b=1。‎ ‎【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。‎ ‎14. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为，‎ 则，解得，所以前三组数据的频率分别是，‎ 故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。‎ ‎【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。‎ ‎15. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：‎ 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ 16. 观察下列等式：‎ ‎ ① cos‎2a=2-1;‎ ‎② cos‎4a=8- 8+ 1;‎ ‎③ cos‎6a=32- 48+ 18- 1;‎ ‎④ cos‎8a=128- 256+ 160- 32+ 1;‎ ‎⑤ cos‎10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.‎ 可以推测，m – n + p = .‎ ‎【答案】962‎ ‎【解析】因为所以；观察可得，‎ ‎，所以m – n + p =962。‎ ‎【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。‎ ‎-------------------------------------------------------------------------‎ ‎2010年福建文史类高考数学解析 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D C B C B A A B C D ‎１　２　　３‎ ‎1. A 解析：本题考查了集合的交集运算．‎ ‎ 由图可知．故选A．‎ ‎2. B 解析：本题考查了三角函数的基础知识二倍角公式．‎ ‎ ∵．故选B．‎ ‎3.D解析：本题考查了立体几何中的空间想象能力，求解时应由主视图能够想象得到正三棱柱底面边长，从而计算出几何体的侧面积．‎ ‎∵由主视图可以看出，正三棱柱底面边长为２,高为１∴．‎ ‎4.C解析：本题考查了复数的除法运算及的运算性质．‎ ‎∵，∴，故选C．‎ ‎5.B解析：本题考查了线性规划知识．‎ 作出不等式组表示的可行域，解得，故当过点时，．故选B．‎ ‎6.C解析：本题考查了循环结构的程序框图．‎ ‎0‎ 当求．输出．‎ ‎7.B解析：本题考查了数形结合法．‎ 画出函数图象，可看出零点个数为２．‎ ‎－２‎ ‎－３‎ ‎8.A解析：本题考查了充分、必要条件的概念及向量模的运算．‎ ‎∵而时，得 ‎∴是充分非必要条件．故选A．‎ ‎9.A解析：本题考查了中位数，平均数公式．‎ ‎∵把数据从小到大排列依次为87,89,90,91,92,93,94,96．故中位数为，平均数为．‎ ‎10.B解析：本题考查了三角图象变换及周期性．‎ ‎，平移后得到与重合，故，解得．故选B．‎ ‎11.C解析：本题考查了椭圆的基本性质及二次函数的区间最值．‎ ‎∵，则,设，则 且,,，由椭圆的范围知，故当时有最大值为6．∴故选C．‎ ‎12.D解析：本题考查了运用新知识解决问题的能力和解不等式运算以及综合分析问题的能力．‎ 由题意知，对①，若，则．当，则解得，故①正确；对②，若，则．当时，分类讨论时，；时，，要使,则解得．故②正确；对③，若，则．当时，分类讨论时，，要使,则解得（舍去）．时，．；时，，则故③正确．综上所述选D．‎ ‎13.1 解析：本题考查了双曲线的渐近线的求法．‎ ‎∵，∴．‎ ‎14.60．解析：本题考查了用样本估计总体的思想．‎ ‎∵，∴．‎ ‎15. ②③． 解析：本题考查了运用新知识解决问题的能力．‎ 直接动笔连线段即可得到①④中有不符合的线段存在，故选②③．‎ ‎16.962． 解析：本题考查了利用所学知识进行归纳推理能力和计算能力．‎ 观察发现，各式右边每项系数和均为１．则，得．又观察，每式展开的最高次幂系数规律得，．每式展开的２次幂系数依次正负相间规律得，应为正值，现只考察２,８,１８,３２,这几个数的规律，发现每项与前项的差成等差数列６,１０,１４,．．．则．将，代入得，从而得．‎ 三、 解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.‎ 解：(Ⅰ)由S n+1 －S n =得 (n∈N *)；‎ 又，故(n∈N *)‎ 从而(n∈N *).‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，，‎ 从而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：‎ ‎，解得t=2.‎ ‎18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.满分12分.‎ 解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：‎ ‎（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个.‎ ‎ (Ⅱ)由得，即.‎ 由于｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.‎ ‎19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.‎ 解：（Ⅰ）将（1,-2）代入，所以.‎ ‎ 故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，‎ 由，得y2 ＋2 y －2 t=0.‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t ≥－1/2 .‎ 另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得，解得t=±1.‎ 因为－1∉[－,＋∞），1∈[－，＋∞），‎ 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分 解法一：‎ （I） 证明：在长方体ABCD－A1B‎1C1D1 中，AD∥A1 D1 ‎ 又∵EH∥A1 D1 ，∴AD∥EH.‎ ‎∵AD￠平面EFGH EH 平面EFGH ‎∴AD//平面EFGH.‎ （II） 设BC=b，则长方体ABCD－A1B‎1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =‎2a2b，‎ 几何体EB‎1F-HC‎1G的体积V1 =（1/2EB1 ·B‎1F）·B‎1C1 =b/2·EB1 ·B‎1 F ‎∵EB12 + B‎1 F2=a2‎ ‎ ∴EB12 + B‎1 F2 ≤ （EB12 + B‎1 F2 ）/2 = a2 / 2,当且仅当EB1 =B‎1 F=/‎2 a时等号成立 从而V1 ≤ a2b /4 .‎ 故 p=1-V1/V ≥‎ 解法二：‎ （I） 同解法一 （II） 设BC=b，则长方体ABCD－A1B‎1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =‎2a2b ，‎ 几何体EB‎1F-HC‎1G的体积 V1=（1/2 EB1 ·B‎1 F）·B‎1C1 =b/2 EB1 ·B‎1 F 设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB1 = a cosθ，B‎1 F =a sinθ 故EB1 ·B‎1 F = a2 sinθcosθ=，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.‎ 从而 ‎∴p=1- V1/V≥，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.‎ 所以，p的最小值等于。‎ ‎21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.‎ 解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则 S=‎ ‎ ‎ 故t=1/3时，S min =，v=‎ 即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 ‎（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇 由题意可知，（vt）2 =202 +（30 t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），‎ 化简得：v2=+900 =400+675‎ 由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2,‎ 所以当=2时，‎ 取得最小值，‎ 即小艇航行速度的最小值为海里/小时。‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设，‎ 于是。（*）‎ ‎ 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：‎ 解得。‎ 所以的取值范围是。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。‎ 设小艇与轮船在C处相遇。‎ 在中，，‎ ‎。‎ 又,‎ 此时，轮船航行时间，。‎ 即，小艇以海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。‎ ‎（Ⅱ）同解法一 ‎（Ⅲ）同解法一 22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由及题设得即。‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由 得。‎ 是上的增函数， 在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 设。‎ ‎，‎ 即不等式在上恒成立 当时，不等式在上恒成立。‎ 当时，设，‎ 因为，所以函数在上单调递增，‎ 因此。‎ ‎，即。‎ 又，故。‎ 综上，的最大值为3。‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）得，其图像关于点成中心对称。‎ 证明如下：‎ ‎ ‎ 因此，。‎ 上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。‎ 这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一。‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由 得。‎ 是上的增函数， ‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 设。‎ ‎，‎ 即不等式在上恒成立。‎ 所以在上恒成立。‎ 令，，可得，‎ 故，即的最大值为3.‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）得，‎ 将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。‎ 由于，所以为奇函数，‎ 故的图像关于坐标原点成中心对称。‎ 由此即得，函数的图像关于点成中心对称。‎ 这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。‎ 数学试题（文史类）点评 今年文科数学卷，属于稳中求新，符合课程改革精神，着眼选拔人才，注重能力。 　　与往年的试卷相比，今年有3大亮点。‎ 一是解答题顺序布局有所变化，最明显的是三角题和解析几何题，以往三角题一般放在第17题，今年则放在第21题以压轴题的形式出现。题号的变化，让学生产生视觉上的难度，其实这道题并不难；而解析几何题往前挪，与往年相比，在难度上有很明显的降低，不过这也很符合课程设置的要求，这也是我们预料之中的。 　　二是题型较新，但注重本质，检测考生将知识迁移到现实情景的能力，从而检测考生应用知识分析问题、解决问题的能力，如第10题，其实就是考查三角函数的周期；再如第20题，背景是立体几何，却很巧妙地结合概率，但真正考查的是我们的主干知识与能力———函数不等式思想。 　　三是适度创新，关注过程。试卷设计了适量的、没有现成解题模式的创新性问题，要求考生根据试题提供的信息进行分析、检索、加工和组合，探求问题实质，寻找解决方案。‎